2021高三数学北师大版理一轮课后限时集训：31 平面向量的数量积与平面向量应用举例 Word版含解析

1、平面向量的数量积与平面向量应用举例建议用时：45分钟一、选择题1(2018全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()a4 b3 c2 d0ba(2ab)2a2ab2(1)3，故选b.2已知平面向量a(2,3)，b(1,2)，向量ab与b垂直，则实数的值为()a.bc.dda(2,3)，b(1,2)，ab(21,32)ab与b垂直， (ab)b0，(21,32)(1,2)0，即21640，解得.3已知向量a，b满足|a|1，b(2,1)，且ab0，则|ab|()a. b.c2d.a因为|a|1，b(2,1)，且ab0，所以|ab|2a2b22ab1506，所以|ab|.故选a

2、.4.如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形abcd的顶点d被阴影遮住，请设法计算()a10b11c12d13b以a为坐标原点，建立平面直角坐标系，则a(0,0)，b(4,1)，c(6,4)，(4,1)，(2,3)，421311，故选b.5(2019银川模拟)已知i，j为互相垂直的单位向量，ai2j，bij，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是()a. b.c(，2)d.c不妨令i(1,0)，j(0,1)，则a(1，2)，b(1，)，因为它们的夹角为锐角， 所以ab120且a，b不共线，所以且2，故选c.6(2019河北衡水模拟三)已知向量a(1，k)，b(2,4)，则“k”是“|

3、ab|2a2b2”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件c由|ab|2a2b2，得a22abb2a2b2，得ab0，得(1，k)(2,4)0，解得k，所以“k”是“|ab|2a2b2”的充要条件故选c.7(2019宝鸡模拟)在直角三角形abc中，角c为直角，且acbc1，点p是斜边上的一个三等分点，则()a0b1c.db以点c的坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则c(0,0)，a(1,0)，b(0,1)，不妨设p，所以()1.故选b.二、填空题8已知平面向量a，b满足a(ab)3，且|a|2，|b|1，则向量a与b的夹角的正

4、弦值为_a(ab)a2ab2221cosa，b42cosa，b3，cosa，b，又a，b0，sina，b.9已知平面向量a，b满足|a|1，|b|2，|ab|，则a在b方向上的投影等于_|a|1，|b|2，|ab|，(ab)2|a|2|b|22ab52ab3，ab1，a在b方向上的投影为.10(2019天津高考)在四边形abcd中，adbc，ab2，ad5，a30，点e在线段cb的延长线上，且aebe，则_.1法一：bad30，adbc，abe30，又eaeb，eab30，在eab中，ab2，eaeb2.以a为坐标原点，直线ad为x轴建立如图所示的平面直角坐标系则a(0,0)，d(5,0)，e

5、(1，)，b(3，)，(2，)，(1，)，(2，)(1，)1.法二：同法一，求出ebea2，以，为一组基底，则，()225212251.1(2018石家庄二模)若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|b|，则向量ab与a的夹角为()a. b.c.d.a法一：由|ab|ab|知，ab0，所以ab.将|ab|2|b|两边平方，得|a|22ab|b|24|b|2，所以|a|23|b|2，所以|a|b|，所以cosab，a，所以向量ab与a的夹角为，故选a.法二：|ab|ab|，ab.在四边形abco中，设|b|1，|ab|2|b|2，|a|，ab，aboa，在rtobc中，boa.2已知平面向量a

6、，b，c满足|a|b|c|1，若ab，则(ac)(2bc)的最小值为()a2bc1d0b因为ab|a|b|cosa，bcosa，b，所以a，b.不妨设a(1,0)，b，c(cos ，sin )，则(ac)(2bc)2abac2bcc21cos 21sin ，所以(ac)(2bc)的最小值为，故选b.3在abc中，a，b，c为a，b，c的对边，a，b，c成等比数列，ac3，cos b，则_.由a，b，c成等比数列得acb2，在abc中，由余弦定理可得cos b，则，解得ac2，则accos(b)accos b.4(2019江苏高考)如图，在abc中，d是bc的中点，e在边ab上，be2ea，ad

7、与ce交于点o.若6，则的值是_法一：过d作dfec，交ab于f.d为bc的中点，f为be的中点，又be2ea，efea，又dfeo，aoad，()().6，22，232，|，.法二：由于题目中对bac没有限制，所以不妨设bac90，abc，acb，建立如图所示的平面直角坐标系则e，d，易得lad：yx，lec：1，联立得解得则o.由6得60，c23b2，cb，.1已知平面向量a，b，c满足|a|b|1，a(a2b)，(c2a)(cb)0，则|c|的最大值与最小值的和为()a0 b.c.d.da(a2b)，a(a2b)0，即a22ab，又|a|b|1，ab，a与b的夹角为60.设a，b，c，以o为坐标原点，的方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a，b(1,0)设c(x，y)，则c2a(x1，y)，cb(x1，y)又(c2a)(cb)0，(x1)2y(y)0.即(x1)22，点c的轨迹是以点m为圆心，为半径的圆又|c|表示圆m上的点与原点o(0,0)之间的距离，所以|c|max|om|，|c|min|om|，|c|max|c|min2|om|2，故选d.2已知在abc所在平面内有两点p，q，满足0，若|