方向导数与梯度黑塞矩阵与泰勒公式

1、第十章第十章 多元函数的导数及其应用多元函数的导数及其应用 10.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续 10.2 偏导数与全微分偏导数与全微分 10.3 多元复合函数与隐函数的偏导数多元复合函数与隐函数的偏导数 10.4 方向导数、梯度及泰勒公式方向导数、梯度及泰勒公式 10.5 多元函数的极值与条件极值多元函数的极值与条件极值10.4.1 方向导数与梯度方向导数与梯度内容小结与作业内容小结与作业10.4.2 方向导数与梯度的性质及应用方向导数与梯度的性质及应用10.4.3 黑塞矩阵与泰勒公式黑塞矩阵与泰勒公式高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件10.4.1 方向导

2、数与梯度方向导数与梯度1. 1. 方向导数的概念方向导数的概念偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率.对于二元函数 有( , ),zf x y0000000(,)(,)(,)lim,xhf xh yf xyfxyh0000000(,)(,)(,)lim.yhf xyhf xyfxyh在几何上，它们分别表示平面曲线 及0( , )zf x yyy0( , )zf x yxx在点 处的切线的斜率.00(,)xy高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件(x0, y0) 处沿某指定方向的变化率.下面我们来考虑二元函数 在点 ( , )zf x yuhq定义定义 若函数( , )zf

3、 x y0limuhzh00(,)ud f xy22()() ,hxy cos,xh cosyh00000(,)(,)limhf xx yyf xyh在点 00(,)p xy处沿方向 u (方向角为,) 存在下列极限: 记作 00(,)p xy则称为函数在点 p 处沿方向 u 的方向导数方向导数.00(,)ud f xy高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件s方向导数的几何意义方向导数的几何意义hpqpquc表示曲线c 在 点处的切线的斜率. 00(,)ud f xyp00(,)ud f xyfx特别特别: 当 u 与 x 轴同向0,2时 有 当 u 与 x 轴反向,2 时有

4、00(,).ud fyxxf 高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件000000(,)(,)cos(,)cosuxyd f xyfxyfxy那么函数在该点沿任意方向向量 u 的方向导数都存在，设函数 在点 处可微， ( , )zf x y000(,)p xy定理定理10.4.1且有其中 为向量 u 的方向余弦.cos ,cos因函数 在点 处可微，则 ( , )zf x y000(,)p xy证明证明00000000(,)(,)(,)(,)xyf xx yyf xyfxyxfxyy 22oxy 2. 方向导数的计算方向导数的计算高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班

5、教学课件000000(,)(,)cos(,)cos .uxyd f xyfxyfxy这就证明了方向导数存在，且00000(cos ,cos)(,)limhf xhyhf xyh0000(,)cos(,)cosxyfxyfxy( , )coscos .uffd f x yxy一般地，当函数 可微时，有( , )zf x ycos ,cos,xhyh 且 所以22,xyh 当自变量从点 沿u 方向移动时，000(,)p xy高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件三元函数 在点 沿方向 u (方向角为 )的方向导数定义为 ( , , )f x y z000(,)p xyz, 000

6、(,)ud f xyz0000000(,)(,)limhf xx yy zzf xyzh000000000( ,)cos( ,)cos( ,)cos .xyzf x y zf x y zf x y z定理定理10.4.1的逆命题不成立的逆命题不成立.2222222,0,( , )0,0.xyxyxyf x yxyxy f (x, y)在原点沿任意方向的方向导数存在在原点沿任意方向的方向导数存在, 但不可微但不可微.高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件000000(,)(,)(,)(1)()|;uxyuxyuxydfgd fd g方向导数的性质方向导数的性质000000(,)

7、(,)(,)(2)()|;uxyuxyuxydf gg d ff d g00000000(,)(,)(,)2(,)|(3)()|;|uxyuxyuxyxyg d ff d gfdgg高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件例例1. 求函数 在点 沿方向2( , )cos()yf x yxexy(1,0)34uij的方向导数.解：解：2sin(),yxfeyxy 22sin()yyfxexxy (1,0)1,xf (1,0)2,yf 又 的方向余弦为u2233cos53( 4) 2244cos53( 4) 故(1,0)(1,0)cos(1,0)cosuxyd fff3412155

8、 高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件例例2. 设是曲面n在点 p(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解解: 方向余弦为,142cos,143cos141cos而pxu,148pyu14pzu(1,1,1) ud u同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向导数.pzyx)2,6,4(1467111143826141pyxzx22866zyxu2286在点p 处沿求函数nn故高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件3. 梯度向量的定义梯度向量的定义因为t( , )( , ),( , ) (cos ,cos)uxyd f x yfx yfx y(

9、,)uffxye(,)ufffxyze t( , , )(,) (cos ,cos,cos )ufffd f x y zxyz新向量新向量g高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件( , , )f x y z ( , ),fffff x yijxyxy zfyfxf,kzfjyfixf同样可定义二元函数),(yxf),(yxp在点处的梯度 说明说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.称为函数 f (p) 在点 p 处的梯度 (gradient),g向量( , )( , )uud f x yf x ye ( , , )( , , )uud f x y zf x y ze 记

10、作 grad f 或 f , 即nabla 高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件例例3. 求函数 在点 处的梯度以及2( , )2f x yx yy(2, 1)函数在该点处沿方向 的方向导数.3uij 解：解：( , )2,xf x yxy2( , )2,yfx yx(2, 1)4,xf(2, 1)6yf故(2, 1)46fij 又131010ueij故(2, 1)(2, 1)uud ffe 13( 4,6),1010 1410高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件如果采用向量的记号，我们容易给出一般 n 元函数的方向导数与梯度的定义. 0( )( )li

11、mhfhfd fhuxuxx设 f (x) 是 n 元函数(通常我们只考虑二元函数和三元u 是 n 元向量, u0 是 u 对应的单位向量,函数的情况)，则 f (x) 在点 x 处沿 u 的方向导数和梯度分别定义为12( ),nffffxxxx0( )( )d ff uxxu高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件10.4.2 方向导数与梯度的性质及应用方向导数与梯度的性质及应用1. 函数的最速上升方向与最速下降方向函数的最速上升方向与最速下降方向n0,nx0(0, )00()(),ffxdx(0, ),定义定义10.4.1设 f (x) 是 上的连续函数，d 是 n 维非零

12、向量，如果存在，使得对于一切，恒有则称 d 为函数 f 在 x0 处的上升方向上升方向;恒有如果对于00()(),ffxdx则称 d 为函数 f 在 x0 处的下降方向下降方向.高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件0()0,d fux定理定理10.4.2设 f (x) 在点 x0 处可微, u 是一个 n 维非零向量，如果个上升方向；的一个下降方向则u 是f (x) 在点 x0 处的一0()0,d fux如果则 u 是f (x) 在点 x0 处定理说明定理说明:方向导数的符号决定函数的升降方向导数的符号决定函数的升降.高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件

13、结论结论1梯度方向是函数值上升最快的方向(最速上升方向),负梯度方向是而函数值下降最快的方向(最速下降方向)000000()()()()d ffff uxxuxux000().()ff成立xux沿梯度方向,方向导数达到最大值0() .fx问题：问题：函数值沿什么方向上升最快函数值沿什么方向上升最快? 沿什么方向下降最快？沿什么方向下降最快？ 高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件若函数 在点 处取最大值，则函数 沿任何( )f x x0 x x( )f x x方向都不可能上升，于是由定理定理10.4.2知0()0ud fx x特别地0()0()0fdfx xx x另一方面00

14、()000()()()0()ffdfffx xx xx xx xx x因此0()0()0fdfx xx x0()0fx x即函数在最大值点 处的梯度为零向量；0 x x同理可得函数在最小值点处的梯度向量也为零向量.结论结论2函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量 高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件设 在 处取最大（小）值，则( , )zf x y00(,)xy00(,)0f xy即0000(,)0,(,)0 xyfx yfx y类似地，若三元函数 在 处取最( , , )uf x y z000(,)xy z大（小）值，则000000(,)0,(,)0,(,)0 xyzf

15、xyfxyfxy高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件例例4. 设一座山的高度由函数 给出, 如2215 32zxy果登山者在山坡的点 处，此时登山者往何方(1, 2,4)p向攀登时坡度最陡？解：解：坡度最陡的方向为高度函数变化最快的方向，即求使高度函数在点 处的方向导数最大的方向 .pu(1, 2)(1, 2),zzfxy因( , )( , )uud f x yf x ye( , ) cosf x y 为梯度与 的夹角,u所以( , )ud f x y最大0即沿梯度方向函数上升最快. 又因( 6,8) 所以在点 处沿向量 方向攀登时坡度最陡.p( 6,8)u p221532

16、zxyuf高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件22( , )122f x yxyx 例例5求函数在点 (2, 1) 处函数值下降最快的方向0()0,fxd0()0,fxdn0,nx定理定理10.4.3设 f (x) 是 上的连续函数，d 是 n 维非零向量，如果则d 是f (x) 在点 x0 处的一个上升方向；如果则d 是f (x) 在点 x0 处的一个下降方向.d 与f (x0) 成锐角d 与f (x0) 成钝角解：解：( , )( 22, 4 )f x yxy (2,1)( 2, 4),f (2,1)(2,4)f所以函数在点 处的最速下降方向为(2,1)2,4 .高等数

17、学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件2. 梯度向量是二元函数等值线或三元函数等值面的法梯度向量是二元函数等值线或三元函数等值面的法线方向向量线方向向量 设 f (x) 是 n 元可微函数,0,nx0(),fkx:( )sfkx等值面01122,:( ),( ),( ).nncs xc xx txx txx t12( ),( ),( ),nf x tx tx tk1212( )( )( )0nnfffx tx tx txxx010200()( ),( ),( )nx tx tx tt x00()()0fxt x高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件000000(

18、,)( ,),( ,)xyf x yf x yf x y00( , )(,)f x yf xy对于对于 n = 2 的情形的情形:是函数 f (x, y)过点(x0, y0)的等值线在该点处, 它与等值线的切线垂直.在点(x0, y0)处的一个法线方向向量.等值线n=2xyo00()x yt00()f x y00()x y结论结论:0()fx与等值面在点x0 处的切平面垂直，所以是等值面s在点x0 处的一个法线方向向量.0()fx高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件000000000000( ,)( ,),( ,),( ,)xyzf x y zf x y zf x y zf

19、 x y z000( , , )(,)f x y zf xy z对于对于 n = 3 的情形的情形:是函数 f (x, y,z) 的等值面在点 ( x0, y0, z0 ) 处的一个法线方向向量. 在该点处, 它与等值线的切平面垂直.000(,)f xy z000(,)t xy zoxyz等值面等值面000( , )x y z3n 高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件10.4.3 黑赛矩阵与泰勒公式黑赛矩阵与泰勒公式1. 黑赛矩阵黑赛矩阵 设 n 元函数 f (x) 在点 x 处对于自变量的各分量的二阶2( )( ,1,2, )ijfi jnx x x连续， 偏导数2222

20、1121222222122222212( )nnnnnfffxxxxxffffxxxxxfffxxxxx hx二二阶阶导导数数或或黑黑塞塞矩矩阵阵2n 222112222212ffxx xffx xx h高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件例例6. 解：解：计算函数 的梯度与黑塞42( , )(1)f x yxxyy矩阵, 并求 以及2(0,0),(0,0)ff2(0, 1),(0, 1).ff因34,xfxy 2(1)yfxy ，则3( , ),(4,2(1)xyf x yffxy xy又212,xxfx 1,xyyxff2yyf 则2( , )xxxyyxyyfff x

21、 yff212112x所以(0,0)(0,2),f(0, 1)( 1,0)f 201(0,0),12f201(0, 1)12f高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件例例7. 解：解：设 皆为 n 维行向量，b 为常数，求 n 维线性, a x函数 在任意点 x 处的梯度和黑塞矩阵.t( )fbxax1212( ,),( ,)nna aax xxax设，于是121( )( ,)nnkkkff x xxa xbx 因( )(1,2, ),kkfaknxx 2( )0 ( ,1,2, )ijfi jnx xx 所以12( )( ,),nfa aaxa 2( )f0 x 高等数学分级

22、教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件当 时，二维线性函数2n 121 122( ,)f x xa xa xb 写成向量形式是112122( ,)( ,)xf x xa abx 于是1212( ,)( ,)f x xa a 21200( ,)00f x x高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件例例8. 解：解：设 q 为 n 阶对称矩阵， 皆为n 维行向量，c 为, b x常数，求 n 维二次函数 在任意tt1( )2fcxqxbx x点 处的梯度和黑塞矩阵.x设1212(),( ,),( ,)ijn nnnqx xxb bbq xb则121111( ,)2nnnnij

23、ijkkijkf x xxq x xb xc于是 1t( )( )( )nfxffxxxx 1111njjjnnjjnjq xbq xb xqb 高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件 1t( )( )( )nfxffxxxx 1111njjjnnjjnjq xbq xb xqb 又因2( )( ,1,2, )ijijfqi jnx x x所以1112121222212( )nnnnnnqqqqqqfqqqqx高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件写出二维二次函数的梯度和黑塞矩阵 .221211 112 122221 1221( ,)(2)2f x xq x

24、q x xq xb xb xc 1111121212121222221( ,),2xxqqf x xx xb bcqqxx 11121221212122,( ,)qqx xb bqqf x x 11121221222( ,)qqf xqxq 高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件2. 泰勒公式泰勒公式若函数 在点 的某一邻域内具有一( , )zf x y00(,)xy阶连续偏导数, 且 是这邻域内的一点,00(,)xh yk则有近似公式：00000000(,)(,)(,)(,)xyf xh ykf xyhfxykfxy如果要使这个函数有更高的精度, 先须讨论二元函数的泰勒公式

25、. 20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)(10) 1(!) 1()(nnhnxxf) 10(一元函数)(xf的泰勒公式:高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件记号 (设下面涉及的偏导数连续): ),()(00yxfykxh),()(002yxfykxh),()(00yxfykxhm0000(,)(,)xyh fxyk fxy表示),(),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(c000yxyxfkhpmpmpmpmppm 一般地, 表示表示高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件定理定理10.

26、4.400( , )(,)zf x yxy设在点的某一邻域内有直到 n + 1 阶连续偏导数 ,),(00kyhx为此邻域内任 一点, 则有),(),(0000yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(00!1yxfkhnyxn),()(001! ) 1(1kyhxfkhrnyxnn) 10(nr其中 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项 .t00(,)( , )f xyh k2t001( , )(,)( , )2!h kf xyh k高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学

27、课件证证: 令),10(),()(00tktyhtxft则 ),() 1 (, ),()0(0000kyhxfyxf利用多元复合函数求导法则可得: ),(),()(0000t kyt hxfkt kyt hxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002t kyt hxfhtxx ),(200t kyt hxfkhyx),(002t kyt hxfkyy),()()0(002yxfkhyx 高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件),(c)(000)(t kyt hxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地, ),()()0(00)(yxfkhmyxm由 )(t

28、的麦克劳林公式, 得 ) 1 ()() 1(! ) 1(1nn) 10(将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式. )0()0()0()0()(!1!21nn 高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件),()(001! ) 1(1kyhxfkhrnyxnn说明说明:(1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭邻域其绝对值必有上界 m , 22,hk令则有1)(! ) 1(nnkhnmrsincoskh11)sincos(! ) 1(nnnm20,1max(1)xx利用11)2(! ) 1(nnnm)(no2高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学

29、课件(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:),(),(0000yxfkyhxf),(00kyhxfhx),(00kyhxfky) 10(3) 若函数),(yxfz 在区域d 上的两个一阶偏导数恒为零, ( , ).f x y 常数由中值公式可知在该区域上 高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件例例9. 求函数( , )ln(1)(0,0)f x yxy在点解解: yxyxfyxfyx11),(),(的三阶泰勒公式. 2)1 (1),(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx333)1 (!2yxyxfpp)3,2, 1 ,0(p444)1 (!3yxyxfpp)4,3,2, 1 ,0(p因此,)0, 0()(fkhyx)0, 0()0, 0(yxfkfhkh高等数学分级教学高等数学分级教学a2班教学课件班教学课件)0, 0()(2fkhyx)0, 0()(3fkhyx)0, 0()0, 0(2)0, 0(22yyyxxxfkfkhfh)0 , 0(c333303ppppppyxfkh2)(kh3)(2kh(0,0)0,f又,hx ky将代入三阶泰勒公式得)1ln(yxyx2)(21yx 33)(31ryx其中),()(43khfkhryx44)1 ()(41yxyxykxh) 10(高等数学