线性方程与常数变易法

1、 第二节第二节 线性方程与常数变易法线性方程与常数变易法 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程： 0)()()(xcyxbdxdyxa0)(xa在 的区间上可以写成 )19. 2()()(xqyxpdxdyyxpdxdy)(, 0)(xq若(2.19)变为齐次方程 若 ，（2.19）变为一阶非齐次线性方程。那么一阶非齐次线性方程。那么,如何求解这类方程？如何求解这类方程？ 0)( xqyxpdxdy)( )( )dyp x yq xdx解？解？( )p x dxyce解？解？所以，主要讨论非齐次线性方程所以，主要讨论非齐次线性方程(2.19)通解的求法。通通解的求法。通过分析，不难看出，过分析，

2、不难看出，(2.3)是是(2.19)的特殊情形，两者既的特殊情形，两者既有联系又有差别。因此，可以设想它们的解之间也应有联系又有差别。因此，可以设想它们的解之间也应该有某种联系而又有区别。于是，试图从方程该有某种联系而又有区别。于是，试图从方程(2.3)的的通解通解(2.4)的形式去求出方程的形式去求出方程(2.19)的通解。显然，如果的通解。显然，如果(2.4)中中c恒保持为常数，它必不可能是恒保持为常数，它必不可能是(2.19)的通解。的通解。故，可以假想，在故，可以假想，在(2.4)中，将常数中，将常数c看成看成x的待定函数的待定函数c(x)，使它满足方程使它满足方程(2.19)，从而求

3、出，从而求出c(x)。于是，令于是，令 )20. 2()()(dxxpexcydxxpdxxpexpxcedxxdcdxdy)()()()()(两边微分得到：两边微分得到：)()()()()()()()()(xqexcxpexpxcedxxdcdxxpdxxpdxxpdxxpexqdxxdc)()()(即即整理：整理：积分得到：积分得到：cexqxcdxxp)()()( )( )( )p x dxp x dxyeq x edxc原方程的通解：原方程的通解：注意：注意：1、常数变易法的本质实际上是一种变变量变换方法量变换方法，通过变换（2.20）将原方程变为可分离变量方程。2、常数变易方法的特点

4、强调求解过程强调求解过程。 例例7 求方程 的通解， 这里 为常数。 1(1)(1)xndyxnyexdxn步骤：改写原方程为规范的一阶非齐次线性方程； 求对应齐次方程的通解； 应用常数变易法求原方程的通解为： (1) ()nxyxec 其中 为任意常数。c 例例2 求方程求方程 的通解。的通解。 22dyydxxy问题问题：原方程不是未知函数的线性方程，于：原方程不是未知函数的线性方程，于 是设法改写原方程为非齐次线性方程是设法改写原方程为非齐次线性方程。 步骤：步骤：改写原方程为规范的一阶非齐次线性方程；改写原方程为规范的一阶非齐次线性方程； 求对应齐次方程的通解；求对应齐次方程的通解；

5、应用常数变易法求原方程的通解。应用常数变易法求原方程的通解。 方法方法：利用自变量与因变量的对应关系。：利用自变量与因变量的对应关系。一类特殊方程的求解：伯努利（一类特殊方程的求解：伯努利（bernoulli）方程方程？形如 ( )( )ndyp x yq x ydx的方程。称为伯努利（伯努利（bernoulli）方程方程。这里 为x的连续函数， 是常数。 ( ),( )p x q x0,1n 求解方法：利用变量变换可将伯努利方程化为线性方程。 1 nzy变换：(1) ( )(1) ( )dzn p x zn q xdx原方程变为：一阶非齐次线性方程 注意：在 时，还有解 0n 0y 例5 黎

6、卡堤（riccati）方程 2( )( )( ) (2.29)yp x yq x yf x其中其中 是在区间是在区间 内的已知连续函数。内的已知连续函数。 ( ), ( )( )p x q xf x和)b, a (分析分析：方程（：方程（2.29）看起来很简单，但是早在）看起来很简单，但是早在1841年法国数年法国数学家刘维尔（学家刘维尔（liouville）就已经证明了这个方程，在一般情就已经证明了这个方程，在一般情况下，它的解是不能用初等函数的有限次积分以及有限次代况下，它的解是不能用初等函数的有限次积分以及有限次代数运算而得到。但是，在特殊情况下，可以求出黎卡堤方程数运算而得到。但是，在

7、特殊情况下，可以求出黎卡堤方程的解来，即在知道黎卡堤方程的一个或几个特解的情况下，的解来，即在知道黎卡堤方程的一个或几个特解的情况下，就可以求出黎卡堤方程的解来。就可以求出黎卡堤方程的解来。注：在这里注：在这里“观察法观察法”起到了很大的作用。起到了很大的作用。 设设 是黎卡堤方程（是黎卡堤方程（2.29）的一个已知解，则有）的一个已知解，则有 )x(yy12111( )( )( )(2.30)yp x yq x yf x若令若令 ： ，其中，其中 是新的未知函数，将它代是新的未知函数，将它代入方程（入方程（2.29），并注意到恒等式（），并注意到恒等式（2.30），立刻得到），立刻得到关于关

8、于 的伯努利方程的伯努利方程:1yyuuu21 2 ( )( )( )(2.31)up x yq x up x u再令 ，则方程（2.31）化为关于 的线性方程:1vuvv和1 2 ( )( )( ) (2.32)vp x yq x vp x 因此，如果知道黎卡堤方程的一个特解，那么它的通解通过两次求积得到。实际上，只要作代换 11(2.33)yyv可将黎卡堤方程（2.29）化为关于v的线性方程（2.32），于是利用常数变易法找出线性方程（2.32）的通解，然后利用代换（2.33）便得到黎卡堤方程（2.29）的通解。 例6 求方程 的通解2(21) (41)40 xxyyxyx解：分析分析：原

9、方程是黎卡堤方程，于是就要用观察法找出一个特解来，并得到 是该方程的一个特解。 1y 求解过程求解过程：1、作变换 11yu 2、代入原方程，则原方程化为线性方程： 411(21)(21)xuuxxxx由一阶非齐次线性方程的求解方法不难得到线性方程的通解为： ( )(21)xcu xxx故原方程的通解为原方程的通解为： 2(21)21xxxcyxcxc 到目前为止，所介绍的可分离变量方程、齐次方程和到目前为止，所介绍的可分离变量方程、齐次方程和线性方程都是利用初等积分求解的规范方程。在实际线性方程都是利用初等积分求解的规范方程。在实际问题中出现的微分方程是多种多样的，如果能够找到问题中出现的微

10、分方程是多种多样的，如果能够找到适当地变量代换，把有关的微分方程化为上述规范方适当地变量代换，把有关的微分方程化为上述规范方程之一，那么原来的微分方程的通解也就容易求出来程之一，那么原来的微分方程的通解也就容易求出来了，这是初等积分法中最常用的方法。当然如何确定了，这是初等积分法中最常用的方法。当然如何确定变量代换，是比较困难，且无通法可循。一般而言，变量代换，是比较困难，且无通法可循。一般而言，主要根据每一个方程的主要根据每一个方程的特点特点去寻找，这就要靠在实践去寻找，这就要靠在实践中多总结经验，才能够逐步达到熟能生巧的地步。中多总结经验，才能够逐步达到熟能生巧的地步。 同时，通过黎卡堤方程的求解，还可以看出，初等同时，通过黎卡堤方程的求解，还可以看出，初等积分法的局限性，即并非所有一阶方程都能使用这积分法的局限性，即并非所有一阶方程都能使用这个方法求解。所以，在以后的讨论中，以二元函数个方法求解。所以，在以后的讨论中，以二元函数的全微分为基础来介绍一阶微分方程的另一种求解的全微分为基础来介绍