系统微分算子方程

1、第 2 章 连续信号与系统的时域分析 2.1 连续时间基本信号连续时间基本信号 2.2 卷积积分卷积积分 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 2.6 系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法 2.3.1 微分算子和积分算子 1()tdpd tdp p p称为微分算子微分算子，1/1/p p称为微分逆算子或积分算子积分算子。2.3 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程例：以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。)()2)(2()()4()

2、()65()() 3)(2(22tfpptfptypptypp设a(p)和b(p)是p的正幂多项式， 则 )()()()()()(tfpapbtfpbpa 性质性质1 性质性质2微分算子的运算性质微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。)()(tpftpy不能随意消去公因子p而得到y(t)=f(t)的结果。因为y(t)与f(t)之间可以相差一个常数c。ctfty)()(也不能由方程 )()()()(tfaptyap通过直接消去方程两边的公因式(p+a)得到y(t)=f(t)， 因为y(t)与f(t)之间可以相差ce-at，其正确的关系是 atcetfty)()( 性质性质3 例如，方程 性

3、质性质4设a(p),b(p)和d(p)均为p的正幂多项式a(p)a(p)d(p)( )=( )d(p)b(p)b(p)f tf ta(p)a(p)d(p) ( )( )b(p)d(p)b(p)f tf t但是2.3.2 lti系统的微分算子方程 对于lti n阶连续系统，其输入输出方程是线性常系数n阶微分方程。若系统输入为f(t)，输出为y(t)， 则可表示为 ( )(1)(2)(1)1210()(1)(2)(1)1210( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnmmmmmmytaytayta yta y tb ftbftbftb ftb f t1212101212

4、10( )( )nnnnnmmmmmmpapapa pay tb pbpbpb pbf t用微分算子p表示可写成或缩写为00( )( )nmijijija py tb pf t0( )niiia pa p0( )mjjjb pb p( ) ( )( ) ( )a p y tb p f t( )( )( )( ) ( )( )b py tf th p f ta p121210121210( )( )( )mmmmmmnnnnnb pbpbpb pbb ph pa ppapapa pa微分算子方程传输算子 传输算子代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入的传输作用，故称h(p)为响应y(t)

5、 对激励f(t)的传输算子或系统的传输算子。 h(p)f (t)y(t)用h(p)表示的系统输入输出模型 ( )( )( )( ) ( )( )b py tf th p f ta p例例 2.3 1 设某连续系统的传输算子为 322( )234ph pppp写出系统的输入输出微分方程( )( )( )( ) ( )( )b py tf th p f ta py(t)f (t) 5 3 24x(t)x (t)x (t)例例 2.3 2 已知系统框图，求系统的传输算子 。 解解 设中间变量x(t)，左端加法器列方程 ( )( )3 ( )( )xtx tx tf t )(4)( 2)(txtxty

6、右端加法器2.3.3 电路系统算子方程的建立 表 2.2 电路元件的算子模型 在电路分析中，独立源信号代表系统激励，待求解的电流或电压为系统响应。例例2.3 3电路如图所示，试写出u1(t)对f(t)的传输算子。 u1(t)212pu1(t)p2f (t)f (t)(a)(b)2 h2 2 2 2 f)()(2212121tftupp)() 1(2)()22(12tfptupp22) 1(2)(2pppph)(2)( 2)(2)(2)(111tftftututu解解 由节点电压法列出u1(t)的方程为 例例 2.3 4 如图所示电路，电路输入为f(t)，输出为i2(t)，试建立该电路的输入输出

7、算子方程。 1212111( )( )( )11( )21( )0pi ti tf tppi tpi tpp 21221211(1)( )( )( )11( )(21)( )0ppi ti tf tppi tppi tpp解：列出网孔电流方程如下12221( )111( )10121( )i tpppf tppi tp 22221( )101( )11121ppf ti tppppp)()()2432(223tftippp2232221( )1011( )( )(2342)11121ppf ti tf tppppppppp2321( )( )2342i tf tppp2.4.1 系统初始条件

8、根据线性系统的可分解性，lti系统的完全响应y(t)可分解为零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)，即 )()()(tytytyfx分别令t=0-和t=0+，可得 )0()0()0()0()0()0(fxfxyyyyyy2.4 2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应 对于因果系统，由于激励在t=0时接入，故有yf(0-)=0；对于时不变系统，内部参数不随时间变化，故有yx(0+)=yx(0-)。故(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )xxxffyyyyyyyy同理，可推得y(t)的各阶导数满足 ( )( )( )( )( )( )(0 )(0 )(0 )

9、(0 )(0 )(0 )jjjxxjjjfyyyyyy系统的0-和0+初始条件(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )xfxfyyyyyy2.4.2 零输入响应算子方程01110111)()()(apapapbpbpbpbpapbphnnnmmmm 设系统响应y(t)对输入f(t)的传输算子为h(p)， 且 系统的特征系统的特征多项式多项式y(t)和f(t)满足的算子方程为 )()()()(tfpbtypa yx(t)满足的算子方程为 0)()(typax0t( )0a p 系统的特征方程：2.4.3 简单系统的零输入响应 简单系统简单系统1 若a(p)=p-，则yx(t)=c0et系

10、统特征方程a(p)=0仅有一个特征根p=。()( )0 ( )( )0 xxxpy tyty t( )0txdy t edt两边乘以 ，并整理得tettxxeceyty0)0()(00( )( )0ttxxdyedyed简单系统简单系统2 若 a(p)=(p-)2，则 yx(t)=(c0+c1t)et。 0)()(2typx()0()( )xpy tp0()( )txpy tc etxxectyty0)()(0()0( )( )xxtg tgpcte由于即( )xg t两边乘以e-t，再取积分 0( )tdtxetccty)()(100ttxxectyty0)()(0000( )( )txtx

11、dyedc tdyec t210121( )()( )()rxrtra ppy tcctc tcte推广2.4.4 一般系统的零输入响应 对于一般情况，设n阶lti连续系统，其特征方程a(p)=0具有l个不同的特征根i(i=1, 2, , l)，且i是ri阶重根，则1( )()ilriia pp式中，r1+r2+rl=n根据线性微分方程解的结构定理，令i=1,2,.,l,将相应方程求和，得1( )( )0lxiia pyt所以方程a(p)yx(t)=01( )( )lxxiiy tyt()( )0irixipytli, 2 , 1li, 2 , 1( )( )0 xia p yt 方程的解 一

12、定满足方程( )xiyt1( )()ilriia pp第二步第二步，求出第i个根 对应的零输入响应yxi(t)itririiiixiiietctctccty)(1)1(2210li,.,2 , 1 第三步第三步，将所有的yxi(t)(i=1,2,l)相加相加，得到系统的零输入响应，即lixixtyty1)()(0t 第四步第四步，由给定的零输入响应初始条件 或者0-系统的初始条件，确定常数确定常数) 1, 1 , 0)(0()(njyjx)., 2 , 1(, 1,)1(10liccciriiiliriippa1)()(第一步，将a（p）进行因式分解，即一般n阶lti连续系统零输入响应的求解步

13、骤： 例 2.4 1 某系统输入输出微分算子方程为 )()3()()2)(1(2tfptypp已知系统的初始条件y(0-)=3, y(0-)=-6，y(0-)=13, 求系统的零输入响应yx(t)。 解解 由题意知 a(p)=(p+1)(p+2)2txtxetcctypectyp2212022101)()()2()() 1(ttxxxetccectytyty221201021)()()()(其一阶和二阶导函数为 221021202122102120221021212022102120( )2()(1 2 )2( )22(1 2 )24(1)4tttxttttttxttty tc ec ecc t ec et c ec ey tc ec et ccec etc ec e ttxxxetccectytyty221201021)()()()(),2 , 1 , 0)(0()0()()(jyyjjx令t=0-,并考虑到代入初始条件值并整理得1020101021202021102120(0 )3c =1(0 )26c =2c =-1(0 )4413xxxyccycccyccc ttxete