高级生物统计

1、第五节第五节 一元一元多项式回归多项式回归 研究一个依变量与一个或多个自变量多项式联系的回归分析方法，称为多项式回归（polynomial regression）。只有一个自变量时，称为一元多项式回归；有多个自变量时，称为多元多项式回归。多项式回归可以处理相当一类非线性问题，它在回归分析中占有重要的地位，因为任一函数都可以分段用多项式来逼近。因此，在实际问题研究中，不论依变量与自变量的关系如何，我们总可以用多项式回归进行分析。 在回归分析中，当只有一个自变量时，如果依变量 y 与自变量 x 的关系为非线性的，但是又找不到适当的变量变换形式使其变为线性，则可以选用一元多项式回归，其最大优点就是可

2、以对任何双变量资料进行回归逼近，直至满意为止。 一元多项式回归数学模型 设依变量y与自变量x的内在关系为m次多项式，y与x共有n对观测值（xi , yi）（i=1，2，n）。那么，在xi处的观测值yi可表示为： 其中， 2012 (252)miiimiiyxxx), 0(2ni 一元多项式回归的一般方法 对于模型（2-52）式的一元多项式回归方程为2012 (253)mmybb xb xb x一元多项式回归问题可以通过变量变换转化为多元线性回归问题来解决。mmxbxbxbby22110212 ,mmxx xxxx 一元多项式回归方程的拟合度与偏离度 222)() (1yyyyr2()1ryys

3、nm相关指数r2表示一元多项式回归方程拟合度的高低，或者说表示一元多项式回归方程估测的可靠程度的高低。 离回归标准误 sr 度量即一元多项式回归方程的偏离度。 一元多项式回归自变量最高次数的选择 在一元多项式回归分析中，对于双变量的n对观测值，在理论上最多只能配到m = n-1 次多项式。但m越大，包含的统计量越多，计算量也就越大。对于一个实际双变量的资料，一元多项式回归方程的自变量的最高次数应取多少，可以参考资料的二维散点图来确定。一般情况下，散点所表现的曲线趋势的“波峰”数 +“波谷”数+1，可作为一元多项式回归方程的自变量的最高次数。但若散点波动大或者“波峰”、“波谷”两侧不对称，可再高

4、一次或二次。 【例【例23】 给动物口服某种药物a 1000mg，每间隔1小时测定血药浓度（g/ml），得到表2-5的数据（血药浓度为5头供试动物的平均值）。试建立血药浓度（依变量y）对服药时间（自变量x）的回归方程。 根据表2-5的数据资料绘制x与y的散点图 图2-1 表2-5资料的散点图 进行变量变换 2210 xbxbby22110 xbxbby212,xx xx 进行二元线性回归分析 先计算21245, 285, 419.65xxxxy2224212285, 15333, 24426.5833xxxxy11.10452,45.1930,2025213212yxyxxyyxxxx再计算于

5、是得到关于的正规方程组为125.0000, 31.6667, 46.6278xxy1212102060.0000, 6308.0000, 4859.2364600.0000, 167.8000, 2836.8067yssssssspspsp 8067.28360000.63080000.6008000.1670000.6000000.602121bbbb求出上述正规方程组系数矩阵的逆矩阵 003247. 0032468. 0032468. 0341349. 022211211ccccc关于b1、b2的解为而7630. 38382.34 8067.28368000.167003247. 0032

6、468. 0032468. 0234134. 0 20102221121121spspccccbb5193 . 86667.317630. 358382.346278.4622110 xbxbyb于是，得到二元线性回归方程217630. 38382.345193 . 8xxy 现在对二元线性回归方程即二元线性回归关系进行显著性检验。列出方差分析表，进行f检验。7149.4830)8067.2836()7630. 3()8000.167(8382.342364.4859202101spbspbssssry5215.287149.48302364.4859ryrssssss628, 2, 8191ryrrydfdfdfdfndf偏回归系数的显著检验，应用f检验法 6514.3553234134. 08382.34211211cbssb0006.4361003247. 0)7630. 3(222222cbssb1113553.6514747.5714.7536bbbrrmsssfmsms2224361.0006917.4104.7536bbbrrmsssfmsms0.01(1,6)13.75f 建立一元二次多项式回归方程 将x1还原为x，x2还原为x2，即得y对x的一元二次多项式回归方程 27630383823