高考数列通项公式与求和数列与不等式综合题数学归纳法

1、递推数列题型总结类型1 用累加法 例. 已知数列满足，求。类型2 用累乘法例1:已知数列满足，求。例2:已知， ，求。类型3 （其中p，q均为常数，）。用待定系数法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。变式:在数列中，若，则该数列的通项_类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例:已知数列中，,，求。类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为 其中s，t满足例:已知数列中，,，求。变式:1.已知数列满足 （II）求数列的通项公式；2.已知

2、数列中，,，求3.已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。类型6 递推公式为与的关系式。(或)例：已知数列前n项和. （1）求与的关系；（2）求通项公式.（2） 应用类型4（其中p，q均为常数，）的方法，上式两边同乘以得： 由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以变式: 已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an 变式: 已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.类型7 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数

3、列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例:设数列：，求.变式:已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3 ()令 ()求数列()设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出 不存在,则说明理由.类型8 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例：已知数列中，求数列变式:已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+an)是等比数列；（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；记bn=，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn

4、+=1 类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例：1、已知数列an满足：，求数列an的通项公式 2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式3、已知数列满足时，求通项公式 4、已知数列an满足：，求数列an的通项公式。5、若数列a中，a=1，a= nN，求通项a 类型10 解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。例：已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 变式:数列记（）求b1、b2、b3、b4的值； （）求数列的通项公式及数列

5、的前n项和类型11 或解法：这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。例：（I）在数列中，求 （II）在数列中，求类型12 归纳猜想法 解法：数学归纳法设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2； （）an的通项公式 类型13双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例：已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.类型14周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例：若数列满足，若，则的值为_。结论：（1）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，（这里即）；。（2） 若等差数列、的前和分别为、

6、，且，则.【例】设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么_（答：）（3）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗如（1）等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大正整数n是 （答：4006） 若是等

7、比数列，则、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列；若是等比数列，且公比，则数列 ，也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，是常数数列0，它不是等比数列。如已知且，设数列满足，且，则. （答：）；在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为_（答：40）。如设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_（答：2）在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，。如设数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：若，则既是等差数列又是等比数列；若，则是等差数列；若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：）二.数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声

8、明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：;.如等比数列的前项和S2，则_（答：）；计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是_（答：）（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。如求：（答：）（3） 倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）。如求证：；已知，则_（答：）（4）错位相减法：如

9、果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）。如（1）设为等比数列，已知，求数列的首项和公比；求数列的通项公式.（答：，；）；（2）设函数，数列满足：，求证：数列是等比数列；令，求函数在点处的导数，并比较与的大小。（答：略；，当时，；当时，）（5）裂项相消法：数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，常选用裂项相消法求和.常用裂项有：；，； ；.如求和： （答：）；在数列中，且S，则n_（答：99）；（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如求数列14，25，36，前项

10、和= （答：）；求和： （答：）数列综合题 S/n的结论例1已知数列a是公差d0的等差数列，其前n项和为S(2)过点Q(1，a)，Q(2，a)作直线L2，设l与l的夹角为，“万能通项”，递推公式，特殊数列的证明方法例2已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。数列的求和方法例4、设a1=1,a2=,an+2=an+1-an (n=1,2,-),令bn=an+1-an (n=1,2-)求数列bn的通项公式，(2)求数列nan的前n项的和Sn。解： （II）数列与集合和函数综合例5在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位

11、于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列。求点的坐标；设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，求的通项公式。解：（1）（3）例6数列中，且满足 求数列的通项公式；设，求；设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。解：（1）.（2）故 （3） m的最大整数值是7。数列不等式证明 例1. 在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（）证明：解：（）由条件得由此可得猜测用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立假设当n=k时，结论成立，即

12、，那么当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论也成立由，可知对一切正整数都成立（）n2时，由（）知故综上，原不等式成立 例2。设数列满足：，(1)求； (2)令，求数列的通项公式； (3)已知，求证：命题者提供的参考答案如下： (1)， (2)由得：，代入得，故是首项为2，公比为的等比数列(3)由(2)得：方法1加强命题数学归纳法作为证明数列不等式的常用方法，我们直接运用数学归纳法时，不难发现，归纳假设的放缩过大因此有了增大归纳假设的想法，利用加强命题的方式，探求原不等式成立的充分条件，进而能用数学归纳法证明之【分析】 猜想证明加强不等式用数学归纳法证明之： 综上所述：当时，原不等式成立【简评

13、】此法的难点、关键在于寻找充分条件，我们采取由特殊到一般的尝试，探求出需增大的一个量，但这个量不是唯一的，还有其他增量也可构成其充分条件，但原则是保证能用数学归纳法的证明方法2对偶变形放缩法 放缩法也是证明不等式常用方法，主要利用不等式的传递性，放缩法虽然原理极为简单，但放缩技巧较强，放缩手段千变万化，因此，要做到有的放矢，目标明确 综上所述：恒成立【简评】由不等式结构的特殊性，适当对偶变形后，式子中出现关键量，进而猜想剩余因式均大于1.而其中，证明关键式，能够达到整体放缩的目的方法3变更命题构造法 对于不熟悉的不等式问题，可以采取合理变形及构造熟知的代数、几何结构，使其转化为常见的不等式问题

14、，进而证明之易由导数证明，且， 故原不等式成立【简评】由于原不等式左边为一个递减的积函数结构，较难求出其最小值此法带有针对性地先取倒数、再取对数将其化为一个递增的和函数结构，方便进行构造函数值得注意的是，其中不等式是化对数函数为多项式函数的重要手段例3 数列满足a1=1，且.（）用数学归纳法证明：；（）已知不等式对成立. 证明：。解答：（）的证明：（1）当n=2时，；（2）假设时，不等式成立，即，则，即当时，不等式也成立.综合（1）（2），得.（）的证明：方法一 ，取自然对数，得：当时，即，成立.方法二首先，用数学归纳法证明不等式：.（1）当n=1，2，3，4时，依次取值2，4，8，16，依次取值0，2，6，12，所以不等式成立；（2）假设时，不等式成立，即，所以，即，从而，即当n=k+1时不等式成立，综合（1）（2），证得，其次，当 时，依设得，由（）知，故有， 得，.，e3e，2.7e2.72，3e7.2q，得an3e-17.16e2.又有a1=1e2，所以证得ane2 .体验（1）上述（）的证法一，将放大为，即是利用了和a1=1，将1放大为，顺利且简练地完成证明. 而证法二，则比较转折，进行多次放缩，首先是将和都放大为，后来为证明3e-12.73=19.68316，得，；其次，综合，证得.因为，所以，这里不仅证明了（）的不等式，而且获得更强的结