2019年江苏省高考数学试卷

1、2019年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1已知集合，0，1，则2已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数的值是3如图是一个算法流程图，则输出的的值是4函数的定义域是5已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是6从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是7在平面直角坐标系中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程是8已知数列是等差数列，是其前项和若，则的值是9如图，长方体的体积是120，为的中点，则三棱锥的体积是10在平面直角坐标系中，是曲线上的一个动点

2、，则点到直线的距离的最小值是11在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点，为自然对数的底数），则点的坐标是12如图，在中，是的中点，在边上，与交于点若，则的值是13已知，则的值是14设，是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数当，时，其中若在区间，上，关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（14分）在中，角，的对边分别为，（1）若，求的值；（2）若，求的值16（14分）如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，求证：（1）平面；（2）17（14分

3、）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦点为，过作轴的垂线，在轴的上方，1与圆交于点，与椭圆交于点连结并延长交圆于点，连结交椭圆于点，连结已知（1）求椭圆的标准方程；（2）求点的坐标18（16分）如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥是圆的直径），规划在公路上选两个点、，并修建两段直线型道路、，规划要求：线段、上的所有点到点的距离均不小于圆的半径已知点、到直线的距离分别为和、为垂足），测得，（单位：百米）（1）若道路与桥垂直，求道路的长；（2）在规划要求下，和中能否有一个点选在处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路和的长度均为（单位：百米），求当最小时，、两点间的距

4、离19（16分）设函数，为的导函数（1）若，（4），求的值；（2）若，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；（3）若，且的极大值为，求证：20（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”（1）已知等比数列满足：，求证：数列为“数列”；（2）已知数列满足：，其中为数列的前项和求数列的通项公式；设为正整数，若存在“数列” ，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值【选做题】本题包括a、b、c三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.a.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）21（10分）已知矩阵（1

5、）求；（2）求矩阵的特征值b.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）22（10分）在极坐标系中，已知两点，直线1的方程为（1）求，两点间的距离；（2）求点到直线的距离c.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）23设，解不等式【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24（10分）设，已知（1）求的值；（2）设，其中，求的值25（10分）在平面直角坐标系中，设点集，令从集合中任取两个不同的点，用随机变量表示它们之间的距离（1）当时，求的概率分布；（2）对给定的正整数，求概率（用表示）2019年江苏省高考

6、数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1已知集合，0，1，则，【思路分析】直接利用交集运算得答案【解析】：，0，1，0，1，故答案为：，【归纳与总结】本题考查交集及其运算，是基础题2已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数的值是2【思路分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的值【解析】：的实部为0，即故答案为：2【归纳与总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3如图是一个算法流程图，则输出的的值是5【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，

7、模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解析】：模拟程序的运行，可得，不满足条件，执行循环体，不满足条件，执行循环体，不满足条件，执行循环体，此时，满足条件，退出循环，输出的值为5故答案为：5【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题4函数的定义域是，【思路分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案【解析】：由，得，解得：函数的定义域是，故答案为：，【归纳与总结】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题5已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是2【思路分析】

8、先求出一组数据6，7，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差【解析】：一组数据6，7，8，9，10的平均数为：，该组数据的方差为：故答案为：2【归纳与总结】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是【思路分析】基本事件总数，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率【解析】：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数

9、：，选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是故答案为：【归纳与总结】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题7在平面直角坐标系中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程是【思路分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得，则双曲线的渐近线方程可求【解析】：双曲线经过点，解得，即又，该双曲线的渐近线方程是故答案为：【归纳与总结】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题8已知数列是等差数列，是其前项和若，则的值是16【思路分析】设等差数列的首项为，公差为，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前项和求得的

10、值【解析】：设等差数列的首项为，公差为，则，解得故答案为：16【归纳与总结】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前项和，是基础题9如图，长方体的体积是120，为的中点，则三棱锥的体积是10【思路分析】推导出，三棱锥的体积：，由此能求出结果【解析】：长方体的体积是120，为的中点，三棱锥的体积：故答案为：10【归纳与总结】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题10在平面直角坐标系中，是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是4【思路分析】利用导数求平行于的直线与曲线的切点，再由点到直线的距离公式求点到直线的

11、距离的最小值【解析】：由，得，设斜率为的直线与曲线切于，由，解得曲线上，点到直线的距离最小，最小值为故答案为：4【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题11在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点，为自然对数的底数），则点的坐标是【思路分析】设，利用导数求得曲线在处的切线方程，代入已知点的坐标求解即可【解析】：设，由，得，则该曲线在点处的切线方程为，切线经过点，即，则点坐标为故答案为：【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题12如图，在中，是的中点，在边上，与交于点若

12、，则的值是【思路分析】首先算出，然后用、表示出、，结合得，进一步可得结果【解析】：设，故答案为：【归纳与总结】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力13已知，则的值是【思路分析】由已知求得，分类利用万能公式求得，的值，展开两角和的正弦求的值【解析】：由，得，解得或当时，；当时，综上，的值是故答案为：【归纳与总结】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题14设，是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数当，时，其中若在区间，上，关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是，【思路分析】由已知函数解析式结合周期

13、性作出图象，数形结合得答案【解析】：作出函数与的图象如图，由图可知，函数与，仅有2个实数根；要使关于的方程有8个不同的实数根，则，与，的图象有2个不同交点，由到直线的距离为1，得，解得，两点，连线的斜率，即的取值范围为，故答案为：，【归纳与总结】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（14分）在中，角，的对边分别为，（1）若，求的值；（2）若，求的值【思路分析】（1）由余弦定理得：，由此能求出的值（2）由，利用正弦定理得，再由，能求出，由此

14、利用诱导公式能求出的值【解析】：（1）在中，角，的对边分别为，由余弦定理得：，解得（2），由正弦定理得：，【归纳与总结】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题16（14分）如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，求证：（1）平面；（2）【思路分析】（1）推导出，从而，由此能证明平面（2）推导出，从而平面，由此能证明【解答】证明：（1）在直三棱柱中，分别为，的中点，平面，平面，平面解：（2）在直三棱柱中，是的中点，又，平面，平面，【归纳与总结】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面

15、间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题17（14分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦点为，过作轴的垂线，在轴的上方，1与圆交于点，与椭圆交于点连结并延长交圆于点，连结交椭圆于点，连结已知（1）求椭圆的标准方程；（2）求点的坐标【思路分析】（1）由题意得到，然后求，再由求得，则椭圆方程可求；（2）求出的坐标，得到，写出的方程，与椭圆方程联立即可求得点的坐标【解析】：（1）如图，则，则，则椭圆方程为，取，得，则又，解得椭圆的标准方程为；（2）由（1）知，则，联立，得解得或（舍即点的坐标为【归纳与总结】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明是解答

16、该题的关键，是中档题18（16分）如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥是圆的直径），规划在公路上选两个点、，并修建两段直线型道路、，规划要求：线段、上的所有点到点的距离均不小于圆的半径已知点、到直线的距离分别为和、为垂足），测得，（单位：百米）（1）若道路与桥垂直，求道路的长；（2）在规划要求下，和中能否有一个点选在处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路和的长度均为（单位：百米），求当最小时，、两点间的距离【思路分析】（1）设与圆交于，连接，以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，则，设点，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的坐标，可得所求值；（2）当时，上的

17、所有点到原点的距离不小于圆的半径，设此时，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的坐标，即可得到结论；（3）设，则，结合条件，可得的最小值，由两点的距离公式，计算可得【解析】：设与圆交于，连接，为圆的直径，可得，即有，以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，则，（1）设点，则，即，解得，所以，；（2）当时，上的所有点到原点的距离不小于圆的半径，设此时，则，即，解得，由，在此范围内，不能满足，上所有点到的距离不小于圆的半径，所以，中不能有点选在点；（3）设，则，则，当最小时，【归纳与总结】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题

18、的能力，考查运算能力，属于中档题19（16分）设函数，为的导函数（1）若，（4），求的值；（2）若，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；（3）若，且的极大值为，求证：【思路分析】（1）由，可得，根据（4），可得，解得（2），设令，解得，或令，解得，或根据和的零点均在集合，1，中，通过分类讨论可得：只有，可得，可得：利用导数研究其单调性可得时，函数取得极小值（3），令解得：，可得时，取得极大值为，通过计算化简即可证明结论【解析】：（1），（4），解得（2），设令，解得，或令，解得，或和的零点均在集合，1，中，若：，则，舍去，则，舍去，则，舍去，则，舍去，则，舍去，则，因此，可得：可得时，函数

19、取得极小值，（1）（3）证明：，令解得：，可得时，取得极大值为，可得：，在，上单调递减，【归纳与总结】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”（1）已知等比数列满足：，求证：数列为“数列”；（2）已知数列满足：，其中为数列的前项和求数列的通项公式；设为正整数，若存在“数列” ，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值【思路分析】（1）设等比数列的公比为，然后根据，列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出，猜想，然后用数学归纳法证明；（3）设的公比为，将问题

20、转化为，然后构造函数，分别求解其最大值和最小值，最后解不等式，即可【解析】：（1）设等比数列的公比为，则由，得，数列首项为1且公比为正数即数列为“数列”；（2），当时，当时，当时，猜想，下面用数学归纳法证明；当时，满足，假设时，结论成立，即，则时，由，得，故时结论成立，根据可知，对任意的都成立故数列的通项公式为；设的公比为，存在“数列” ，对任意正整数，当时，都有成立，即对恒成立，当时，当时，当，两边取对数可得，对有解，即，令，则，当时，此时递增，当时，令，则，令，则，当时，即，在，上单调递减，即时，则，下面求解不等式，化简，得，令，则，由得，在，上单调递减，又由于（5），（6），存在使得，的

21、最大值为5，此时，【归纳与总结】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题【选做题】本题包括a、b、c三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.a.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）21（10分）已知矩阵（1）求；（2）求矩阵的特征值【思路分析】（1）根据矩阵直接求解即可；（2）矩阵的特征多项式为，解方程即可【解析】：（1）（2）矩阵的特征多项式为：，令，则由方程，得或，矩阵的特征值为1或4【归纳与总结】本题考查了矩阵的运算

22、和特征值等基础知识，考查运算与求解能力，属基础题b.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）22（10分）在极坐标系中，已知两点，直线1的方程为（1）求，两点间的距离；（2）求点到直线的距离【思路分析】（1）设极点为，则由余弦定理可得，解出；（2）根据直线的方程和点的坐标可直接计算到直线的距离【解析】：（1）设极点为，则在中，由余弦定理，得，；（2）由直线1的方程，知直线过，倾斜角为，又，点到直线的距离为【归纳与总结】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题c.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）23设，解不等式【思路分析】对去绝对值，然后分别解不等式即可【解析】：，或或，或或，不等式的解集为或【归纳与总结】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24（10分）设，已知（1）求的值；（2）设，其中，求的值【思路分析】（1）运用二项式定理，分别求得，结合组合数公式，解方程可得的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得，计算可得所求值；方法二、由于，求得，再由平方差公式，计算可得所求值【解析】：（1）由，可得，可得，解得；（2）方法一、，由于，可得，可得；方法二、，由于，可得，可得【归纳与总结