一元二次方程根与系数的关系及其应

1、一元二次方程根与系数的关系及其应用准备知识回顾：1、一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数的次数最高是2的整式方程叫一元二次方程.2、一般形式: （是常数，且） 3、解法:直接开平方法:形如和的形式可直接开平方.如(-1)2=5两边开平方得: 公式法：的求根公式是：十字相乘法:方程右边为零，左边分解成的形式,将一元二次方程转化成,的形式,变成两个一元一次方程来解. 4、根的判别式:=方程有两个不相等实根.方程有两个相等实根. 方程无实根.例 求解下列方程（1） （2）（3） （4） （5） （6） (7)韦达定理相关知识1、 若一元二次方程有两个实数根，那么 ， 。我们把这两个结论称为一元

2、二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具2、如果一元二次方程的两个根是，则 ， 。反过来，如果x1，x2满足x1+x2=p，x1x2=q，则x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根3、以为根的一元二次方程（二次项系数为1）是4、在一元二次方程中，有一根为0，则 ；有一根为1，则 ；有一根为，则 ；若两根互为倒数,则 ；若两根互为相反数，则 。5、二次三项式的因式分解 在分解二次三项式的因式时，如果可用公式求

3、出方程的两个根，那么如果方程无根,则此二次三项式不能分解.6 应用一元二次方程的根与系数关系时，要注意 （1）首先要把已知方程化成一般形式.（2）当且仅当b2-4ac0时，才能应用根与系关系.（3）已知方程的两根，求作一元二次方程时，要注意根与系数的正、负号.韦达定理的应用1、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值例、已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值分析：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值.解法一：把x=2代入原方程，得2

4、2-62+m2-2m+5=0即m2-2m-3=0解得m1=3 =-1当m1=3 =-1时，原方程都化为x2-6x+8=0 x1=2 x2=4方程的另一个根为4，m的值为3或-1.解法二：设方程的另一个根为x.则或 2、判别一元二次方程两根的符号.例1、不解方程，判别2x2+3x-7=0两根的符号分析：因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式，但只能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考察x1x2 或 x1+ x2的正负情况.解：=32-42(-7)=650方程有两个不相等的实数根 设方程的两个根为x1, x2，x1x2=- 0，仍需考虑x1+ x2的正负，从而判别是两个

5、正根还是两个负根.例2、当m为什么实数时，关于x的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的两个根都是正数。分析：正、负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零，两根之积大于零，根的判别式大于等于零。解：设方程的二根为x1, x2，且x10, x20，则有 由 =-2(m+1)2-4m(m-1)0 解得：m-m0, m0或m1不等式组的解集为空集.m1当m1时，方程的两个根都是正数。说明：当二次项系数含有字母时，不要忘记a0的条件。例3、k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0（1）两根互为相反数（2）两根互为倒数（3）有一根为零，另一根不为零。分析：两根“互为相反数”

6、、“互为倒数”，“有一根为零，另一根不为零”等是对两根的性质要求，在满足这个要求的条件下，求待定字母的取值.方程的根互为相反数，则x1=-x2,即x1+x2=0;互为倒数，则x1=，即x1x2=1，但要注意考察判别式0.解：设方程的两根为x1, x2，则x1+x2=-=- x1x2=（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，即x1+x2=-=0，k=0，当k=0时，=(4k)2-42(k+1)(3k-2)=160当k=0时，方程两根互为相反数。（2）要使方程两根互为倒数，必须两根的积是1，即x1x2=1，解得k=4当k=4时，=(4k)2-42(k+1)(3k-2)=-1440，k=时，

7、原方程有一根是零，另一根不是零。说明：研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零，=b2-4ac不得小于零。3、根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值.例1、关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围。解：设方程两根分别为x1, x2，x1+x2=3,x1x2=k+1x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2(k+1)1 又=(-3)2-4(k+1)0k由得：1k说明：例1是应用根的判别式，已知条件，构造不等式，用不等式组的思想，确定字母的取值范围. 例2、知：方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的

8、积大21，求m的值。分析：本题是利用转化的思想将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于m的方程,就可求得m的值.解：方程有两个实数根，=2(m-2)2-41(m2+4)0解这个不等式，得m0设方程两根为x1, x2，x1+x2=-2(m-2) x1x2=m2+4x12+x22-x1x2=21(x1+x2)2-3x1x2=21-2(m-2)2-3(m2+4)=21整理得：m2-16m-17=0解得：m1=17 m2=-1又m0 m=-1说明：1、求出m1=17, m2=-1后，还要注意隐含条件m0，舍去不合题意的m=17。4 求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘

9、法公式和代数式的恒等变形技巧例1 已知二次方程x2-3x1=0的两根为，求：(3)；(4)3-3解 由韦达定理知+=3，=1(3)=(+)(2-+2)=(+)(+)2-3 =3(9-3)=18；(4)3-3=(-)(2+2)=(-)(+)2-例2 设方程4x2-2x-3=0的两个根是和，求42的值解 因为是方程4x2-2x-3=0的根，所以4-2-30，即4=234+2=2+3+2=2(+)+3=45 与两根之比有关的问题 例1 如果方程ax2bxc=0(a0)的根之比等于常数k，则系数a，b，c必满足：kb2=(k1)2ac证 设方程的两根为x1，x2，且x1=kx2，由韦达定理由此两式消去

10、x2得即kb2(k1)2ac例2 已知x1，x2是一元二次方程4x2-(3m-5)x-6m20解 首先，=(3m-5)296m20，方程有两个实数根由韦达定理知从上面两式中消去k，便得即m2-6m+5=0，所以m1=1，m2=56 求作新的二次方程 例 已知方程2x2-9x8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方解 设x1，x2为方程2x2-9x8=0的两根，则设所求方程为x2+px+q=0，它的两根为x1，x2，据题意有故所以，求作的方程是 36x2-161x34=0a组1方程x2-4x+m=0的一个根是，那么另一根是（ ） （a） +4（b）-

11、4 （c）4-（d）以上答案都不对2若方程x2+px+q=0的两根中只有一个根为0，那么（ ） （a）p=q=0（b）p=0, q0 （c）p0, q=0（d）p0, q0 3如果-1是方程x2+mx-1=0的一个根，那么m的值为（ ） （a）-2 （b）-3 （c）1 （d）2 4以3和-2为根的一元二次方程是（ ） （a）x2+x-6=0 （b）x2+x+6=0 （c）x2-x-6=0 （d）x2-x+6=05两个实数根的和是3的一元二次方程是（ ） （a）x2+3x-4=0 （b）x2-3x+4=0 （c）x2-3x-4=0 （d）x2+3x+4=0 6 不解方程，求方程x2-7x+5=

12、0的两根之差。 （a） （b） （c）（d）以上都不对二、填空题：1、设、是方程的两根，则 ； ； 。2、以方程的两根的倒数为根的一元二次方程是 。3、已知方程的一个根是1，则它的另一个根是 ，的值是 。4、反比例函数的图象经过点p（、），其中、是一元二次方程 的两根，那么点p的坐标是 。三、解答题：1、证明：方程无整数根。2、已知关于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值3、已知x1，x2是方程4ax2-4ax+a+4=0的两个实根b组 1选择：(1)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根，则判别式=b2-4ac与平方式m=(2ax0+b

13、)2的关系是 (a)m(b)=m (c)=m(d)不确定(2)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，则（3）已知两圆的半径恰为方程的两根，圆心距为，则这两个圆的外公切线有（ ） a、0条 b、1条 c、2条 d、3条（4） 菱形abcd的边长是5，两条对角线交于o点，且ao、bo的长分别是关于的方程：的根，则的值为（ ） a、3 b、5 c、5或3 d、5或3二填空： (1)如果方程x2+px+q=0的一根为另一根的2倍，那么，p，q满足的关系式是_ (2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，乙由于看错了某一项系数的符号，3、 解答题：1、已知关于的方程 （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设、是方