极限的运算法

1、2.9.4 2.9.4 间断点及其分类间断点及其分类 1 1. .间间 断断 点点 的的 定定 义义 定定义义 3 3 若若函函数数),()( xnxf在在有有定定义义，且且xxf )(在在点点 不不连连续续，则则称称点点)(xfx 为为的的不不连连续续点点（或或间间断断点点） 。 若若)(xf有下列三种情况之一：有下列三种情况之一： 在在xx 没有定义；没有定义； 虽在虽在xx 有定义，但有定义，但)(limxfxx不存在；不存在； 虽在虽在xx 有定义，且有定义，且)(limxfxx存在，但存在，但)()(limxfxfxx ， 处处不不连连续续在在点点则则 )( xxf. . 1.第一类

2、间断点第一类间断点.)(,)(00的的第第一一类类间间断断点点函函数数为为则则称称点点右右极极限限都都存存在在处处左左在在点点如如果果xfxxxf例例1 1.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点 xoxy2.间断点的分类间断点的分类可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去间间断断点点为为函函数数义义则则称称点点处处无无定定在在点点或或但但处处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xfxxxfxfaxfxxfxx 例例2 2.1, 1,

3、11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为为函函数数的的可可去去间间断断点点 x如例如例2中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf特点特点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 xoxy112注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.2.第二类间断点第二类间断点.)(,

4、)(00的的第第二二类类间间断断点点为为函函数数则则称称点点在在右右极极限限至至少少有有一一个个不不存存处处的的左左、在在点点如如果果xfxxxf例例3 3.0, 0, 0,1)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x可去型可去型第一类型第一类型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 xxy1sin oyx 2 x是是xy tan 的的一一个个间间断断点点。 xxtanlim2， 2 x是是xy tan 的的第第二二类类间间断断点点， 无定义，无

5、定义， 0 x是是xy1sin 的的一一个个间间断断点点。 xx1sinlim0不不存存在在， 0 x是是xy1sin 的的第第二二类类间间断断点点。 无定义，无定义， 1 x是是11)(2 xxxf的的一一个个间间断断点点。 2)1(lim11lim)(lim1211 xxxxfxxx， 1 x是是11)(2 xxxf是是可可去去间间断断点点。 若若补补充充定定义义：2)1( f， 则则 1 , 2 1 ,11)(2xxxxxf在在点点1 x处处连连续续。 无定义，无定义， 1sinlim)00(0 xxfx， 1)11sin(lim)00(0 xxfx， 1)(lim0 xfx， 但但0)

6、0(1)(lim0 fxfx， 点点0 x是是)(xf的的可可去去间间断断点点。 若若改改变变定定义义：1)0( f，则则)(xf在在点点0 x处处连连续续。 （1）xxexf 111)( 解解：间间断断点点为为0 x，1 x， ) (1, ,1) , 0( ,0) ,( )( 在在xf内内连连续续。 xxxxexf10011lim)(lim， 0 x为为第第二二类类间间断断点点。 011lim)(lim111 xxxxexf， 111lim)(lim111 xxxxexf， 1 x为为第第一一类类间间断断点点。 （2） 1 , 1 ,11arctan)1()(2 xxxxxxf. . 当当1

7、 x时时， 根根据据初初等等函函数数在在其其定定义义区区间间上上是是连连续续 的的结结论论，知知)(xf在在) (1, 1), , 1( 1), ,( 内内连连续续。 解：解：)(xf是分段函数，是分段函数，1 x是“分界点” 。是“分界点” 。 011arctan)1(lim)(lim211 xxxfxx， 1)1( f， )1()(lim1fxfx ， 故故1 x为为可可去去间间断断点点。 11arctan)1(lim)(lim21 1 xxxfxx， 11arctan)1(lim)(lim21 1 xxxfxx， )(lim1 xfx 不不存存在在， 故故1 x为为 第第 一一 类类 间

8、间 断断 点点 。 注注：如如果果不不是是闭闭区区间间而而是是开开区区间间，那那么么定定理理的的结结论论 不不一一定定成成立立。 例例如如：) 1 , 0(1)(cxxf 2.9.5 2.9.5 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 定理定理 4 4（有界性定理）（有界性定理） 设设 ,bacf ，则，则 , baf 在在 上有界上有界，即即0 m， ,bax ，有有mxf )(。 ，但在，但在 内无界内无界 ) 1 , 0(xyoab)(xfy )(1xf)(2xf1x2x定理定理 5 5（最大（最大最小值定理）最小值定理）设设 ,bacf ，则存在，则存在 , ,21baxx ，

9、,bax ，有有)()()(21xfxfxf 。 （2 2）如果）如果)(xf在闭区间上有间断点，那么定理的结论在闭区间上有间断点，那么定理的结论 不一定成立。不一定成立。 xy11- -1- -1o例如：例如： 1,0 , 10 0,0,1 , 1)(xxxxxxf 但但无最大值也无最小值。无最大值也无最小值。 在在 上无最大值和最小值。上无最大值和最小值。 1 , 1 定定理理 6 6 的的几几何何意意义义是是： 若若连连续续曲曲线线弧弧)(xfy 的的两两个个端端点点 位位于于轴轴 x的的不不同同侧侧，则则这这段段曲曲线线弧弧与与轴轴 x至至少少有有一一个个交交点点。 xyoab)(xf

10、y c定定理理 7 7（介介值值定定理理） 设设 ,bacf ，且且)()(bfaf ， 之之间间与与为为介介于于 )( )( bfaf 的的任任意意实实数数，则则至至少少存存在在 一一点点)(a, bc ，使使得得 )(cf。 )(bf)(af oxyab)(xfy 1c2c3c定定理理 7 7 的的几几何何意意义义是是：连连续续曲曲线线弧弧)(xfy 与与直直线线 y至至少少有有一一个个交交点点。 证证明明：作作辅辅助助函函数数 )()(xfxf，则则 ,bacf ， 之间之间与与为介于为介于 )( )( bfaf ， 0)( )()()( bfafbfaf， 由由定定理理 6 6 知知，

11、),( bac ，使使得得0)( cf， 即即 )(cf。 01)0( f，01)1( f， 存存在在)1 , 0( c，使使012)( cccf， 即即方方程程012 xx在在)1 , 0(内内至至少少有有一一个个实实数数根根。 推推论论：设设 ,bacf ，mf 能能取取得得介介于于它它的的最最大大值值则则 与与最最小小值值 m 之之间间的的任任一一个个值值。 1 , 0cf ，证证明明：令令cbxaxxxf 23)(，则则) ,( )( cxf。 )1(lim)(lim323 xcxbxaxxfxx， )1(lim)(lim323 xcxbxaxxfxx， 必必存存在在)( ,2121x

12、xxx ，使使得得0)( , 0)(21 xfxf， 而而 , )(21xxxf在在上上连连续续， 故故由由零零点点定定理理知知，必必存存在在) ,( 21xxc ，使使得得0)( cf， 即即方方程程023 cbxaxx必必有有实实根根。 （k 为为某某一一正正整整数数） ，则则存存在在 ,bac ，使使 kiixfkcf1)(1)(。 证证明明： ,bacf ， kmxfxfxfkmk )()()(21， mxfxfxfkmk )()()(121， 由由介介值值定定理理知知， , bac ， 使使得得 kiixfkcf1)(1)(。 因因而而 , )(baxf在在上上有有最最小小值值 m 和和最最大大值值 m， ) , , 2 , 1 ( )(kimxf