三章节分布函数PPT课件

1、1 二 维 随 机 变 量 二维随机变量 联合分布函数 联合分布律 联合概率密度第三章第三章 多维多维随机变量及其分布随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第1页/共38页1）定义： 设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S=e,设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机向量，或二维随机变量。一、二维随机变量1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第2页/共38页注 意 事 项维维随随机机向向量量；二二维维随随机机变变量量也也称称为为二二我我们们应应把把二二维维随随机机变变量量 SeeYeX

2、YX ，之之间间是是有有联联系系的的；与与看看作作一一个个整整体体，因因为为YX 上上的的随随机机点点可可看看作作平平面面，量量在在几几何何上上，二二维维随随机机变变YX1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第3页/共38页2 2）二维随机变量的例子身身体体状状况况，令令考考察察某某地地区区成成年年男男子子的的例例1高高；：该该地地区区成成年年男男子子的的身身X 就就是是一一个个二二维维随随机机变变量量，则则YX重重：该该地地区区成成年年男男子子的的体体Y1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布，令令考考察察某某地地区区的的气气候候状状况况例例2：该该地地区区

3、的的温温度度；X 就就是是一一个个二二维维随随机机变变量量，则则YX：该该地地区区的的湿湿度度Y退 出前一页后一页目 录第4页/共38页 ，实实数数则则对对于于任任意意一一对对是是一一个个二二维维随随机机变变量量，设设yxYX .的的分分布布函函数数，为为二二维维随随机机变变量量的的函函数数我我们们称称此此函函数数，是是YXyx yYxXPyxF ，二、联合分布函数1 二维随机变量1）定 义第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第5页/共38页2 2）二元分布函数的几何意义yo(x, y)(X, Y )1 二维随机变量 中中的的概概率率为为右右上上顶顶点点的的无无穷穷矩矩形形，以

4、以落落在在，表表示示平平面面上上的的随随机机点点，yxYXyxF第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第6页/共38页3 3）一个重要的公式，设：设：2121yyxx 则则 2121yYyxXxP ， 22yxF， 21yxF， yxox1x2y1y2(X, Y )(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 , y1)1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布 12yxF， 11yxF， 退 出前一页后一页目 录第7页/共38页4）分布函数具有以下的基本性质：（1）F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即对于任意固定的 y , 当 x1 x2时，

5、);,(),(21yxFyxF );,(),(21yxFyxF 对于任意固定的 y , ; 0),( yF; 0),( xF. 1),(; 0),( FF, 1),(0)2( yxF且1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布对于任意固定的 x , 当 y1 y2时， 对于任意固定的 x , 退 出前一页后一页目 录第8页/共38页 （3 3） F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即 F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续.yxox1x2y1y2(X, Y )(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 ,

6、y1). 0),(),(),(),()4(11211222 yxFyxFyxFyxF1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第9页/共38页说说 明明上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一个二元函数具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数（证明略）1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第10页/共38页5 5）n n 维随机变量是其样本空间，是其样本空间，是一个随机试验，是一个随机试验，设设SE niSeeXXii，21 个个随

7、随机机变变量量是是该该样样本本空空间间上上的的 n则称则称 SeeXeXeXXXXnn ，2121维维随随机机变变量量上上的的为为样样本本空空间间nS1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第11页/共38页6 6）n n维随机变量的分布函数 ，维实数组维实数组意一意一维随机变量，则对于任维随机变量，则对于任是一个是一个，设设nnxxxnnXXX2121维维随随机机变变量量我我们们称称此此函函数数为为 n nXXX，21 nxxxF，21 nnxXxXxXP ，2211.的的分分布布函函数数1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第12页

8、/共38页三、二维离散型随机变量 为为二二维维离离散散型型随随机机变变量量，个个数数对对，则则称称无无穷穷的的取取值值是是有有限限个个或或可可列列，若若二二维维随随机机变变量量YXYX 二二维维离离散散型型随随机机变变量量，设设YX的的取取值值为为X，ixxx21的的取取值值为为Y，jyyy21则则称称 ，21 jiyYxXPpjiij 分分布布律律联联合合的的，为为二二维维离离散散型型随随机机变变量量)(YX1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布1）定义：退 出前一页后一页目 录第13页/共38页2）二维离散型随机变量的联合分布律 下下表表表表示示的的联联合合分分布布律律也也可可以以由

9、由， YX Y X 1y 2y jy 1x 11p 12p jp1 2x 21p 22p jp2 ix 1 ip ijp 1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第14页/共38页3)二维离散型随机变量联合分布律的性质：性性质质 1 0 jiijyYxXPp，有有1 jiijp，：性质性质 2 ，对对任任意意的的21 jiji1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第15页/共38页例例 3的的三三个个盒盒子子中中令令，编编号号为为将将两两个个球球等等可可能能地地放放入入321 的的联联合合分分布布律律，试试求求YX；，的可能取值为的可能

10、取值为210X解：解：号号盒盒中中的的球球数数；：放放入入 1X号号盒盒中中的的球球数数：放放入入 2Y，的的可可能能取取值值为为210Y 00 YXP，91 231 1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第16页/共38页92 10 YXP， 20 YXP，91 01 YXP，92 11 YXP，92 21 YXP， P0 02 YXP，91 22 YXP， P0 12 YXP， P0 1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第17页/共38页 的的联联合合分分布布律律为为，由由此此得得YX Y X 0 1 2 0 91 92 91

11、1 92 92 0 2 91 0 0 1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第18页/共38页例 4次次，令令将将一一枚枚均均匀匀的的硬硬币币掷掷3 的的联联合合分分布布律律，试试求求YX数数；次次抛抛掷掷中中正正面面出出现现的的次次： 3X；，的的可可能能取取值值为为3210X解：解：，的的可可能能取取值值为为31Y次次数数之之差差的的绝绝对对值值与与反反面面出出现现次次抛抛掷掷中中正正面面出出现现次次数数： 3Y1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第19页/共38页；0 10 YXP， 30 YXP，；81 11 YXP，；83

12、 ；0 31 YXP， 12 YXP，；83 ；0 32 YXP，；0 13 YXP，81 33 YXP， 的的联联合合分分布布律律为为，由由此此得得随随机机变变量量YX1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第20页/共38页 X Y0123108383038100811 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录 )5 ,2(F87 )2, 1(F83 yYxXPyxF ，第21页/共38页 X Y012310838303810081?YXP3, 23, 13, 01, 0YXPYXPYXPYXP8100810第22页/共38页1）定义：对

13、于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有： yxdudvvufyxF,),(),(则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y )称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。 四、二维连续型随机变量1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录 xdttfxF)()(第23页/共38页2) 概率密度的性质：;0),(10 yxf;1),(),(20 Fdxdyyxf连续，则有连续，则有在点在点若若),(),(30yxyxf 4

14、0 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在 G 内 的概率为： GdxdyyxfGYXP.),(),(1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布这个公式非常重要！).,(),(2yxfyxyxF 退 出前一页后一页目 录第24页/共38页 在几何上 z = f (x , y) 表示空间的一个曲面，上式即表示 P(X,Y) G的值等于以 G 为底，以曲面 z = f (x , y)为顶的柱体体积. GdxdyyxfGYXP.),(),(1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第25页/共38页例 5 的密度函数为的密度函数为，设二维随机变量设二维随机变量

15、YX；常常数数求求c解：解：由由密密度度函函数数的的性性质质，得得 其它其它，00043yxceyxfyx 的的联联合合分分布布函函数数；，求求YX ，求求2010 YXP1 二维随机变量 1)4( YXP退 出前一页后一页目 录第26页/共38页 dxdyyxf，1 0043dxdyecyxdyedxecyx 040312c 所以，所以，12c xy0, 0 yx ；，0 yxF时时，或或当当00 yx yxF，)2( yYxXP ， 其它其它，00043yxceyxfyx dudvvufxy ，退 出前一页后一页目 录第27页/共38页时时，且且当当00 yx yxF，dvedueyvxu

16、 040312 dudvvufxy ， xyvudvedu004312 yxee4311 其它其它，所以，所以，0001143yxeeyxFyx1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第28页/共38页dyedxeyx 20410312 2010yxdxdyyxf， 20431012dyedxyx 8311 ee 2010 YXP，1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第29页/共38页1Oxy1x+y=11 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布 1yxdxdyyxf， 1)4( YXP 1043101431212dyedxdyed

17、xyxxyx4334 ee退 出前一页后一页目 录第30页/共38页第31页/共38页第32页/共38页3）二维均匀分布 的的密密度度函函数数为为，如如果果二二维维随随机机变变量量YXAD其面积为其面积为是平面上的有界区域，是平面上的有界区域，设设 上的均匀分布上的均匀分布服从区域服从区域，则称二维随机变量则称二维随机变量DYX DyxDyxAyxf，011 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第33页/共38页二维均匀分布几何意二维均匀分布几何意义义 :上的均匀分布，则上的均匀分布，则服从区域服从区域，如果二维随机变量如果二维随机变量DYXDyx1 二维随机变量第三章 多维随机变量及其分布 内内；只只落落在在区区域域，我我们们可可以以认认为为随随机机点点DYX)1的的面面积积成成正正比比，内内的的概概率率与与内内任任一一个个子子区区域域落落在在11)2DDD中中的的位位置置无无关关。在在的的形形状状以以及及而而与与DDD111D2D退 出前一页后一页目 录第34页/共38页 若二维随机变量（X,Y）具有概率密度2112221)()1 (21exp121),(xyxf)()(22222211yyx记作（