(全国通用)中考数学几何专项突破：等腰三角形和直角三角形(含答案)

1、中考数学几何专项突破等腰三角形和直角三角形（含答案）典例探究例1如图， ABC中，AB=AC / B=70 ,则/ A的度数是（）A . 70 B. 55C. 50D. 40例2已知等腰三角形的一边长为4,另一边长为8,则这个等腰三角形的周长为（A. 16 B . 20 或 16BD为中线，延长BC至 E,使 CE=Ct=1,连接 DE 则 DE.例3已知 ABC为等边三角形,C例4如图1,在 ABC3, AB= AC点D是BC的中点，点 E在AD上.求证：BE= CE（2）若BE的延长线交AC于点F,且BFLAC,垂足为F,如图2, / BAC= 45。，原题设其它 条件不变.巩固练习,则这

2、个等腰角形顶角的度数1、若等腰三角形的一个内角为50为2 .在 ABC中，AB= AC, D为AC边上一点，且A. 30B . 36 C . 45DBD= BC= AD,则/ A 等于（）.723 .已知：如图， AC和BD相交于点 O, AB/ CD OA=OB求证：OC=OD4 .如图，已知 P、Q是4ABC边BC上两点，且 BP=PQ=AP=AQ=Q或/ BAC的度数。5 .已知：如图，在 ABC中，/ B=Z C, Dk E、F分别为 AR BC, AC上的点，且 BD=CE /DEF=Z Bo求证： DEF是等腰三角形。6 .若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形的形状是

3、7 .在直角三角形中，若一锐角为30。，而斜边与30。角所对的边的和为 15cm,则斜边的长为()A 3cm B 、7.5cm C 、10cm D 、12cm8 .如图，已知 ABC为等边三角形， D E、F分别在边 BC CA AB上，且 DEF是等边三角形(1)除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想是正确的。(2)你所证明相等的线段可以通过怎么样的变化相互得到？写出变化过程。9 .已知：如图，网格中的小正方形的边长均为1, ABC的三个顶点在格点上。求证： ABC是等腰直角三角形。10 . 如图，在 ABC中，,BD CE分别是 ABC BCD勺角平分线,则图中的等

4、腰三角形有()A 5个B 4个C、3个D、2个11 .如图，已知 OA= a , P是射线 ONLk一动点(即 P可在射线 ON上运动)，/ AON 600, 填空：(1)当O2时， AOW等边三角形；(2)当O2时， AOW直角三角形；(3)当OP荫足时， AOP为锐角三角形；(4)当OP荫足时， AOP为钝角三角形。12.如图， ABC中，CD AB于D,一定能确定 ABC为直角三角形的条件的个数是( )CD DB。1 A, B 2 90, BC： AC： AB 3： 4： 5 AD CDAC BD AC CDA. 1B . 2. 3 D . 4D13 .数学活动课上，老师在黑板上画直线平

5、行于射线 AN（如图），让同学们在直线l和射线AN 上各找一点B和C,使彳#以A B C为顶点的三角形是等腰直角三角形.这样的三角形最多 能画个.A B14 .如图，e O是等边三角形 ABC的外接圆，e O的半径为2, 则等边三角形ABC的边长为（）A.B.C.D.2和5,则它的周长为（.9或 1215 . 一个等腰三角形的两边长分别为A. 7 B . 9 C . 12 D16 .已知等腰三角形的一个内角为等腰三角形的顶角为（）B.A.C.D.17.如图，在等腰三角形 ACB中, 点 A, B 重合）,DE AC , DF18.如图，在等腰RtAABC中， 在AG BC边上运动，且保持 AD

6、 结论：C 90, AC 8, F是AB边上的中点，点 D CE .连接DE DF、EF.在此运动变化的过程中，E分别卜列（不与AC BC 5, AB 8 , D为底边AB上一动点BC,垂足分别为E, F ,求DE DF的长. DFE是等腰直角三角形；四边形CDF环可能为正方形,DE长度的最小值为4;四边形CDFE勺面积保持不变;CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是（）A.B.C.D.19.在 ZXABC 中，AC=BC ACB 90，点 D为 AC的中点.（1）如图1, E为线段DC上任意一点，将线段 DE绕点D逆时针旋转90。得到线段DF,连 结CF,过点F作FH FC ,交直线AB于

7、点H.判断FH与FC的数量关系并加以证明.（2）如图2,若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中 得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明.图1参考答案例1【答案】：D.【解析】根据等腰三角形的性质等边对等角得到/C叱B=70 ,再根据三角形内角和定理得ZA=180 -ZC-Z B=180 -70 -70 =40 .故选 D.【方法指导】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理.等腰三角形性质：等边对等角；“三线合一”.三角形内角和定理：三角形内角和为180。.例2 :等腰三角形的性质；三角形三边关系.分析：因为已知长度为4和8两边，没由明确是底边还是

8、腰， 所以有两种情况，需要分类讨 论.解答：解：当4为底时，其它两边都为 8,4、8、8可以构成三角形，周长为20;当4为腰时，其它两边为4和8,4+4=8,.不能构成三角形，故舍去，.答案只有20.故选C.点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答， 这点非常重要，也是解题的关键.例3【答案】石【解析】直接求解.另外，也可以过点C作CFL DE根据DE 2EF将问题转化为求 EF,这又可以通过在 RtCEF中运用勾股定理或锐角三角函数求解.例4【思路分析】(1)证4AB降 ACEIP

9、M.(2) 4AEF和 BCFE具备两组角对应相等，因此只需证有一组对应边相等.由/BAC= 45可知ABF为等腰直角三角形，于是找到对应边AF, BF相等.【解】证明：(1) .AB= AC, D是 BC的中点，BAE= Z CAE在 AB丽 ACE中，. AB= AC / BAE= Z CAE AE= AE,ABE ACEBE= CE(2) / BAC= 45 , BF AF,ABF为等腰直角三角形.AF= BF.由(1)知 AD BC ./EAF / CBF在AAEF和ABCF中，AF= BF / AFE= / BFC= 90 , / EAF= / CBF. AE口 BCF【方法指导】证

10、三角形全等，关键是证角相等或边相等.全等三角形的判定方法有：SASASA AAS SSS和HL （HL为直角三角形专用）.等腰三角形的三线合一性在三角形全等的 证明中有较广泛的应用.巩固练习1、【答案】50或802. 【答案】B3. 证明： AB/ CD（已知）/ A=Z C, / B=Z D（两直线平行，内错角相等）OA=OB （已知），/A=/ B（等边对等角）/ C=Z D（等量代换）OC=OD （等角对等边）4. 【答案】解：.AP=PQ=AQ 已知）， APQ是等边三角形（等边三角形的定义） / APQh AQP=/ PAQ=60 （等边三角形的性质） AP=BP（已知） / PBA

11、W PAB （等边对等角）又/ APQ= PAB吆 PBA=60 / PBAW PAB=30同理/ QAC=30BACh PAB吆 PAQ吆 QAC=30 +60 +30 =1205.【答案】 证明：/B+/ BDE+Z BED=180 （三角形内角和定理）/ BED吆 DEF+Z FEC=180 （平角性质）/B=/ DEF （已知）BDEh FEC（等角的补角相等）在 BE/口 CFE 中/BDEhFEC中（已证）BD=CE （已知）/B=/ C（已知）. .BE阴 CFE （ASA）DE=EF （全等三角形对应边相等）DEF是等腰三角形（等腰三角形定义）6 .【答案】直角三角形7 .【答

12、案】C8 .【答案】解：(1)图中还有相等的线段 AE=BF=CD AF=BD=CE(2)线段AE、BF、CD绕4ABC的中心按顺时针方向旋转120互相得到线段。AF、BD CE绕 ABC的中心按顺时针方向旋转120互相得到。9 .【答案】通过勾股定理计算得到AC=J2 =BC10 .【答案】A11 .【答案】aaa ,、(1) a； (2) 2a 或一；(3) VO% 2a； (4) 0vO% 或 OA 2a 22212 .【答案】C13 .【答案】314 .【答案】C15 .【答案】C16 .【答案】C1.1. 【答案】318 .【答案】B19 .【答案】分解:(1)FH与FC的数量关系是:FHFC . 1证明:延长DF交AB于点G,由题意，知/EDFW ACB90,DE=DFDG/ CB点D为AC的中点，1，点G为AB的中点，且DC -AC .2.DG为