几何中的应用修改课件

1、几何中的应用修改复习 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第七章 几何中的应用修改已知平面光滑曲线)(xfy ),(00yx切线方程0yy 法线方程0yy 若平面光滑曲线方程为( )( )x ty td( )d( )y tx t故在点),(00yx切线方程法线方程00( )( )xxyy t t)(00 xxxf)()(100 xxxf在点有有因 0 ( ) ()0 tyy( ) t)(0 xx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 几何中的应用修改过点 M 与切线垂直的平面称为

2、曲线在该点的法法机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置.TM空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.点击图中任意点动画开始或暂停几何中的应用修改)(, )(, )(:tztytxzzzyyyxxx000, t上述方程之分母同除以得令, 0t切线方程切线方程000zzyyxx),(0000zyxMtt对应设 ),(0000zzyyxxMttt对应)(0t)(0t)(0t机动 目录 上页 下页 返回 结束 TMM:的方程割线MM几何中的应用修改)(00 xxt此处要求)(, )(, )(000ttt也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量切向量 .)( )(00

3、yyt0)(00zzt如个别为0, 则理解为分子为 0 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 M不全为0, )(, )(, )(000tttTT因此得法平面方程法平面方程 T几何中的应用修改zyxo求圆柱螺旋线 kzRyRx,sin,cos2对应点处的切线方程和法平面方程.,2时当切线方程 Rx法平面方程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解解: 由于,sinRx0Ry kkz2,cosRy , kz ),0(20kRM对应的切向量为0)(2kzk在机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),0,(kRT, 故几何中的应用修改光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF机动 目录 上页 下

4、页 返回 结束 000zzyyxxMzyGF),(),(则在点),(000zyxM切线方程切线方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy0)(0 zz注：上述公式可用后面的曲面的法注：上述公式可用后面的曲面的法向量的向量积来解析。向量的向量积来解析。几何中的应用修改0,6222zyxzyx在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxzzxyydddd解解. 方程组两边对 x 求导, 得1ddddxzxyddzxddyx曲线在点

5、 M(1,2, 1) 处有:切向量解得,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1（分析：将此曲线看成（化成）参数为（分析：将此曲线看成（化成）参数为x的参数方程。）的参数方程。）几何中的应用修改切线方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx点 M (1,2, 1) 处的切向量011机动 目录 上页 下页 返回 结束 )1,0, 1(T几何中的应用修改0),(:zyxF设 有光滑曲面通过其上定点),(000zyxM0tt 设对应点 M,)(, )(, )(000ttt切线方程为)()()(000000tzztyytxx不全

6、为0 . 则 在, )(, )(, )(:tztytx且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线MT下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. )(, )(, )(000tttT几何中的应用修改MT机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttF,0处求导两边在tt ,0Mtt对应点注意 )(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(0

7、00000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量n的平面上 , 从而切平面存在 .n几何中的应用修改)( ),(0000 xxzyxFx曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx复习 目录 上页 下页 返回 结束 几何中的应用修改)( ),(000 xxyxfx曲面时, ),(yxfz zyxfz

8、yxF),(),(则在点),(zyx故当函数 ),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyfF 1zF令有在点),(000zyx在点有连续偏导数时, )( ),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 几何中的应用修改,法向量法向量用2211cosyxff将),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.为锐角则分别记为则,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx复习 目录

9、上页 下页 返回 结束 几何中的应用修改3632222zyx在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法线方程法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令机动 目录 上页 下页 返回 结束 )6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n几何中的应用修改0453203222zyxxzyx在点(1,1,1) 的切线解解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为)2,2, 1(因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线:11

10、1zyx1691法平面:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即与法平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1 , 1 , 1 (1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl 注意与例注意与例2解法的比较！解法的比较！几何中的应用修改切线方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(, )(, )(000tttT几何中的应用修改切线方程法平面方程000 yzzxxyzxyzxyMMMxxyyzzF

11、 FF FF FG GG GG G空间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF切向量 , yzyzMF FG G)(0 xx )(0yy0)(0 zz机动 目录 上页 下页 返回 结束 T , zxzxMF FG G xyxyMF FG G yzyzMF FG G zxzxMF FG G xyxyMF FG G几何中的应用修改空间光滑曲面0),(:zyxF曲面 在点法线方程法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隐式情况 .的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx几何中的应用修改空间光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切