电磁场的位函数

1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波第四讲第四讲 电磁场的位函数电磁场的位函数什么是电磁场的位函数？什么是电磁场的位函数？为什么要引入位函数？为什么要引入位函数？怎样引入位函数？怎样引入位函数？位函数有何物理意义？位函数有何物理意义？如何计算位函数？如何计算位函数？本讲拟讨论的问题问题一：什么是电磁场的位函数？问题一：什么是电磁场的位函数？ 电磁场的位函数是求解电磁场边值问题过程中，为了便电磁场的位函数是求解电磁场边值问题过程中，为了便于求解，根据电磁场性质引入的于求解，根据电磁场性质引入的辅助函数辅助函数。 电磁场位函数特性电磁场位函数特性与电磁场性质相关与电磁场性质相关。 引入位函数是为了简化电磁

2、场边值问题的求解。引入位函数是为了简化电磁场边值问题的求解。q介质球介质球0a( )?e r301()( )d4vrre rvr03()( )d4vj rrb rvr 矢量积分，计算较难矢量积分，计算较难问题二：为什么要引入电磁场的位函数？问题二：为什么要引入电磁场的位函数？问题三：如何引入电磁场的位函数？问题三：如何引入电磁场的位函数？ 根据根据电磁场的性质电磁场的性质引入。引入。静态电场：有散无旋场静态电场：有散无旋场静态磁场：无散有旋场静态磁场：无散有旋场时变电磁场：时变电磁场：标量电位标量电位矢量磁位矢量磁位动态标量位动态标量位动态矢量位动态矢量位( )r( )a r( , )r t(

3、 , )a r t动态标动态标量位量位动态矢量位动态矢量位标量电位函数标量电位函数 静态电场静态电场无旋场无旋场 静态磁场静态磁场无散场无散场 时变电磁场：时变电磁场：一、电磁场位函数的引入一、电磁场位函数的引入0e0( )er 矢量磁位函数矢量磁位函数0b()0a ( )ba r ()0at0b( , )ba r t bt ( , )( , )a r ter tt 一、电磁场位函数的引入一、电磁场位函数的引入对于恒定磁场中的矢量磁位，则通常采用对于恒定磁场中的矢量磁位，则通常采用库仑规范条件库仑规范条件，即，即 在电磁理论中，通常采用在电磁理论中，通常采用洛仑兹规范条件洛仑兹规范条件，即，即

4、 位函数的规范条件位函数的规范条件 在前述定义中，磁位函数在前述定义中，磁位函数 的散度未规定，导致位函数解的不的散度未规定，导致位函数解的不确定性。通过恰当地规定确定性。通过恰当地规定 的散度可简化位函数满足的方程。的散度可简化位函数满足的方程。aa0 a0at电场力做的功电场力做的功p p、q q 两点间的两点间的电位差电位差二、位函数的物理意义二、位函数的物理意义 标量电位函数的物理意义标量电位函数的物理意义e 矢量磁位函数的物理意义？矢量磁位函数的物理意义？ 动态位的物理意义？动态位的物理意义？ba aetdddell dd( )( )qqppelpq ba 三、位函数的求解三、位函数

5、的求解1 1、标量电位函数的求解、标量电位函数的求解 静电位参考点静电位参考点电位零点电位零点选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值( (电位差电位差) )两点间电位差有定值两点间电位差有定值 为使空间各点电位具有确定值，须选定空间某一点作为为使空间各点电位具有确定值，须选定空间某一点作为参考点参考点（电位零点电位零点）。由于空间各点与参考点的）。由于空间各点与参考点的电位差为确定值电位差为确定值，所以该点，所以该点的电位也就具有确定值，即的电位也就具有确定值，即 电位参考点选取原则电位参考点选取原则 应使电位表达式有意义。应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最

6、简单。若电荷分布在有限区域，通常取无限远处作电应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无限远处作电位参考点。位参考点。 同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。三、位函数的求解三、位函数的求解1 1、标量电位函数的求解、标量电位函数的求解 电位差电位差 由电位函数引出的经典物理量由电位函数引出的经典物理量电压电压（电位差电位差） a b edel ( )( )ddabbaabelel a、b 两点间的电位差两点间的电位差电场力对电场力对单位正电单位正电荷做的功荷做的功由场点与电位参考点的电位差即可描述场点电位。由场点与电位参考点的电位差即可描述场点电位。三、位函数的求

7、解三、位函数的求解思思 考考在什么情况下可选无限远处为电位参考点？在什么情况下可选无限远处为电位参考点？导体接地与导体的电位为零（选为电位参考点）是相导体接地与导体的电位为零（选为电位参考点）是相同的吗？同的吗？a) a) 不同电位参考点的问题能否叠加？不同电位参考点的问题能否叠加？1 1、标量电位函数的求解、标量电位函数的求解三、位函数的求解三、位函数的求解1 1、标量电位函数的求解、标量电位函数的求解几种典型电荷的静电位几种典型电荷的静电位点电荷的电位点电荷的电位 o q epql204rqeerqpqpe dl()pqppe dl204qrpeqdrr011()4pqqrr选取选取q q

8、点为电位参考点，遵循最简单原则，点为电位参考点，遵循最简单原则，q q应在无穷远处应在无穷远处0( )4qrr点电荷在空间中产生的电位点电荷在空间中产生的电位p说明：若电荷分布在说明：若电荷分布在有限区域有限区域，一般选择，一般选择无穷远点无穷远点为电位参考点为电位参考点三、位函数的求解三、位函数的求解1 1、标量电位函数的求解、标量电位函数的求解无限长线电荷的电位无限长线电荷的电位 epqp02lree 0(lnln)2lpqp 电位参考点电位参考点q q不能位于无穷远点，否则表达式无意义。不能位于无穷远点，否则表达式无意义。 根据表达式最简单原则，选取根据表达式最简单原则，选取=1柱面为电

9、位参考面，则柱面为电位参考面，则0ln2lppr 无限长线电流在空间中产生的电位无限长线电流在空间中产生的电位几种典型电荷的静电位几种典型电荷的静电位三、位函数的求解三、位函数的求解1 1、标量电位函数的求解、标量电位函数的求解( )rvyxzorivrm31()( )d4vrre rvre 31()rrr 1( )( )d4vrrvcr体分布电荷的电位体分布电荷的电位面电荷：面电荷：0( )1( )4ssrrdscr线电荷：线电荷：0( )1( )4llrrdvcr式中：式中：rrr几种典型电荷的静电位几种典型电荷的静电位三、位函数的求解三、位函数的求解1 1、标量电位函数的求解、标量电位函

10、数的求解电位方程及电位边界条件电位方程及电位边界条件dee 0/ 20/ 在无源区域在无源区域( )( )200电位的泊松方程电位的泊松方程电位的拉普拉斯方程电位的拉普拉斯方程电位方程电位方程电位边界条件电位边界条件12 12120ttnnseedd12()0t1212snn 2121nn理想介质理想介质介质介质2 2介质介质1 12122 e11 en21022021 电荷区电荷区:21ne三、位函数的求解三、位函数的求解2 2、矢量磁位函数的求解、矢量磁位函数的求解无限大均匀电介质中的矢量磁位无限大均匀电介质中的矢量磁位( )( )d4vj ra rvcr3( )( )d4vj rrb r

11、vr ba 31()rrr 式中：式中：rrr面电流：面电流：( )( )4ssjra rdscr线电流：线电流：( )( )4li ra rdlcr三、位函数的求解三、位函数的求解2 2、矢量磁位函数的求解、矢量磁位函数的求解矢量磁位方程及其边界条件矢量磁位方程及其边界条件( )ba r0bh0aj2()aaa 20()aaj 20aj ( )0a r无源区：无源区：20a磁位方程磁位方程磁位边界条件磁位边界条件12aan121211()seaaj三、位函数的求解三、位函数的求解3 3、动态位函数的求解、动态位函数的求解动态位函数方程动态位函数方程222aajt 222t 达朗贝尔方程达朗贝

12、尔方程0at洛伦兹条件洛伦兹条件1( , )( , )r ta r t dt 1( , )( , )d4vr tr tvr ( , )( , )d4vj r ta r tvr /ttr v 三、位函数的求解三、位函数的求解4 4、恒定磁场的标量磁位、恒定磁场的标量磁位 恒定磁场中，在恒定磁场中，在无传导电流无传导电流（j0）的空间）的空间 有有0hmh 标量磁位或磁标位标量磁位或磁标位2m0在线性、各向同性的均匀媒质中，媒质均匀磁化，即有在线性、各向同性的均匀媒质中，媒质均匀磁化，即有00()bbhmm0hm m0m 等效磁荷体密度等效磁荷体密度 磁标位的方程：磁标位的方程：2mm0 m00m

13、 解：解：在球外：在球外： 0,满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程 边界条件：边界条件： r au导体球电位球面对称：导体球电位球面对称： ( ) r电位满足拉普拉斯方程：电位满足拉普拉斯方程： 202112cdrccdrr ( (无穷远为电位参考点无穷远为电位参考点) ) 0r11,cucaua aur四、典型例题四、典型例题【例例1 1】 半径为半径为 a a 的导体球电位为的导体球电位为u ( u ( 无穷远处电位为无穷远处电位为0 )0 )，求，求球外的电位函数。球外的电位函数。2221()0ddrr drdr ，由边界条件：由边界条件： r au0r20c 四、典型例题四、典型例题【例

14、例2 2】 求电偶极子的电位和电场。求电偶极子的电位和电场。+q电偶极子电偶极子zodqrrr),(rp 解：解：在球坐标系中在球坐标系中0011( )()44rrqqrrrr r 22( /2)cosrrdrdcos2drr由于由于r dcos ,2drr302020444cos)(rrrrqdrrpep 电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。dqp22( /2)cosrrdrd四、典型例题四、典型例题（续前）（续前）电偶极子的电场强度电偶极子的电场强度30(2cossin )4rpeer等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图+q电偶极子电偶极子z

15、odqrrr),(rp)sin11()(rerererer四、典型例题四、典型例题【例例3】两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和和 x = a 处，在两板处，在两板之间的之间的 x = b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所示。求两导的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。体平板之间的电位和电场。0sobaxy两块无限大平行板两块无限大平行板0s1( )x2( ) x解：解：在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电荷分布外，处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电

16、位函数满足一维拉普拉斯方程其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xc xdxc xd方程的解为方程的解为四、典型例题四、典型例题（续前）（续前）0101()0sbacad 020020ssbcabd 010020()( ),(0)( )(),()ssabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )sxabe xxea 利用边界条件，有利用边界条件，有xb12( )( ),bb0210( )( )sx bxxxx处，处，0 x 处，处，1(0)0 x a2( )0a处，处，0220(

17、 )( )sxbexxea 故得到故得到问题：此题能否用高斯定理求解？问题：此题能否用高斯定理求解？四、典型例题四、典型例题【例例4】求均匀带电圆环的标量电位。圆环半径为求均匀带电圆环的标量电位。圆环半径为a,电荷密度为电荷密度为l 。均匀带电圆环均匀带电圆环axzyrrdlrpol解解：如图所示，由于具有轴对称性，标量电位如图所示，由于具有轴对称性，标量电位与与 无关，计算无关，计算 xo z 平面上的标量电位与电场平面上的标量电位与电场强度即可。强度即可。01( )d4lcrlr01d4lclrr(sincos )rxzre rr ee(cossin)rxyre aa eeddla2222

18、21 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar2221 200d( )42sincoslarraar四、典型例题四、典型例题均匀带电圆环均匀带电圆环axzyrrdlrpol(续前续前)2221 200d( )42sincoslarraar在在z轴上轴上 ，0222 1 222 1 2000d(0,0, )42 llaazrara对于远区，有对于远区，有r a ，所以，所以21 21 2112121( )sincos1sincosaaarrrrrrr1(1sincos)arr2001( )(1sincos)d4laarrr00244laqrr于是得到于是得到四、典型例题四、典型例题【例例5】求无限长线电流求