高数全微分方程

1、显然全微分方程（显然全微分方程（1）的隐式通解为）的隐式通解为cy,xu若（若（1）是全微分方程，有）是全微分方程，有cdyyxqdxyxpyxuxxyy00,0其中其中 是是g 内一适当选定的点。内一适当选定的点。00y,x 则称方程则称方程为为全微分方程全微分方程。0,dyyxqdxyxp（1） 设设y,xp、y,xq在区域在区域 g 有连续的一阶偏导数。有连续的一阶偏导数。若若dyyxqdxyxpyxdu,，形如（形如（1）的方程是全微分方程）的方程是全微分方程（2） 注注:xqyp例例 1 求解求解03335222324dyyxyyxdxyxyx解解 23243635yxyyxyxy

2、所给方程是全微分方程。所给方程是全微分方程。取取 、 ，有，有00 x00yxydyydxyxyxy,xu00232435332253123yxyyxx所以，方程的通解为所以，方程的通解为.cyxyyxx33225312322233yxyyxx例例 2 求解求解 0 ydxxdy解解,xydxxdyxyd2 由由将方程两端同乘以将方程两端同乘以 ，则化为全微分方程，则化为全微分方程 21x知知 是一个积分因子。是一个积分因子。 21x02xydxxdy即即 0 xyd于是原方程的通解为：于是原方程的通解为： cxy，即即 y = c x 。注注 一般来说，积分因子并不是唯一的。一般来说，积分因

3、子并不是唯一的。 例例2 中中, xyy112、都是都是 它的积分因子。它的积分因子。 11xqyp可引入可引入积分因子积分因子 0y,x ，0dyy,xqdxy,xp 成为全微分方程。成为全微分方程。 当条件当条件 不能满足时，不能满足时， 使使 注注:xqyp例例 3 求微分方程求微分方程 的通解。的通解。 dxdyxydxdyxy22解解022dyxyxdxy取积分因子取积分因子 22211yxxyxyxy 原方程化为全微分方程原方程化为全微分方程 0112dyxydxxy10 x10y取取 、cyxyln当当 为为齐次方程齐次方程时，时， 0dyy,xqdxy,xpy,xyqy,xxp

4、1 其其积分因子积分因子为为 即得微分方程的通解为：即得微分方程的通解为： 111211cdyydxxyyx补充补充0dyy,xqdxy,xp(1)1)微分方程微分方程(1)只有一个只依赖于只有一个只依赖于y的积分因子的充要条件为的积分因子的充要条件为: yhyyxpxyxqyxp,1且其积分因子为且其积分因子为: dyyhey 2)微分方程微分方程(1)只有一个只依赖于只有一个只依赖于x 的积分因子的充要条件为的积分因子的充要条件为: xgxyxqyyxpyxq,1且其积分因子为且其积分因子为: dxxgex 02322dyxyxdxyx例例 4 求微分方程求微分方程的通解。的通解。解解:.

5、 14 ,2,2xyxqxyxyxq; 1 ,3,2ypyxyxp显然该方程不是全微分方程显然该方程不是全微分方程,但但 ,22122112xxyxyxxqypq所以该微分方程有积分因子所以该微分方程有积分因子: 221xexdxx以以 x 乘以原方程的两侧乘以原方程的两侧,得方程得方程:0232xxdyydxydydx两边积分得两边积分得: ,32cxyyx .0是是方方程程的的一一个个特特解解x或或cxyxyx223补充补充熟记一些简单常用的二元函数的全微分，如熟记一些简单常用的二元函数的全微分，如yxyxdyxxdyydxyxarcdyxxdyydxyxdxyxdyydxxydxxdyy

6、dxyxdyxdyydxxydxdyydxyxddydxln21tanln 2222222221yxdydyxdx022xdydxyyx例例 5 求微分方程求微分方程 的通解。的通解。 解解:显然该方程不是全微分方程显然该方程不是全微分方程. 将原方程改写为将原方程改写为: 022xdyydxdxyx又又yxarcdyxxdyydxtan22取积分因子取积分因子 ,1,22yxyx 则方程化为则方程化为: 022yxxdyydxdx两边积分的方程的通解为两边积分的方程的通解为: cyxx arctan补充补充例例 6 求微分方程求微分方程 的通解。的通解。011xdyxyydxxy解解它不是全

7、微分方程。它不是全微分方程。,xqyp重新组合得：重新组合得：0 xdyydxxyxdyydx022ydyxdxyxxyd两边乘以积分因子两边乘以积分因子 得得 221yx022ydyxdxyxxyd两边积分得：两边积分得：1ln1cyxxy即方程的通解为即方程的通解为: xyceyx11cec补充补充一、一、 型的微分方程型的微分方程 xfyn例例 1 求微分方程求微分方程 的通解。的通解。 xeyxcos 2解解212cos41cxcxeyx12sin21 cxeyx32212sin81cxcxcxeyx这就是所求的通解。这就是所求的通解。 一般地，形如一般地，形如 的方程，只要连续积分的

8、方程，只要连续积分n 次，即可次，即可 xfyn求得通解。求得通解。 对所给方程积分三次得对所给方程积分三次得 二二 、 型的微分方程型的微分方程( (不显含不显含 y y ) ) y,xfy ,xpy 令令则则 .py 对应的微分方程对应的微分方程 就成为一个关于变量就成为一个关于变量 x、p 的一阶微分方程的一阶微分方程 p,xf p 设其通解为设其通解为 1c,xp 则又得到一个一阶微分方程则又得到一个一阶微分方程 1c,x y 两端积分便得原方程的通解为两端积分便得原方程的通解为 21cdxc,xy 例例 2 求解初值问题求解初值问题:3121002xx y,yxyyx解解 ,xpy

9、令令两边积分得两边积分得cxp21lnln, yx30由由得得31c213x y两端再积分得两端再积分得: 323cxxy于是所求的特解为于是所求的特解为 133.xxy，10 xy由由12c得得即即 121xc ypcec1dxxxpdp212分离变量后，有分离变量后，有代入方程得代入方程得 xppx212 例例 3 悬链线悬链线的方程（将一均匀、柔的方程（将一均匀、柔软的软的 绳索两端固定，绳索仅受重力作用绳索两端固定，绳索仅受重力作用而下垂，达平衡状态时即为悬链线）。而下垂，达平衡状态时即为悬链线）。toxyamg sh解解且且oa= 某个定值某个定值 。设绳索的最低点为设绳索的最低点为

10、 a，取，取 y 轴通过点轴通过点 a、x 轴水平向右，轴水平向右，设绳索曲线的方程为设绳索曲线的方程为 y=y(x) ,则该段绳索的重量为则该段绳索的重量为gs。在曲线上任取一点在曲线上任取一点m (x，y),设设a 到到m 弧段长为弧段长为s，绳索的线密度为绳索的线密度为，绳索在点绳索在点a 处的张力沿水平方向向左，其大小设为处的张力沿水平方向向左，其大小设为h；在点在点m 处的张力沿绳索斜向上处的张力沿绳索斜向上, 并在并在m 点与绳索相切点与绳索相切, 设其倾角为设其倾角为、大小为、大小为t 。xdx yay0211, tany 于是于是 ，y= y(x) 应满足的微分方程为应满足的微

11、分方程为:211 yay（*）因作用于因作用于am 弧段上的外力相互平衡，弧段上的外力相互平衡，把作用于此弧段上的外力沿铅直及把作用于此弧段上的外力沿铅直及水平两方向分解，得水平两方向分解，得toxyamg sh将两式相除得将两式相除得 ,1tansa .gha xdx ys021又由弧长公式又由弧长公式取取ao=，,ayx0初始条件为初始条件为. yx00 , singst ht cos令令 ，代入方程（，代入方程（*）并分离变量得）并分离变量得p y adxpdp21, 01c00 x y代入初值条件代入初值条件，得，得积分得积分得1caxarshp（*）于是（于是（*）式成为）式成为,a

12、xshp axsh y 即即2caxachy代入初始条件代入初始条件,ayx0得得.c02所以，悬链线方程为所以，悬链线方程为axaxeeaaxachy2221ln1lnyypparshp2;2xxxxeechxeeshxaxarshp 三三 、 型的微分方程型的微分方程( (不显含不显含 x ) ) y,yfy 令令 ,ypy 则则dxdpy y,yfy 于是于是就成为就成为py,fdydpp 分离变量并积分，便得原方程的通解为分离变量并积分，便得原方程的通解为21cxc,ydy 这是一个关于这是一个关于y、p的一阶微分方程。的一阶微分方程。1c,yp y 设其通解为设其通解为dxdydyd

13、p. dydpp例例 4 求微分方程求微分方程 的通解的通解.02 y yy解解代入原方程得代入原方程得02 pdydpyp令令 , ypy ,dydppy 则则两端积分得两端积分得1lnlnlncyp即即, ycp1 1yc y 或或原方程的通解为原方程的通解为xcecy12.cec 22分离变量得：分离变量得：dxcydy1两端积分得两端积分得21lncxcy在在 y 0、p 0 时，时，ydypdp约去约去 p 并分离变量得并分离变量得由由,p0得得;cy 显然显然, y=c 也在通解中也在通解中. 练习：练习：p366 1p366 1（5 5）(7)(7)（1010）解（解（5） ： ,xpy 令令则原方程化为则原方程化为,xp p,xp p即即cdxxeepdxdx1cdxxeexx11xecx即即11xecyxdxxecyx1122121cxxecx解（解（10） ：令令 , ypy ,dydppy 则则原方程化为原方程化为,ppdydpp3即即.pdydpp012由由得得,p0;cy 由由,pdydp012分离变量得分离变量