球坐标系下梯度计算

1、在柱坐标系和球坐标系下的计算在柱坐标系和球坐标系下的计算一、在柱坐标系下的计算法一、在柱坐标系下的计算法的的柱柱面面坐坐标标就就叫叫点点个个数数，则则这这样样的的三三的的极极坐坐标标为为面面上上的的投投影影在在为为空空间间内内一一点点，并并设设点点设设mzrrpxoymzyxm,),( .,sin,coszzryrx xyzo),(zyxm),(rpr规定：规定：,0 r,20 . z为常数为常数r圆柱面圆柱面为常数为常数 半平面半平面为常数为常数z平平 面面),(zyxm),(rprzxyzo如图，柱面坐标系中的体积元如图，柱面坐标系中的体积元,dzrdrddv drxyzodzdr rd

2、dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf 然后再把它化为三次积分来计算然后再把它化为三次积分来计算积分次序一般是先积分次序一般是先 z 次次 r 后后 积分限是根据积分限是根据 在积分区域中的变化范围来确在积分区域中的变化范围来确定定zr, 例例11,:,)(22222 zyxzdvzyx 解解将将 投到投到xoy 面得面得d 122 yx1, 10 ,20 zrr 2010122222)()(rrdzzrdrddvzyx103)343(24103 drrrr注注 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥体或旋转体时，通常情况下总是

3、考圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。虑使用柱坐标来计算。例例22, 1,:,2222 zzyxzdxdydzyxez 解解 zzryrx sincos, 关键在于定出关键在于定出 的变化范围的变化范围 zr , r , 的范围容易定出的范围容易定出20 ,20 r z 呢？呢？注意到注意到时时当当10 r21 z时时当当21 r2 zr212201021rdzredrrdzredrdirzz 212222)(2)(2edreeeer 二、在球坐标系下的计算法二、在球坐标系下的计算法的球面坐标的球面坐标就叫做点就叫做点，个数个数面上的投影，这样的三面上的投影，这样的三在在点点

4、为为的角，这里的角，这里段段逆时针方向转到有向线逆时针方向转到有向线轴按轴按轴来看自轴来看自为从正为从正轴正向所夹的角，轴正向所夹的角，与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点点点为原为原来确定，其中来确定，其中，三个有次序的数三个有次序的数可用可用为空间内一点，则点为空间内一点，则点设设mrxoympopxzzommorrmzyxm ),(pxyzo),(zyxmr zyxa .cos,sinsin,cossin rzryrx规定规定,r 0,0 .20 为常数为常数r球球 面面为常数为常数 圆锥面圆锥面为常数为常数 半平面半平面如图，球面坐标系中的体积元素为如图，球面坐标系中的

5、体积元素为,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf然后把它化成对然后把它化成对 的三次积分的三次积分 , r具体计算时需要将具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示用球坐标系下的不等式组表示 积分次序通常是积分次序通常是 后后次次先先r例例3 3 计计算算 dxdydzyxi)(22，其其中中 是是锥锥面面222zyx ， 与与平平面面az )0( a所所围围的的立立体体.解一解一用球坐标用球坐标az ,cos ar 222zyx ,4 ,20,40,c

6、os0: ar dxdydzyxi)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 解二解二 用柱坐标用柱坐标222zyx , rz ,:222ayxd ,20,0,: arazr dxdydzyxi)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 例例 4 4 求求曲曲面面22222azyx 与与22yxz 所所围围 成成的的立立体体体体积积.解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采采用用球球面面坐坐标标， 由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重积

7、积分分的的性性质质知知 dxdydzv, adrrddv202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 注注若若 积分区域为球体、球壳或其一部分积分区域为球体、球壳或其一部分被积函数呈被积函数呈222zyx 而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单通常采用球坐标。通常采用球坐标。补充：利用对称性简化三重积分计算补充：利用对称性简化三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性奇偶性 一

8、一般般地地，当当积积分分区区域域 关关于于xoy平平面面对对称称，且且被被积积函函数数),(zyxf是是关关于于z的的奇奇函函数数，则则三三重重积积分分为为零零，若若被被积积函函数数),(zyxf是是关关于于z的的偶偶函函数数，则则三三重重积积分分为为 在在xoy平平面面上上方方的的半半个个闭闭区区域域的的三三重重积积分分的的两两倍倍.“你你对称，对称，我我奇偶奇偶” dvzyxfi),(对对 若若关于关于 xoy 面对称面对称时时当当) ,(),()1(zyxfzyxf 0 i时时当当),(),()2(zyxfzyxf 1),(2 dvzyxfi 0,),( | ),(1 zzyxzyx 若

9、若关于关于 xoz 面对称面对称时时当当),(),()1(zyxfzyxf 0 i时时当当),(),()2(zyxfzyxf 2),(2 dvzyxfi )0,( | ),(2 yzyxzyx 若若关于关于 yoz 面对称面对称时时当当),(),()1(zyxfzyxf 0 i时时当当),(),()2(zyxfzyxf 3),(2 dvzyxfi 0,),( | ),(3 xzyxzyx 三、小结三、小结三重积分换元法三重积分换元法 柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标（1） 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz （2） 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素 ddrdrdx

10、dydzsin2 （3） 对称性简化运算对称性简化运算思考题思考题则则上上的的连连续续函函数数为为面面对对称称的的有有界界闭闭区区域域，中中关关于于为为若若,),(3 zyxfxyr ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf为为奇奇函函数数时时关关于于当当z 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf为为偶偶函函数数时时关关于于当当z2.1面面上上方方的的部部分分在在为为其其中中xy 练练 习习 题题一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若 由曲面由曲面和和)(3222yxz 16222 zyx所所围围, ,则三重积分则三重积分 dvzyxf),(表示成直角坐标下表示成直角

11、坐标下的三次积分是的三次积分是_; ;在柱面坐标下在柱面坐标下的三次积分是的三次积分是_; ;在球面坐标下在球面坐标下的三次积分是的三次积分是_. .2 2、 若若 由曲面由曲面及及222yxz 22yxz 所围所围, ,将将 zdv表为柱面坐标下的三次积分表为柱面坐标下的三次积分_, ,其值为其值为_. . 3 3、若空间区域、若空间区域 为二曲面为二曲面azyx 22及及 222yxaz 所围所围, ,则其体积可表为三重积分则其体积可表为三重积分_; ;或二重积分或二重积分_; ;或柱面坐标下的三次积分或柱面坐标下的三次积分_. . 4 4、若由不等式、若由不等式2222)(aazyx ,

12、 ,222zyx 所确定所确定, ,将将 zdv表为球面坐标下的三次积分为表为球面坐标下的三次积分为_；其值为；其值为_. .二、计算下列三重积分二、计算下列三重积分: : 1 1、 dvyx)(22, ,其中其中 是由曲面是由曲面 24z)(2522yx 及平面及平面5 z所围成的闭区域所围成的闭区域. . 2 2、 dvyx)(22, ,其中其中 由不等式由不等式 0,0222 zazyxa所确定所确定. . 3 3、 dxdydzczbyax)(222222, , 其中其中 1),(222222czbyaxzyx. .三、求曲面三、求曲面225yxz 及及zyx422 所围成的立所围成的

13、立体的体积体的体积. .四、曲面四、曲面2224aazyx 将球体将球体azzyx4222 分分成两部分成两部分, ,试求两部分的体积之比试求两部分的体积之比. .五五、求求由由曲曲面面, 0,22 xayxyxz0, 0 zy 所所围围成成立立体体的的重重心心( (设设密密度度1 ) ). .六、求半径为六、求半径为a, ,高为高为h的均匀圆柱体对于过中心而垂的均匀圆柱体对于过中心而垂 直于母线的轴的转动惯量直于母线的轴的转动惯量 ( (设密度设密度)1 . .练习题答案练习题答案一一、1 1、 22222216)(34422),(yxyxxxdzzyxfdydx )(3164422222222),(yxyxxxdzzyxfdydx, , 21632020),sin,cos(rrdzzrrfrdrd rrdzzrrfrdrd31620202),sin,cos(, , 406020,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2 406520,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2； 2 2、 2221020rrzdzrdrd, ,127 ； 3 3、 dv, , ddxdyayx