选修4-4简单曲线的极坐标方程

1、彭水民族中学1.31.3简单曲线的极坐标方程简单曲线的极坐标方程彭水民族中学3 3、极坐标与直角坐标的互化公式、极坐标与直角坐标的互化公式复习复习1、极坐标系的四要素、极坐标系的四要素2 2、点与其极坐标一一对应的条件、点与其极坐标一一对应的条件极点；极轴；长度单位；角度单位极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。及它的正方向。) 0(tan,222 xxyyx sin,cos yx)2 , 0, 0 (1)、直角坐标是、直角坐标是 (x, y) 极坐标是极坐标是 (,)(2)、极坐标是、极坐标是 (,) 直角坐标是直角坐标是 (x, y) 彭水民族中学(1)曲线曲线c上点的坐标都是这个方

2、程上点的坐标都是这个方程f(x,y)=0的解的解;(2)以这个方程以这个方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲的解为坐标的点都是曲线线c上上. 在直角坐标系中在直角坐标系中,如果某曲线如果某曲线c可以用方程可以用方程f(x,y)=0表示，曲线与方程满足如下的关系表示，曲线与方程满足如下的关系:在极坐标中在极坐标中,曲线上任一点的坐标是否符合曲线上任一点的坐标是否符合方程方程f( , )=0 ；xyom( (x, ,y) )rcx2+y2=r2彭水民族中学曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程一、定义：一、定义：如果曲线上的点与方程如果曲线上的点与方程f( , )=0有如下关系有如下关系()曲线上任

3、一点的坐标曲线上任一点的坐标(所有坐标中所有坐标中至少有一个至少有一个)符合方程符合方程f( , )=0 ；()方程方程f( , )=0的所有解为坐标的点的所有解为坐标的点都在曲线上。都在曲线上。 则曲线的方程是则曲线的方程是f( , )=0 。彭水民族中学xyom( (x, ,y) )2cx2+y2=22m(,)m(2,)=2两种方程能不能互化彭水民族中学探究:如图，半径为如图，半径为a的圆的圆心坐标为的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标圆上任意一点的极坐标( , )满足满足的条件？的条件？xc(a,0)o彭水民族中学c(a,0)ox

4、m( , ) ) 1.(.cos2),(,即中以外的任意一点，那么omam 。 ，为圆上除点设，那么解：圆经过极点o 。设圆与极轴的另一个交点是aa|oa| cos om在rt damoaomoa) 1 ()0 ,2(),2, 0(的坐标满足等式可以验证，点aaoa的点都在这个圆上。等式，可以验证，坐标适合满足的条件，另一方面坐标就是圆上任意一点的极所以，等式) 1 (),() 1 (能否写出对应直角坐标方程两种方程能不能互化彭水民族中学c(a,0)ox圆的极坐标方程圆的极坐标方程：m( , ) cos2a思路分析：（1）任取一点，标出与（2）找出边角共存的三角形（3）列出三角形的边角关系式（

5、4）对特殊点作检验彭水民族中学例例1、已知圆已知圆o的半径为的半径为r，建立怎样的坐标系，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？可以使圆的极坐标方程更简单？求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程()中心在极点，半径为中心在极点，半径为3；()中心在中心在(a,0)，半径为半径为a；()中心在中心在(a, /2)，半径为，半径为a； 3 a 若若rac(a,0)oxm( , ) a 2acos ac(a, /2)om( , ) 2asin 彭水民族中学()中心在中心在(a, )，半径为，半径为a ac(a, )oxm( , )0cos()a彭水民族中学练习3以极坐标系中的点以极坐标系中

6、的点(1,1)为圆心，为圆心，1为半径的圆为半径的圆的方程是的方程是 .2cos.2sin44.2cos1.2sin1abcdc ac(a, )om( , )41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即解：cos()4把极坐标方程转化为直角坐标系下的方程彭水民族中学5),25,235(25)25()235(535sin5cos35sin5cos3522222半径是所以圆心为化为标准方程是即化为直角坐标为得两边同乘以解：yxyxyx5 3 co3s5sin已知一个圆的方程是 求圆心坐标例 ：和半径。彭水民族中学14sin练习：、曲线的极坐

7、标方程 化为直角坐标方程2.曲线极坐标方程 cos( -)=1化为直角坐6标方程4)2(22 yx20 xy彭水民族中学222223020 xyxyxyxyx（）直角坐标方程的极坐标方程为（）直角坐标方程 的极坐标方程为（）直角坐标方程的极坐标方程为（）直角坐标方程的极坐标方程为例：cos3 sin0cossin10 3cos3彭水民族中学sin(4)练习：说明下列极坐标方程表示什么曲线（） cos( -)4(2) cos(- )3(3) 3 彭水民族中学 极坐标方程分别是极坐标方程分别是cos和和sin的两个圆的圆心距是多少的两个圆的圆心距是多少 22例1:彭水民族中学直线的极坐标方程直线的

8、极坐标方程彭水民族中学答：与直角坐标系里的情况一样，求答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点的坐标点的坐标 与与 之间的关系，然后列之间的关系，然后列出方程出方程 ( , )=0 ，再化简并讨论。，再化简并讨论。怎样求曲线的极坐标方程？怎样求曲线的极坐标方程？彭水民族中学例题例题1：求过极点，倾角为：求过极点，倾角为 的射线的射线的极坐标方程。的极坐标方程。4 omx4 分析：分析：如图，所求的射线如图，所求的射线上任一点的极角都上任一点的极角都是是 ，其，其/ 4 极径可以取任意的非负数。故所求极径可以取任意的非负数。故所求直线的极

9、坐标方程为直线的极坐标方程为(0)4 新课讲授新课讲授彭水民族中学1、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的射线的极的射线的极坐标方程。坐标方程。54 易得易得5(0)4 思考：思考：2、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的直线的极的直线的极坐标方程。坐标方程。4 544 或或彭水民族中学 和前面的直角坐标系里直线方程和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？线组合而成。原因在哪？0 为了弥补这个不足，可以考虑允许为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体

10、实数。则上面的直极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为线的极坐标方程可以表示为()4r 和和5()4r 彭水民族中学例题例题2、求过点求过点a(a,0)(a0)，且垂直，且垂直于极轴的直线于极轴的直线l的极坐标方程。的极坐标方程。解：如图，设点解：如图，设点( , )m 为直线为直线l上除点上除点a外的任外的任意一点，连接意一点，连接omox am在在 中有中有 rt moad dcosommoaoa 即即cosa 可以验证，点可以验证，点a的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。a彭水民族中学求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；、根据题意画出草图；2

11、、设点、设点 是直是直线上任意一点；线上任意一点；( , )m 3、连接、连接mo；4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于 的方的方 程，并化简；程，并化简；, 5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。o ama彭水民族中学例题例题3设点设点p的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过点过点p且且与极轴所成的角为与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的极坐标方程。的极坐标方程。 11(,) lloxmp 1 1 解：如图，设点解：如图，设点( , )m 点点p外的任意一点，连接外的任意一点，连接om为直线上除为直线上除则则 由点由点p的极坐标知的极坐标知 ,omxom1op 1xop 在在中中mopd d1,()ompopm 由正弦定理得由正弦定理得11sin()sin() 11sin()sin() 显然点显然点p