积分曲线的知识

1、1.2 基本概念基本概念定义定义1:1: 联系自变量、未知函数及联系自变量、未知函数及未知函数导数未知函数导数（或微（或微分）的关系式称为微分方程分）的关系式称为微分方程. ; 2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd; sin35 )4(2244txdtxddtxd; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu例1：下列关系式都是微分方程一、常微分方程与偏微分方程一、常微分方程与偏微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程常微分方程.;2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxd

2、y; 0 )3(322xdtdxtxdtxd;sin35 )4(2244txdtxddtxd都是常微分方程1.常微分方程常微分方程如 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程偏微分方程.; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu 注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称为微分方程或方程. 2.偏微分方程偏微分方程如都是偏微分方程.定义定义2 2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的微分的阶阶数称为微分方程的阶数数称为微分方程的阶数. . 2 ) 1 (xdxdy是一阶微分方程； 0 (2)

3、ydxxdy是二阶微分方程； 0 )3(322xdtdxtxdtxd是四阶微分方程. sin35 )4(2244txdtxddtxd二、微分方程的阶二、微分方程的阶如:) 1 (0),(nndxyddxdyx,y,fn阶微分方程的一般形式为.,0是自变量是未知函数而且一定含有的已知函数是这里xydxyddxyd,dxdyx,y,)dxyd,dxdyf(x,y,nnnnnn 2 ) 1 (xdxdy 是线性微分方程是线性微分方程. 0 (2) ydxxdy sin35 )4(2244txdtxddtxd三 线性和非线性0)dxyd,dxdyf(x,y,nn如如.,阶线性方程则称其为的一次有理式及

4、的左端为ndxyddxdyynn1.如果方程 是非线性微分方程是非线性微分方程. . 如如 0 )3(322xdtdxtxdtxd2.n阶线性微分方程的一般形式111( )( )( )(2)nnnnnd ydya xax yf xdxdx.)(),(),(1的已知函数是这里xxfxaxan不是线性方程的方程称为非线性方程四 微分方程的解定义4:,),(满足条件如果函数ixxy;)(1)阶的连续导数上有直到在nixy, 0)(),(),(,(:)2(xxxxfixn有对.0(x)上的一个解在为方程则称i)dxyd,dxdyf(x,y,ynn例2.),(0cossin上的一个解在都是微分方程验证y

5、yxx,yy证明:由于对,sin xy xx,yysincos(,),x 故对有 yyxsin0 xsin.),(在0sin上的一个解是微分方程故yyxy.),(0cos上的一个解在是微分方程同理yyxy1 显式解与隐式解是方程的一个则称的解为方程所确定的隐函数如果关系式0),(,0),dxdyy,f(x,ix(x),y0),(yxdxydyxnn相应定义4所定义的解为方程的一个显式解.隐式解.注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.例如yxdxdy对一阶微分方程有显式解:2211.yxyx 和和隐式解:. 122 yx2 通解与特解定义5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意

6、常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.例如:为任常数2121,ccosx,sinxyccc.0y的通解是微分方程 yn阶微分方程通解的一般形式为),(1nccxy.,1为相互独立的任常数其中ncc 注1:使得行列式的某一邻域存在是指个独立常数含有称函数,),(,),(11nnccxnccxy0),(),()1(2)1(1)1(212121)1(nnnnnnnncccccccccccc.)(kkkdxd表示其中例3.6223c2321的通解是微分方程验证yyyyececeyxxxxxxececey23212c证明:由于,4c2321xxxececeyxxxececey232

7、18c故yyyy22)2(c2321xxxecece)8(c2321xxxecece)4(c22321xxxecece)32(c2321xxxecece6xe )c2cc2c (1111xecccc)22(-2222xecccc23333)228(86.6223c2321的通解是微分方程故yyyyececeyxxx又由于3 3 1 321321ccccccccc2222264xxxxxxxxxxeeeeeeeeee 0.6223c2321的解微分方程是故yyyyececeyxxx注2:.),(,0),(),(11该微分方程的所有解包含了并不表示的通解是微分方程的nnnnccxydxyddxdy

8、yxfccxy注3:类似可定义方程的隐式通解, 如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解.以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解. 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解.例如.0cossin的特解都是方程yyxx,yy中分别取可在通解xcxcycossin21:, 0, 1c21得到c:, 1, 0c21得到c,sin xy .cosxy 定义63 定解条件 为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.求满足定解条件的求解问题称为定解问题. 常见

9、的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:)1(01)1()1(000,nnnydxydydxdyyyxx时当.1,)1(0)1(000个常数是给定的这里nyyyxn当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.注1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy通常记为问题的解的初值问题也称满足条件阶微分方程求,)(,)(,)(, 0),(:)1(010)1()1(0000cauchyydxxydydxxdyyxydxyddxdyyxfnnnnnn注2:0),(nndxyddxdyyxf)1(

10、010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy例4.1)0(, 2)0(,045421的特解并求满足初始条件的通解是方程验证yyyyyececyx-xyyy45-4x21)ec (cex)e16c (-4x21cex0-4x21)ec (5cex)ec (4-4x21cex)e4c (5-4x21cex)ec (4-4x21cex解由于且xxxxeeee4442121cccc0.045ec-4x21的通解是方程故yyyceyx有由初始条件1)0(, 2)0(yy221cc1421cc解以上方程组得1, 321cc的特解为满足初始条件故方程1)0(, 2)0(04

11、5yyyyy-4xe3xey的如下解例：求微分方程12 xdxdy相切的解与直线满足通解1(3)3(2)(1)10 xyydxcxxy26132xxy12xxy的如下解例：求微分方程12 xdxdy相切的解与直线满足通解1(3)3(2)(1)10 xyydx的如下解例：求微分方程12 xdxdy思考1、微分方程的解是否连续？是否可导？2、微分方程解的定义区间是否可以是一个点？3、通解是否一定包含了全部解？4、所有方程都有通解吗？五 积分曲线和方向场1 积分曲线一阶微分方程),(yxfdxdy,平面上的一条曲线所表示的解xy(x)y称为微分方程的积分曲线.,族称这族曲线为积分曲线平面上的一族曲线

12、对应而其通解xy(x,c)y2 方向场),(,),(,),(,),(,),(yxfdxdydyxyxfyxddyxf为方程有这种直线段的区域称带点的线段中心在的值为斜率上一个以都画处内每一点在的定义域为设函数在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.所规定的方向场.,),(,),(为参数其中的等斜线为方程kkyxfyxfdxdy图1.2等斜线积分曲线：图中实线xydxdy1例：讨论微分方程等斜线是双曲线： kxy 1积分曲线的分布概况如左图. 拐点所在的曲线 方向场画法：方向场画法：适当画出若干条等斜线，适当画出若干条等斜线，再在每条等斜线上适当再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向

13、量选取若干个点画出对应的向量,这样即可画出这个方向场这样即可画出这个方向场.例例 画出方程画出方程 所确定的方向场示意图所确定的方向场示意图.22yxy 解解方程的等斜线为方程的等斜线为,22cyx 画出五条等斜线画出五条等斜线,再在每条等斜线再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的上适当选取若干个点画出对应的向量，如图方向场。向量，如图方向场。xoy根据方向场即可大致描绘出积根据方向场即可大致描绘出积分曲线分曲线经过点经过点(0,1)，(0,0)，(0,-1)的三条积分曲线如左图所示。的三条积分曲线如左图所示。xoy例5.的方向场研究方程xydxdy例6.2, 2| ),(的方向场和积分曲

14、线内画出方程在区域ydxdyyxyxd积分曲线积分曲线方向场方向场方向场示意图方向场示意图 积分曲线积分曲线 例7.2的方向场和积分曲线研究方程yxdxdy六、微分方程组六、微分方程组定义定义：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组微分方程组。lorenz方程方程volterra两种种群竞争模型两种种群竞争模型()d xayxd td yx zc xyd td zyb zd t(1.18)()()d xxab xc yd td yyde xf yd t(1.19)高阶微分方程高阶微分方程 的另一种形式（的另一种形式（如果可能如果可能！）

15、！）( ; ,)0nndzd zf t zdtdt1( )1( ; ,)0nnndzdzzg t zdtdt如果把如果把 都理解为未知函数，并作变换都理解为未知函数，并作变换(1),nz z zz (1)123,nnyz yz yzyz1211( ;,)nnnndyydtdyydtdyg t yydt上述高阶微分方程可以变为下列微分方程组上述高阶微分方程可以变为下列微分方程组并可以记为向量形式并可以记为向量形式( ; )dyf t ydt其中均为向量函数其中均为向量函数,( ; )y f t y分析分析：微分方程（组）的向量形式为其：微分方程（组）的向量形式为其用线性代数知识进行研究讨论提供了

16、方用线性代数知识进行研究讨论提供了方便。便。七、驻定与非驻定、动力系统七、驻定与非驻定、动力系统如果方程组如果方程组 的右端不含自变量的右端不含自变量 ，即，即( ; )dyf t ydtt( ),ndyf yydrdt则称为则称为驻定驻定（自治自治）的，否则就称为）的，否则就称为非驻定的非驻定的（非自治非自治）的。）的。注：注：对于非驻定方程组总可以引入变换变为驻定方程组。对于非驻定方程组总可以引入变换变为驻定方程组。把满足恒同性和可加性的映射称为把满足恒同性和可加性的映射称为动力系统动力系统。动力系统分为。动力系统分为连续连续和离散系统两种类型和离散系统两种类型，对应有，对应有连续动力系统和离散动力系统连续动力系统和离散动力系统。注注：记：记 为单参数为单参数 的的 的映射（变换），则映的映射（变换），则映射