材料力学习题052

1、1例例6-1 矩形截面如图所示，试求阴影部分面积对矩形截面如图所示，试求阴影部分面积对z轴、轴、y轴的静矩，图中轴的静矩，图中b、h为已知。为已知。4hab解解:( (1) )sz 13244chhhy12334416zchhbhsayb( (2) ) sy y轴通过阴影部分图形面积的形心轴通过阴影部分图形面积的形心c10ys y1c2h2hc4h4hzb2例例6-2某梁的截面图形如图所示，试求其对图示某梁的截面图形如图所示，试求其对图示坐标轴的静矩（图中单位尺寸为坐标轴的静矩（图中单位尺寸为mm）。）。( (2) ) 计算静矩计算静矩sz 此截面可以看作由两个矩形此截面可以看作由两个矩形1、

2、2组成组成0ys 5050201401220zoy3343100 20 150m140 20 70m4.96 10m解：解：( (1) ) 计算静矩计算静矩sy y轴为对称轴轴为对称轴 1212zccsa ya y3yzhcb例例6-3 试计算图示矩形截面对其对称轴试计算图示矩形截面对其对称轴z轴和轴和y轴轴的惯性矩。的惯性矩。dyy解解:( (1) )计算计算iz 22232112hzahiy daby dybhddab y取平行于取平行于z轴、高度为轴、高度为dy的狭长矩形的狭长矩形为微元面积为微元面积da 3112yihb( (2) )计算计算iy 同样的方法同样的方法 4例例6-4 计

3、算图示圆形截面对其形心轴的惯性矩。计算图示圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解解:圆形截面对圆心的极惯性矩圆形截面对圆心的极惯性矩 由于圆形是中心对称图形，且由于圆形是中心对称图形，且yzcd4p132id4p11264zyiiidpzyiii则则5yzcdd例例6-5计算图示圆环形截面对其形心轴的惯性矩。计算图示圆环形截面对其形心轴的惯性矩。 44p132idd44p11264zyiiid解解:圆环形截面对圆心的极惯性矩圆环形截面对圆心的极惯性矩 由于圆环形是中心对称图形，且由于圆环形是中心对称图形，且pzyiii则则其中其中 为圆环的内外径比。为圆环的内外径比。d d6例例6-6计算图示计算图

4、示t字形截面对其形心轴字形截面对其形心轴zc的惯性矩的惯性矩 。 czi该截面图形可视为由矩形该截面图形可视为由矩形1、2组合而成组合而成解解:( (1) )确定形心确定形心c位置位置 截面关于截面关于y轴对称，所以形心轴对称，所以形心c必在对称轴必在对称轴y轴上，故只需求出轴上，故只需求出形心的形心的y坐标即可。坐标即可。11221210020 15014020 701002014020103.33mmccca ya yyaa1cz1c2cz2cczc5050201401220zoycy713124841100 2010m126.67 10 mczi1(1)211284124646.67 1

5、0 m150 103.33100 20 10m4.423 10 mcczziia a ( (2) )分别计算矩形分别计算矩形1、2对对zc轴的惯性矩轴的惯性矩2312464120 14010m4.57 10 m12czi2(2)222264124644.57 10 m70 103.33140 20 10m6.586 10 mcczziia a1cz1c2cz2cczc5050201401220zoycy8 ( (3) ) 计算整个图形对计算整个图形对zc轴的惯性矩轴的惯性矩 126464644.423 10 m6.586 10 m11.009 10 mczzccziii9例例6-7 试求图示矩

6、形截面梁端右侧截面上试求图示矩形截面梁端右侧截面上a、b、c、d四点处的正应力。图中截面尺寸单位为四点处的正应力。图中截面尺寸单位为mm。解解:( (1) )确定梁确定梁a端右侧截面端右侧截面上的弯矩上的弯矩 20kn mm ab20kn m2mkn mmx20作梁的弯矩图，得作梁的弯矩图，得a端右侧端右侧截面上的弯矩截面上的弯矩 ( (2) )计算横截面的惯性矩计算横截面的惯性矩iz和抗弯截面系数和抗弯截面系数wz3393344150 10 m30010 m112123.375 10 mzibh103262233150 10 m30010 m12.25 10 m66zwbh( (3) )计算

7、各点处的正应力计算各点处的正应力a点点: :3-344620 10 n m 150 10 m3.375 10 m8.89 10 pa =8.89mpaaazmyib点点: :3-344620 10 n m 75 10 m3.375 10 m4.44 10 pa = 4.44mpabbzmyi11d点与点与a点位于中性轴的两侧，但到点位于中性轴的两侧，但到中性轴的距离相等中性轴的距离相等8.89mpada 注：正号表示注：正号表示a、b两点为拉应力；负号则表示两点为拉应力；负号则表示d点为压应力。点为压应力。c点在中性轴上点在中性轴上 : :0c12abfc8ma158500202012ymmz

8、解解:( (1) )画计算简图，求反力画计算简图，求反力 280kn mmx( (2) )确定危险截面及其上弯矩确定危险截面及其上弯矩 作梁的弯矩图作梁的弯矩图max280kn mm例例6-8 图示大梁由图示大梁由no.50a工字钢制成，跨中作用一集工字钢制成，跨中作用一集中力中力 。试求梁危险截面上的最大正应力。试求梁危险截面上的最大正应力以及翼缘与腹板交界处以及翼缘与腹板交界处a点的正应力。点的正应力。 140knf maxrr70knabff13( (3) )计算弯曲正应力计算弯曲正应力 no.50a工字钢截面的惯性矩工字钢截面的惯性矩 ，抗弯，抗弯截面系数截面系数 。31860cmzw

9、 446470cmzi 则危险截面则危险截面c上的最大正应力上的最大正应力 36maxmax-63280 10 n m150.5 10 pa =150.5mpa1860 10 mzmw危险截面危险截面c上点上点a的正应力的正应力 3max-8460.5m280 10 n m0.02m246470 10 m137.7 10 pa =137.7mpaaazmyia158500202012ymmz14例例6-9试求图示试求图示t字形截面梁的最大拉应力和最大压应字形截面梁的最大拉应力和最大压应力。已知力。已知 ， 。 647.64 10 mmzi 152mmy 解解:( (1) )确定梁的最大确定梁的

10、最大 弯矩及其所在截面弯矩及其所在截面 dcba2m2m2m4.5kn2knrafrbf802012020czy1y2ymmkn mm2.54x作梁的弯矩图作梁的弯矩图 梁的最大正弯矩发生在截面梁的最大正弯矩发生在截面c上，最大负弯矩发生在上，最大负弯矩发生在截面截面b上，其大小分别为上，其大小分别为2.5kn mcm4kn mbmr1.25knafr5.25knbf15( (2) )计算截面计算截面c 最大拉应力和最大压应力最大拉应力和最大压应力 322t6462.5 10 n m8.8 10 m7.64 10 m28.8 10 pa = 28.8mpacczm yi 321c6462.5

11、10 n m5.2 10 m7.64 10 m17.0 10 pa =17.0mpacczm yi802012020czy1y2ymm2.5kn mcm16( (3) )计算截面计算截面b 最大拉应力和最大压应力最大拉应力和最大压应力 321t6464 10 n m5.2 10 m7.64 10 m27.2 10 pa = 27.2mpabbzm yi 322c6464 10 n m8.8 10 m7.64 10 m46.1 10 pa = 46.1mpabbzm yi 梁的最大拉应力发生在截面梁的最大拉应力发生在截面c的下边缘，最大压应力的下边缘，最大压应力发生在截面发生在截面b的下边缘，的

12、下边缘，tmaxt28.8mpaccmaxc46.1mpab802012020czy1y2ymm 4kn m-bm17例例6-10 图示悬臂梁用工字钢制作。已知图示悬臂梁用工字钢制作。已知 ， ，材料的许用应力，材料的许用应力 。试根据正应。试根据正应力强度条件确定工字钢型号。力强度条件确定工字钢型号。40knf 6ml 150mpafablkn mm240 x解解:( (1) ) 确定最大弯矩确定最大弯矩 作弯矩图作弯矩图 max40kn 6m = 240kn mmfl18( (2) )强度计算强度计算 3max6333240 10 n m150 10 pa1.60 10 m1600cmzm

13、w 由附录由附录b b中工字钢型钢表查得，可选用中工字钢型钢表查得，可选用no.45c工工字钢。因其抗弯截面系数字钢。因其抗弯截面系数 ，与计算结，与计算结果果 相差不到相差不到 ，这在工程设计中是允许，这在工程设计中是允许的的。 31600cm531570cmzw 19例例6-11图示槽形截面铸铁梁。已知截面的图示槽形截面铸铁梁。已知截面的 、 、 ；铸铁材料的许用；铸铁材料的许用拉应力拉应力 、许用压应力、许用压应力 。试。试确定此梁的许可载荷。确定此梁的许可载荷。 445260 10 mmzi 177mmy 2120mmy t30mpac90mpa1yczy2y解解:( (1) ) 确定

14、最大弯矩确定最大弯矩 作弯矩图作弯矩图 2bmf20( (2) )强度计算强度计算 危险截面危险截面b处弯矩为负值，梁上侧受拉、下侧受处弯矩为负值，梁上侧受拉、下侧受压，最大拉应力和最大压应力分别发生在该截面的上压，最大拉应力和最大压应力分别发生在该截面的上边缘和下边缘各点处。边缘和下边缘各点处。 31tmax41246277 10 m5260 1010m30 10 pabzfmyi1yczy2y310.25 10 n =10.25knf 得得2bmf21326cmax41242120 10 m90 10 pa5260 1010mbzfmyi319.72 10 n =19.72knf 得得1y

15、czy2y则许可载荷则许可载荷 10.25knf 22例例6-12钢制等截面简支梁受均布载荷钢制等截面简支梁受均布载荷 作用，横截面为作用，横截面为 的矩形，如图所示。已知的矩形，如图所示。已知 ， ，材料的许用应力材料的许用应力 。试求：（。试求：（1）梁按图）梁按图a放放置时的截面尺寸；（置时的截面尺寸；（2）梁按图）梁按图b放置时的截面尺寸。放置时的截面尺寸。 q2hb2ml 50kn mq 120mpa解解:( (1) ) 确定最大弯矩确定最大弯矩 作弯矩图作弯矩图 2max18mqlrr2abqlff23( (2) )强度计算强度计算 图图a放置时放置时 22maxmax221 11

16、 1138146zqlmqlwbhbh 232331633 50 10267.9mm1616 120 10qlb故取故取 168mm,b 1136mmh 2max18mql24 图图b放置时，抗弯截面系数放置时，抗弯截面系数 , , 22216zwh b 232332633 50 10285.5mm88 120 10qlb故取故取 285.5mmb 2171 mmh 由结果可知，两梁的横截面面积之比由结果可知，两梁的横截面面积之比 ，即图即图b梁所用材料是图梁所用材料是图a梁所用材料的梁所用材料的1.59倍，显然矩形截面按照倍，显然矩形截面按照图图a放置时的承载能力比图放置时的承载能力比图b高

17、，这是因为梁弯曲时中性轴附近的高，这是因为梁弯曲时中性轴附近的正应力很小，而图正应力很小，而图b将较多材料放在中性轴附近，使得这部分材将较多材料放在中性轴附近，使得这部分材料未得到充分利用。料未得到充分利用。221211.59aab b2max18mql25例例6-13 t字形截面铸铁梁所受载荷和截面尺寸如图字形截面铸铁梁所受载荷和截面尺寸如图所示。材料的许用拉应力所示。材料的许用拉应力 、许用压应、许用压应力力 ，试按正应力强度条件校核梁的，试按正应力强度条件校核梁的强度。强度。t40mpac100mpa2003017030czycy解解:( (1) ) 确定最大弯矩确定最大弯矩 作梁的弯矩

18、图作梁的弯矩图 截面截面b上有最大负弯矩上有最大负弯矩 20kn mbm截面截面e上有最大正弯矩上有最大正弯矩 10kn mem26( (2) )确定截面的确定截面的iz1122123322200 30 185mm30 170 85mm200 30mm30 170mm139mmccca ya yyaa2003017030czycy27 2133222332226464200mm30 mm46 mm200 30mm1230mm170 mm54 mm30 170mm1240.3 10 mm40.3 10 mcnzz iiiiia a2003017030czycy28( (3) )强度校核强度校核

19、截面截面b： 331t64620 10 n m61 10 m40.3 10 m30.2 10 pa = 30.2mpabzm yi 332c64620 10 n m139 10 m40.3 10 m69 10 pa = 69mpabzm yi 20kn m-bm29截面截面 e： 332t64610 10 n m139 10 m40.3 10 m34.5 10 pa = 34.5mpaezm yi 331c64610 10 n m61 10 m40.3 10 m15.1 10 pa =15.1mpaezm yi10kn mem变形为上压下拉变形为上压下拉30 梁的最大拉应力发生在截面梁的最大拉

20、应力发生在截面e下边缘各点处；下边缘各点处；最大压应力发生在截面最大压应力发生在截面b下边缘各点处，作强度校下边缘各点处，作强度校核：核：tmaxt34.5mpa 40mpacmaxc69mpa 100mpa结论：该梁强度满足要求。结论：该梁强度满足要求。 注：在对拉压强度不同、截面关于中性轴又不对称注：在对拉压强度不同、截面关于中性轴又不对称的梁进行强度计算时，一般需同时考虑最大正弯矩和最的梁进行强度计算时，一般需同时考虑最大正弯矩和最大负弯矩所在的两个横截面，只有当这两个截面上危险大负弯矩所在的两个横截面，只有当这两个截面上危险点处的应力都满足强度条件时，整根梁才是安全的。点处的应力都满足

21、强度条件时，整根梁才是安全的。31例例6-14 图示矩形截面简支梁受均布载荷作用，试求图示矩形截面简支梁受均布载荷作用，试求梁的最大正应力和最大切应力，并比较其大小。梁的最大正应力和最大切应力，并比较其大小。qabrbfraflyzchb解解:( (1) )求支座反力求支座反力 rr12abffql( (2) )确定最大弯矩和确定最大弯矩和最大剪力最大剪力 作梁的剪力图和弯矩图作梁的剪力图和弯矩图 sf2qlx2qlmx28qlsmax12fql2max18mql32( (3) )计算最大正应力和最大切应力计算最大正应力和最大切应力22maxmax22138146zqlmqlwbhbhsmaxmax13332224qlfqlabhbhyzchb33( (4) )比较最大正应力和最大切应力的大小比较最大正应力和最大切应力的大小 22maxmax3434qllbhqlhbh 说明：说明：此梁的最大正应力和最大切应力之比此梁的最大正应力和最大切应力之比就等于梁的跨度就等于梁的跨度 与梁的截面高度与梁的截面高度 之比。故在之比。故在对非薄壁截面的细长梁进行强度计算时，一般应对非薄壁截面的细长梁进