集合的概念与运算例题及答案

1、1 集合的概念与运算（一）目标：1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题2. 理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，3. 能利用数轴或文氏图进行集合的运算 , 掌握集合问题的常规处理方法重点：1.集合中元素的 3 个性质，集合的3 种表示方法，集合语言、集合思想的运用;2. 交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用基本知识点：知识点 1、集合的概念（ 1）集合 ：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（ 2）元素 ：集合中每个对象叫做这个集合的元素知识点 2、常用数集及记法（ 1）非负整数集 （自然数集） ：全体非负整数的集合记作N， N0,1,

2、2,（ 2）正整数集 ：非负整数集内排除0 的集记作 N* 或 N+N *1,2,3,（ 3）整数集 ：全体整数的集合记作Z, Z 0，1， 2，（ 4）有理数集 ：全体有理数的集合记作Q ,Q整数与分数（ 5）实数集 ：全体实数的集合记作RR数轴上所有点所对应的数注：（ 1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0*Q 、Z、 R 等其它数集内排除0 的集，也是这样表示，（ 2）非负整数集内排除 0 的集记作 N或 N+例如，整数集内排除 0 的集，表示成 Z*知识点 3、元素与集合关系（隶属）（ 1）属于：如果a 是集合 A 的元素，就说a 属于 A，记作 aA（ 2）不属

3、于：如果a 不是集合 A的元素，就说a 不属于 A，记作 aA注意：“”的开口方向，不能把a A 颠倒过来写知识点 4、集合中元素的特性（ 1）确定性 ：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（ 2）互异性 ：集合中的元素没有重复（ 3）无序性 ：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）知识点 5、集合与元素的表示：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、 B、C、 P、 Q元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、 c、 p、 q例题精析1：1、下列各组对象能确定一个集合吗？（ 1）所有很大的实数（不确定）（ 2）好心的人（不确定）（ 3）1， 2， 2，

4、3， 4， 5（有重复）ab_-2,0,2_2、设 a,b 是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是ab3、由实数 x, x, x , x 2 ,3 x3 所组成的集合，最多含（ A）（ A）2 个元素 （ B） 3 个元素 （C） 4 个元素 （ D）5 个元素4、设集合 G中的元素是所有形如a b 2 （ a Z, b Z）的数，求证：(1) 当 x N时 , x G;(2)若 x G， y G，则 x yG，而1不一定属于集合Gx证明 (1) ：在 a b2 （a Z, b Z）中，令 a=xN,b=0,则 x= x 0*2 = a b2 G,即 x G证明 (2) ： xG， y G

5、， x= a b2 （ a Z, b Z） ,y= c d2 （ c Z, d Z） x+y=( a b2 )+( c d2 )=(a+c)+(b+d)2 a Z, b Z,c Z, d Z (a+c) Z, (b+d) Z x+y =(a+c)+(b+d)2 G，又 11aa2b2xa b 2a22b22b 2且a2 ,b不一定都是整数，22ba22b2a 11a2b2a 2b2 不一定属于集合 Gxa b 2a 22b2知识点 6、集合的表示方法：（ 1）列举法 ：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程 x 21 0 的所有解组成的集合，可以表示为-1 ， 1注：（

6、1）有些集合亦可如下表示：从 51到 100的所有整数组成的集合： 51 ，52， 53， ， 100所有正奇数组成的集合： 1 ， 3，5， 7， （ 2）a 与 a 不同： a 表示一个元素， a 表示一个集合，该集合只有一个元素（ 2）描述法： 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式： x A| P （ x）含义： 在集合 A 中满足条件P（x）的 x 的集合例如，不等式x32 的解集可以表示为： xR | x32 或 x | x32所有直角三角形的集合可以表示为： x | x是直角三角形 注：（ 1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部

7、分4（ 2）错误表示法： 实数集 ； 全体实数 （ 3）、文氏图： 用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法思考： 何时用列举法？何时用描述法？有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合 x 2 ,3x2,5y3x, x2y2 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合 ( x, y) | yx 21 ；集合 1000以内的质数 例 集合 ( x, y) | yx 21 与集合 y | yx 21 是同一个集合吗？答 ： 不是 因 为 集 合 ( x, y) | yx 21 是 抛 物 线 yx21上所有的点构成

8、的集合，集合 y | y x2 1 = y | y1是函数 yx21的所有函数值构成的数集例题精析2：1、用描述法表示下列集合 1 ，4， 7， 10， 13 -2 ，-4 ，-6，-8 ，-10 x | x3n2, nN且 n5 x | x2n, nN且 n52、用列举法表示下列集合 x N|x 是 15 的约数 1， 3， 5， 15 （ x， y） |x 1 ， 2 ，y 1 ，2 （ 1，1），（ 1，2），（ 2，1）（ 2， 2） 注：防止把 （ 1， 2） 写成 1 ， 2 或x=1 ， y=2xy282 ( x, y) |2 y (,)x433 x | x ( 1) n , n

9、N -1 ， 1 ( x, y) | 3x2 y16, xN , y N （0， 8）（2， 5），（4， 2） ( x, y) | x, y分别是 4的正整数约数 （ 1， 1），（ 1， 2），（ 1， 4）（ 2， 1），（ 2， 2），（ 2，4），（ 4，1），（ 4，2），（ 4，4） 3、关于 x 的方程 ax b=0，当 a,b满足条件 _ 时，解集是有限集；当a,b 满足条件 _时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：(1) 1, 5, 25, 125, 625 =;(2) 0,1, 2, 3 , 4 ,=251017巩固提升：1、数集1,x, x2x中元素 x所满足的条件

10、是22、已知 A a3,2a 1,a1 ，其中 aR ，若 3 A ，求实数 a 的值；当 a 为何值时，集合 A 的表示不正确。23、已知集合 Aa2, 2aa ，若3 A ，求 a 的值。变式：已知集合2Ax R | a x 3x 2 0, a R 。若 A 是空集，求 a 的取值范围；若 A 中只有一个元素，求 a 的值，并把这个元素写出来；若 A 中至多有一个元素，求a 的取值范围4、设集合2，集合2，若，试判断 a 与集合Aa | an 1,n NB b | bk 4k 5, k Na AB 的关系。25、设 a, bZ，集合 Px, y | x a3b 6 y ，点 2,1P ，点

11、 1,0P ，点 3,2P ，求 a,b 的值。知识点 7、集合的分类：（ 1）有限集：含有有限个元素的集合（ 2）无限集：含有无限个元素的集合（ 3）空集：不含任何元素的集合记作，如： x R | x21 0知识点 8、集合与集合之间的关系：（一）、子集（ 1）子集定义 ：一般地，对于两个集合A 与 B，如果集合A 的任何 一个元素都是集合B的元素，我们就说集合 A 包含于 集合 B，或集合B 包含 集合 A记作: AB或BA ，AB或 BA读作： A包含于 B或 B包含 A若任意 xAxB，则 AB当集合 A不包含于集合 B，或集合 B 不包含集合 A 时，则记作 A B 或 B A 注：

12、 A B 有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分，；（2） A 与 B 是同一集合（ 2）集合相等 ：一般地，对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何 一个元素都是集合B 的任何 一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于 集合 B，记作 A=B（3）真子集 ：对于两个集合 A 与 B，如果 A B ，并且 A B ，我们就说集合 A 是集合AB或 BA, 读作 A 真包含于 B 或 B 真包含 AB的元素，同时集合B 的真子集， 记作：（4）子集与真子集符号的方向如AB与 BA同义； AB与AB不同（5）空集是任何集合的子集A规定： 空集是任何非空集合的真子集A若 A，则 A任何

13、一个集合是它本身的子集AA（6）易混符号：“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如1N , 1N , NR,R， 11 ， 2， 3 0 与： 0 是含有一个元素 0 的集合，是不含任何元素的集合如 0 不能写成 =0 ， 0例题精析 3：1（ 1） 写出 N， Z，Q， R 的包含关系，并用文氏图表示（ 2） 判断下列写法是否正确A AA A AA解（1）：N Z Q R（ 2）正确；错误，因为A 可能是空集；正确；错误2 （ 1）填空： N_Z, N_Q, R_Z, R_Q， _0（ 2）若 A=x R|x 2 -3x-4=0,B=x Z|x|10,则 AB 正确吗

14、？（ 3）是否对任意一个集合 A，都有 A A，为什么？（ 4）集合 a,b 的子集有那些？（ 5）高一（ 1）班同学组成的集合解：（1）NZ, NQ, RZ, RA，高一年级同学组成的集合Q， 0B，则A、 B的关系为.（ 2） A=x R|x 2 -3x-4=0 -1,4,B=x Z|x|10=-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 A B正确（ 3）对任意一个集合 A，都有 A A，（ 4）集合 a,b 的子集有：、 a 、 b 、 a,b（ 5）A、 B 的关系为 A B .3 解不等式x+32，并把结果用集合表示出来.解： x R

15、|x+32=x R|x-1.巩固提升：1、设 A1,2 ， Bx | xA ，问 A 与 B 是什么关系？并用列举法写出集合B2、已知集合P yx21， Q y | yx21， E x | yx21，F( x, y) | yx21， G x | x1 ，则（D）( A)PF(B) QE(C )EF(D) QG解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简3、设集合 M x | xk1 , kZ ， N x | xk1 , kZ ，则（ B）2442(A)M N(B)M N(C)M N4、若集合Ax | x2ax10, xR ，集合B1,2 ，且 AB ，求实数a的取值范围)( 2,2)5

16、、已知 M x | 2x25x30 ，N x | mx 1 ，若 N M ，则适合条件的实数 m 的集合 P 为0, 2,1； P的子集有 8个； P 的非空真子集有 6个36、已知： f ( x)x2axb ， Ax | f (x) 2x2，则实数 a 、 b 的值分别为 2,4 （二）全集与补集1 补集 ：一般地，设S 是一个集合， A 是 S 的一个子集（即A S ），由 S 中所有不属于 A的元素组成的集合，叫做S 中子集 A 的补集（或余集） ，记作 CS A ，即 CSA= x | xS,且 x ASA2、性质 ： CS（ CSA） =A ，CSS=， CS=S3、全集： 如果集合

17、S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用 U表示例题精析 3：1、（ 1）若 S=1 ， 2， 3， 4，5， 6 ， A=1 ， 3， 5 ，求 CSA（ 2）若 A=0 ，求证： CNA=N*（ 3）求证： CRQ是无理数集解（ 1） S=1， 2，3， 4， 5， 6 ， A=1， 3， 5 ，由补集的定义得CSA=2 ， 4， 6证明（ 2） A=0 ，N=0,1,2,3,4, ， N* =1,2,3,4,*由补集的定义得CNA=N证明（ 3） Q 是有理数集合，R 是实数集合由补集的定义得CRQ是无理数集合2、已知全集U R，集合 A x 12

18、x 1 9，求 CU A解： A x 12x 1 9 x|0 X 4， U R04xCU A x x0，或 x43、 已知 S x 1 x2 8， A x 2 1 x1，B x 52x 111，讨论 A 与 CS B 的关系解： S x| 3x 6，A x|0 x 3， B x|3 x 6 CS B x| 3x 3 ACS B知识点 9、子集的个数：由例与练习题，可知(1)集合 a,b 的所有子集的个数是 4 个，即? ,a,b,a,b(2)集合 a,b,c 的所有子集的个数是 8 个，即? ,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c猜想： (1)集合 a,b,c,d 的所有子集的个数是多少？ ( 2416 )(2) 集合 a1 , a2 , an 的所有子集的个数是多少？ ( 2n )结论提炼 ：含 n 个元素的集合a1 , a2 , an 的所有子集的个数是2n ，所有真子集的个数是2n -1 ，非空真子集数为 2n2例题精析4：1、满足条件 1,2M1,2,3,4,5的集合 M的个数是 ()A 3B 6C 7D82、已知集合 Aa, b, c，且 B