拉格朗日方程-刚体动力学-振动习题课

1、buaa1拉格朗日方程拉格朗日方程 刚体动力学刚体动力学 振动振动习习 题题 课课buaa2第二类拉格朗日方程的总结 对于具有对于具有完整理想约束完整理想约束的质点系，若系统的自由度为的质点系，若系统的自由度为k，则系统的动力学方程为：则系统的动力学方程为：其中：其中：vtlt：为系统的动能，为系统的动能，v：为系统的势能为系统的势能ddjjjqqlqlt), 1(kjjq：为对应于广义坐标：为对应于广义坐标 的非有势力的广义力的非有势力的广义力jq当系统为保守系统时，有：当系统为保守系统时，有：1：若系统存在循环坐标：若系统存在循环坐标 ，则：，则：qconst.pqtql2：若系统的拉格朗

2、日函数不显含时间：若系统的拉格朗日函数不显含时间t，则：，则：const.02vttbuaa3习习 题题 课课5-29：半径为半径为r、质量为、质量为m的圆柱，沿半径为的圆柱，沿半径为r、质量为、质量为m0的空的空心圆柱内表面滚动而不滑动，如图所示。空心圆柱可绕自身的心圆柱内表面滚动而不滑动，如图所示。空心圆柱可绕自身的水平轴水平轴o转动。圆柱对各自轴线的转动惯量为转动。圆柱对各自轴线的转动惯量为mr2/2和和m0r2。试求系统的首次积分。试求系统的首次积分。问题：问题：系统有几个自由度？系统有几个自由度？如何选取广义坐标？如何选取广义坐标？系统的系统的lagrange函数？函数？系统有二个自

3、由度，取系统有二个自由度，取 为为广义坐标。广义坐标。 ,buaa422220131 (2)()()()cos442ltvmm rm rrm rr rmg rr习习 题题 课课2221220)21(212121mrmvrmto)(1rrvo)(1rrrrrrrmrrmrmmt)(21)(43)2(4122220()cosvmg rr 不显含广义坐标不显含广义坐标和时间和时间t，存在循环积分和广义能量积分，存在循环积分和广义能量积分020)(21prrrmrrmtl2222200111()()()cos242t vmrm r rrm r rmg r rebuaa5习习 题题 课课例：例：图示机构

4、在铅垂面内运动，滑块质量图示机构在铅垂面内运动，滑块质量m1、均质杆质量、均质杆质量m2，地，地面光滑，杆面光滑，杆ab用光滑铰链与滑块连接。求系统的首次积分。用光滑铰链与滑块连接。求系统的首次积分。ab=l xab1m g2m g avccav22212111222accabtmvm vjaabcacavxvvv解：解：系统的主动力均为有势力系统的主动力均为有势力 分析系统的动能和势能分析系统的动能和势能222212221111cos( , , )2262tm xm xm lm xlt x 2(1 cos )2lvm g),( xlvtl拉格朗日函数拉格朗日函数 中不显含广义坐标中不显含广义

5、坐标x和时间和时间tbuaa6习习 题题 课课1221cos2tmmxm lcx系统的什么广义动量守恒？系统的什么广义动量守恒？ xab1m g2m gnfccavav研究整体：研究整体：12(cos )2xaabcxpm xm vlm xm x广义能量积分广义能量积分保守系统，定常约束保守系统，定常约束2222122221111cos(1 cos )22622ltvm xm xm lm xlm gebuaa7习习 题题 课课例：例：机构在铅垂面内运动，均质圆盘质量机构在铅垂面内运动，均质圆盘质量m1在地面上纯滚动，均在地面上纯滚动，均质杆质杆ab质量质量m2用光滑铰链与圆盘连接。求系统首次积

6、分。用光滑铰链与圆盘连接。求系统首次积分。ab=l xab1m g2m g avccav22221211112222aaaccabtmvjm vjcaacabaarxxvvvv解：解：系统的主动力均为有势力系统的主动力均为有势力 分析系统的动能和势能分析系统的动能和势能222212223111cos( , , )4262tm xm xm lm xlt x 2(1 cos )2lvm g),( xlvtl拉格朗日函数拉格朗日函数 中不显含广义坐标中不显含广义坐标x和时间和时间tbuaa8习习 题题 课课12231cos22tm xm xm lcx系统的什么广义动量守恒？系统的什么广义动量守恒？1

7、m garfnfa axfayf xab1m g2m gfnfccavav研究整体：研究整体：12(cos )2xaabcxpm xm vlm xm xfpx（1）研究圆盘：研究圆盘：r211122aaalm rm rxfrlarfrlar（2）0ddrrrlptrlpaxax12231cos22m xm xm lcr1axlrp2222122223111cos(1 cos )42622ltvm xm xm lm xlm gebuaa9习习 题题 课课 xab1m g2m g xab1m g2m g12231cos22tmmxm lcx12231cos22tm xm xm lcx2222122

8、221 3111cos(1 cos )2 22622ltvm xm xm lm xlm ge2222122223111cos(1 cos )42622ltvm xm xm lm xlm ge（1）（2）（1）（2）1221cos2tmmxm lcx12231cos22tm xm xm lcx132mgbuaa10习习 题题 课课刚体定点运动的角速度和角加速度刚体定点运动的角速度和角加速度角速度角速度tt 0lim0l 瞬时转动轴：瞬时转动轴： 0l0l0lr0ltt 0limbuaa11习习 题题 课课 znz 角加速度角加速度t d/d knkl0 knk )(t )()(tt0l 00ll

9、21 ,用欧拉角表示的角速度用欧拉角表示的角速度xyz x y zn欧拉角欧拉角节线节线,0t上式两边除以buaa12习习 题题 课课定点运动刚体上点的速度和加速度定点运动刚体上点的速度和加速度1、速、速 度：度：ttrv0lim瞬时转动轴瞬时转动轴(instant axis of rotation)： 在某瞬时，刚体上存在一根通过定点在某瞬时，刚体上存在一根通过定点o o的轴，在该的轴，在该轴上各点的速度均为零，该轴称为瞬时转轴。轴上各点的速度均为零，该轴称为瞬时转轴。rr rrrv tttt00limlim问题：问题：在某瞬时刚体上哪些点的速度为零在某瞬时刚体上哪些点的速度为零？问题：问题

10、：如何确定定点运动刚体的瞬时转动轴？如何确定定点运动刚体的瞬时转动轴？r rbuaa13习习 题题 课课rvo na rara rvan 向轴加速度向轴加速度转动加速度转动加速度 0l角速度角速度 00ll21 vr 2、加速度：、加速度：角加速度角加速度rv 速速 度度tddva )(ddr tnraaa求定点运动刚体上某一点的求定点运动刚体上某一点的加速度的基本步骤：加速度的基本步骤：buaa14习习 题题 课课定点运动定点运动刚体刚体的欧拉动力学方程的欧拉动力学方程kjilzzyyxxojjj)(dde)(fmloot )()()(zyxxyzzyzxzxyyxzyyzxxmjjjmjj

11、jmjjjxyz xo z y其中：其中：ox、oy、oz为刚体对为刚体对o点的惯量主轴（随体坐标轴）点的惯量主轴（随体坐标轴）buaa15习习 题题 课课 a),(jjjjyxzkjilzzyyxxojjj)(kjilo zzyyxxjjj a )(kjizyx 利用陀螺的运动特性和机构特性利用陀螺的运动特性和机构特性)() (kjizzyxjj)(klzzljjtjtjzzlodd)(ddkllz l l x yobuaa16习习 题题 课课tooddlm zojm陀螺近似理论公式：陀螺近似理论公式：ddkk t, ddll ttjtjzzlodd)(ddkll)( zzojjll zzz

12、ojjjll zj其中：其中：mo是作用于陀螺转子上的所有外力对是作用于陀螺转子上的所有外力对o点之矩的矢量和，点之矩的矢量和，o点既可以是点既可以是惯性参考系惯性参考系中的中的固定点固定点，也可以是，也可以是刚体的质心刚体的质心。z l zjgm陀螺力矩：陀螺力矩：buaa17习习 题题 课课6-4：具有固定顶点具有固定顶点o的圆锥在水平面上作纯滚动，如图所示。的圆锥在水平面上作纯滚动，如图所示。圆锥高圆锥高co=18cm，顶角，顶角，aob=90o。圆锥面中心。圆锥面中心c作匀速作匀速圆周运动，每秒绕行一周。试求圆锥的角速度和角加速度，并圆周运动，每秒绕行一周。试求圆锥的角速度和角加速度，

13、并求圆锥底面直径求圆锥底面直径ab两端点两端点a和和b的速度和加速度。的速度和加速度。圆锥绕圆锥绕o点作定点运动点作定点运动绕铅垂绕铅垂轴的进动角速度轴的进动角速度1绕绕oc轴的自转角速度轴的自转角速度2圆锥的绝对角速度圆锥的绝对角速度 21zxy2 k1buaa18习习 题题 课课zxy0av 求绕求绕oc轴的自转角速度轴的自转角速度218 2 j c1voc236 2 j bcvvoa为瞬轴，角速度为绝对角速度为瞬轴，角速度为绝对角速度2k =2 2 kbbcvr 122 k2 2 kk2 24 jdddtdt nraaara rna r18 2i oar18 2kobr224j18 2i

14、2 i2 i18 2i72 2k aa2224j18 2k2 i2 i18 2k72 2i 72 2kbabuaa19习习 题题 课课6-10：正方形框架每分钟绕固定轴正方形框架每分钟绕固定轴ab转转2周，圆盘又相对于框周，圆盘又相对于框架每分钟绕对角线上的轴架每分钟绕对角线上的轴bc转转2周，如图所示。试求圆盘的绝周，如图所示。试求圆盘的绝对角速度和角加速度。对角速度和角加速度。圆盘绕定点圆盘绕定点b作定点运动作定点运动 绕绕ab轴的进动角速度轴的进动角速度1 绕绕bc轴的自转角速度轴的自转角速度2 圆盘的绝对角速度圆盘的绝对角速度 21)/(21. 0602221srad)/(39. 0)

15、45sin()45cos(2022021sradbuaa20习习 题题 课课dtddtddtddtd221212dtd角速度角速度1是常量是常量 角速度矢量角速度矢量2以角速度以角速度1绕绕ab轴旋转轴旋转 )/(031. 045sin201srad2方向垂直于纸面向里方向垂直于纸面向里 buaa21习习 题题 课课6-11：图示锥齿轮的轴通过平面支座齿轮的中心，锥齿轮每分图示锥齿轮的轴通过平面支座齿轮的中心，锥齿轮每分钟在支座齿轮上滚动钟在支座齿轮上滚动5次。如果支座齿轮的半径是锥齿轮半径次。如果支座齿轮的半径是锥齿轮半径的的2倍，即倍，即r=2r，试求锥齿轮绕其自身轴转动的角速度，试求锥齿

16、轮绕其自身轴转动的角速度1和绕和绕瞬轴的角速度瞬轴的角速度2。圆锥绕圆锥绕o点作定点运动点作定点运动绕铅垂绕铅垂轴的进动角速度轴的进动角速度绕绕对称轴的自转角速度对称轴的自转角速度圆锥的绝对角速度圆锥的绝对角速度 5 21(/ )606rad szz11(/ )sin303rad s23ctg30(/ )6rad sbuaa22习习 题题 课课6-12：图示陀螺以匀角速度图示陀螺以匀角速度1绕绕ob轴转动，而轴轴转动，而轴ob又匀速又匀速地画出一圆锥。如果陀螺中心轴地画出一圆锥。如果陀螺中心轴ob的转速为的转速为n，bos= const，试求陀螺的角速度和角加速度。，试求陀螺的角速度和角加速度

17、。圆锥绕圆锥绕o点作定点运动点作定点运动绕铅垂绕铅垂轴轴os的进动角速度的进动角速度绕绕ob轴的自转角速度轴的自转角速度陀螺的绝对角速度陀螺的绝对角速度 2(/ )6030nnrad s1 = 1kk30nxyzz111ksinj30dddndtdtdt buaa23习习 题题 课课6-14：如图所示，汽轮机的转子可看成是均质圆盘，质量如图所示，汽轮机的转子可看成是均质圆盘，质量m= 22.7kg，半径，半径r=0.305m，绕自转轴的转速，绕自转轴的转速n=10000r/min。两轴。两轴承承a和和b间的距离间的距离l=0.61m，汽轮机绕轴，汽轮机绕轴x的角速度的角速度=2rad/s。试求

18、转子的陀螺力矩以及它在轴承试求转子的陀螺力矩以及它在轴承a和和b上引起的动压力。上引起的动压力。 汽轮机转子自转角速度汽轮机转子自转角速度 1)/(2 .10476021sradn进动角速度进动角速度 )/(2sradm1rzj方向沿方向沿y轴负向轴负向 )(22112190sin20mnmrjm11zr)(63. 3knlmffrba动压力动压力 buaa24习习 题题 课课6-15：图示玩具陀螺对自转轴图示玩具陀螺对自转轴z的回转半径的回转半径=0.02m，重心，重心c到支点到支点o的距离的距离l=0.09m。假设陀螺在自转速。假设陀螺在自转速n=1500r/min的的条件下绕铅直轴条件下

19、绕铅直轴o作规则进动，且角度作规则进动，且角度=20o，试求进动角速，试求进动角速度。度。玩具陀螺绕玩具陀螺绕o点作定点运动点作定点运动绕铅垂绕铅垂轴轴o的进动角速度的进动角速度绕绕oc轴的自转角速度轴的自转角速度玩具陀螺的绝对角速度玩具陀螺的绝对角速度 250 (/ )60nrad s zjgm陀螺力矩陀螺力矩250singmmsinommgl214.18(/ )50glrad sbuaa25习习 题题 课课6-17：图示长方形框架重图示长方形框架重180n，绕水平轴，绕水平轴ab以角速度以角速度=2 rad/s转动。在框架轴承转动。在框架轴承c和和d上安装重上安装重120n的飞轮的飞轮m的

20、转轴，的转轴，飞轮的转速飞轮的转速n=1800r/min。当框架在铅垂平面内时，试求轴承。当框架在铅垂平面内时，试求轴承c和和d上的陀螺力，以及轴承上的陀螺力，以及轴承a和和b上的全压力。飞轮对自转轴上的全压力。飞轮对自转轴cd的回转半径为的回转半径为10cm，cd=30cm，l=30cm。 飞轮绕质点作定点运动飞轮绕质点作定点运动绕绕ab的进动角速度的进动角速度绕绕cd轴的自转角速度轴的自转角速度飞轮的绝对角速度飞轮的绝对角速度 260 (/ )60nrad s2 (/ )rad s zjgm260145()gmmn mbuaa26习习 题题 课课以框架和飞轮为研究对象以框架和飞轮为研究对象

21、求陀螺力求陀螺力fc，fd0cdff质心运动定理质心运动定理动静法动静法1()1452cdgffcdm483()cdffn以整体为研究对象求以整体为研究对象求a、b处全反力处全反力12abffggg1为飞轮重力，为飞轮重力，g2为框架重力为框架重力质心运动定理质心运动定理动静法动静法2abglffm（）91.67()afn391.67()bfnbuaa276-2 6-2 欧拉动力学方程欧拉动力学方程问题问题 : 作定轴转动刚体的动量守恒、动能守恒，则对质心的作定轴转动刚体的动量守恒、动能守恒，则对质心的动量矩：动量矩： 。a： 一定守恒；一定守恒； b：一定不守恒；：一定不守恒； c：不一定守

22、恒。：不一定守恒。xcab x yy x y ol) sincos(12122jilabmc) sincos(ji kjilzzyyxxcjjj22121,121majmbjyx222212121zczycyxcxjjjt)sincos(241222222abmtbuaa28习习 题题 课课0lxokm例：例：求下列单自由度系统振动的固有频率求下列单自由度系统振动的固有频率0 kxxm 0 xmkx mk0光滑光滑0lxokm纯滚动纯滚动023 kxxm 032xmkx mk320buaa29习习 题题 课课7-25：图示半径为图示半径为r的半圆柱体，在水平面上只滚动不滑动，已的半圆柱体，在水平面上只滚动不滑动，已知该圆柱体对通过质心知该圆柱体对通过质心c且平行于半圆柱体母线的轴的回转半径且平行于半圆柱体母线的轴的回转半径为为，又，又oc=a。试求半圆柱体作微小摆动的频率。试求半圆柱体作微小摆动的频率。应用拉格朗日方程建立运动微分方程应用拉格朗日方程建立运动微分方程2222222112211 2cos22cctmvjm ararm cosvmg ra22221 2coscos2ltvm ararmg ra buaa30习习 题题 课课222212coscos2l