2020_2021学年新教材高中数学第13章立体几何初步13.3.2空间图形的体积课时素养评价含解析苏教版必修第二册

1、课时素养评价 三十四空间图形的体积 (20分钟35分)1.一个正方体表面积与一个球表面积相等,那么它们的体积比是()a.b.c.d.【解析】选a.设a为正方体的棱长,r为球的半径,由6a2=4r2得,=,所以=.2.如图,abc-abc是体积为1的棱柱,则四棱锥c-aabb的体积是()a.b.c.d.【解析】选c.因为vc-abc=v柱=,所以vc-aabb=1-=.3.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为_.【解析】设正方体棱长为a,则a3=8,所以a=2.所以正方体的体对角线长为2,所以正方体外接球的半径为,所以球的表面积为4()2=12.答案:124.半径为2的半圆卷成

2、一个圆锥,则它的体积为_.【解析】由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆,如图所示,设圆锥底面半径为r,高为h,则所以所以它的体积为12=.答案:5.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是_cm.【解析】设球的半径为x cm,由题意得x28=x26x-x33,解得x=4.答案:46.在四棱锥s-abcd中,底面abcd是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积.【解析】取正方形abcd的中心o1,连接so1并延长交球面于点e.连接co1,ce,如图.则球心o在se上,即se为球的直

3、径,且scec.因为ab=3,所以o1c=3.在rtso1c中,sc=2,所以so1=.在rtsce中,rtscertso1c,所以se=4.所以球半径r=2.所以球的表面积为s=4r2=4(2)2=48. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为,那么它的体积为()a.6b.c.2d.2【解析】选b.由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为,可知高h=2,又因为底面积s=,所以体积v=sh=2=.2.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图

4、,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()a.14斛b.22斛c.36斛d.66斛【解析】选b.设底面圆半径为r尺.因为米堆底部弧长为8尺,所以2r=8,所以r=.所以体积v=r25=5.因为3,所以v(立方尺).所以堆放的米约为22(斛).3.已知一个表面积为24的正方体,假设有一个与该正方体每条棱都相切的球,则此球的体积为()a.b.4c.d.【解析】选d.设正方体的棱长为a,则6a2=24,解得a=2.又球与正方体的每条棱都相切,则正方体的面对角线长为2,等

5、于球的直径长,所以球的半径长是,所以此球的体积为()3=.4.正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()a.3b.c.d.1【解析】选b.如图所示,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为,故底面积为()2=2;四棱锥的高为1,故四棱锥的体积为21=.则几何体的体积为2=.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形,如图所示,则正确的是()【解析】选abc.正三棱锥内接于球,故其各个顶点均

6、在球面上,若过球心的截面恰好截得三棱锥的面为三角形,则根据其顶点是否在截面上,有如下讨论:当用过球心且平行于三棱锥某底面的平面去截球时,三个点都不在截面上,则截面近似a;当截面是过球心和三棱锥两个顶点的平面时,它交对棱于中点,中点不在球上,也就不在截面上,则截面近似b;当截面是过三棱锥一顶点和球心的平面时,截得的面除了b的情况外,大都是c的情况,即另两点不在球(截面)上;当三棱锥的三个顶点都在截面上时,截面不过球心,与题意矛盾.综上可知,只有d是错误的.6.正三棱锥s-abc的外接球半径为2,底面边长ab=3,则此棱锥的体积可能是()a.b.c.d.3【解析】选ab.设正三棱锥的高为h,球心在

7、正三棱锥的高所在的直线上,设h为正三棱锥底面的中心.因为底面边长ab=3,所以ah=ad=,当顶点s与球心在底面abc的同侧时,如图,有ah2+oh2=oa2,即+(h-2)2=22,解得h=3或h=1(舍去),所以三棱锥的体积为33=.当顶点s与球心在底面abc的异侧时,如图,有ah2+oh2=oa2,即+(2-h)2=22,解得h=1或h=3(舍去),所以三棱锥的体积为31=,综上三棱锥的体积为或.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,一个正三棱柱容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,将容器放倒,把一个侧面作为底面,如图,这时水面恰好为中截面,则图中容器内水面的高度是_.【解析】

8、设题图中容器内水面的高度为h,水的体积为v,则v=sabch.又题图中水组成了一个直四棱柱,其底面积为sabc,高度为2a,则v=sabc2a,所以h=a.答案:a8.湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为6 cm,深为1 cm的空穴,则该球半径是_cm,表面积是_cm2.【解析】设球心为o,oc是与冰面垂直的一条半径,冰面截球得到的小圆圆心为d,ab为小圆d的一条直径,设球的半径为r cm,则od=r-1,则(r-1)2+32=r2,解得r=5,所以该球表面积为s=4r2=452=100(cm2).答案:5100四、解答题(每小题10分,共20分)9.若一个底面边长为

9、,侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上,求该球的体积和表面积.【解析】在底面正六边形abcdef中,连接be,ad交于o,连接be1,则be=2oe=2de=,在rtbee1中,be1=2,所以球的直径2r=2,则r=,所以球的体积为v球=r3=4,球的表面积s球=4r2=12.10.如图所示,半径为r的半圆内的阴影部分以直径ab所在直线为轴,旋转一周得到一个几何体,求阴影部分形成的几何体的表面积(其中bac=30)及其体积.【解析】如图所示,过点c作co1ab于点o1,在半圆中可得bca=90,bac=30,ab=2r,所以ac=r,bc=r,co1=r,所以s球=4r2,=rr=r2,=rr=r2,s几何体表=s球+=r2,所以旋转所得到的几何体的表面积为r2.又v球=r3,=ao1c=r2ao1,=bo1c=r2bo1,又ao1+bo1=2r,v几何体=v球-(+)=r3.如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6 m铁丝,再用s平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时