二元一次方程简单的线性规划

1、3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（1） 学习目标 1了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界，会用二元一次不等式组表示平面区域；2经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力. 学习过程 一、课前准备复习1：一元二次不等式的定义_二元一次不等式定义_二元一次不等式组的定义_ 复习2：解下列不等式：（1）； （2） .二、新课导学 学习探究探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，的解集为 . 那么，在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？探究2：你能研究：二元一次不等式的解集所表示的图形吗？（怎样分析和定边界？）从特殊到一般：

2、先研究具体的二元一次不等式的解集所表示的图形. 如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线. 平面内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线x-y=6上的点；第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点. 设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式，请同学们完成以下的表格，横坐标x-3-2-10123点p的纵坐标点a的纵坐标并思考：当点a与点p有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？_根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式有什么关系？_直线x-y=6右下方点的坐标呢？在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点都在直线

3、x-y=6的_；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式.因此，在平面直角坐标系中，不等式表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图:类似的：二元一次不等式x-y6表示直线x-y=6右下方的区域；如图:直线叫做这两个区域的边界结论：1. 二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2. 不等式中仅或不包括 ；但含“”“”包括 ； 同侧同号，异侧异号. 典型例题 例1画出不等式表示的平面区域.分析：先画 _（用 线表示），再取 _判断区域，即可画出归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当时，

4、常把原点作为此特殊点.变式：画出不等式表示的平面区域.例2用平面区域表示不等式组的解集归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.变式1：画出不等式表示的平面区域.变式2：由直线，和围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 . 动手试试练1. 不等式表示的区域在直线的 _练2. 画出不等式组表示的平面区域.三、总结提升 学习小结由于对在直线同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当c0时，常把原点作为此特殊点） 知识

5、拓展含绝对值不等式表示的平面区域的作法：（1）去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式（2）一般采用分象限讨论去绝对值符号（3）采用对称性可避免绝对值的讨论（4）在方程或不等式中，若将换成，方程或不等式不变，则这个方程或不等式所表示的图形就关于轴对称 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. a. 很好 b. 较好 c. 一般 d. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 不等式表示的区域在直线的（ ）.a右上方 b右下方 c左上方 d左下方2. 不等式表示的区域是（ ）. 3.不等式组表示的平面区域是（ ）.4. 已知点和在直线的两侧，则的取

6、值范围是 .5. 画出表示的平面区域为： 课后作业 1. 用平面区域表示不等式组的解集.2. 求不等式组表示平面区域的面积.3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（2） 学习目标 1 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；2能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件. 学习过程 一、课前准备复习1：画出不等式2+y-60表示的平面区域. 复习2：画出不等式组所示平面区域.二、新课导学 典型例题 例1 要将两种大小不同的钢板截成a、b、c三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型a规格b规格c规格第一种钢板211第二种钢板123今需要三种规格的

7、成品分别为12块、15块、27块，用数学关系式和图形表示上述要求.例2 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域. 动手试试练1. 不等式组所表示的平面区域是什么图形？练2. 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：学段班级学生人数配备教师数硬件建设(万元)教师年薪(万元)初中45226/班2/人高中40354/

8、班2/人分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.三、总结提升 学习小结根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数. 反复的读题，读懂已知条件和问题，边读边摘要，读懂之后可以列出一个表格表达题意. 然后根据题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，完成实际问题向数学模型的转化. 知识拓展求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫. 常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是先确定区域内点的横坐标的范围，确定的所有整数值，再代回原不等式组，得出的一元一次不等式组，再确定的所有整数值，即先固定，再用制约. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（

9、 ）. a. 很好 b. 较好 c. 一般 d. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 不在表示的平面区域内的点是（ ）.a（0，0）b（1，1）c（0，2）（2，0）2. 不等式组表示的平面区域是一个（ ）.a三角形直角梯形梯形 矩形3. 不等式组表示的区域为，点，点，则（ ）.a bcd4. 由直线和的平围成的三角形区域（不包括边界）用不等式可表示为 .5. 不等式组表示的平面区域内的整点坐标是 . 课后作业 1. 一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子a和b. 每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序.桌子a需要10min打磨，6min着色，6min上漆；桌子b需要5mi

10、n打磨，12min着色，9min上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min，着色每天至多480min，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域.2. 某服装制造商现有10m2的棉布料，10 m2的羊毛料，6 m2的丝绸料. 做一条裤子需要棉布料1 m2， 2 m2的羊毛料，1 m2的丝绸料，一条裙子需要棉布料1 m2， 1m2的羊毛料，1 m2的丝绸料.一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元. 为了使收益达到最大，需要同时生产这两种服装，请你列出生产这两种服装件数所需要满足的关系式，并画出图形.3.3.2 简单的线性规划问题(1) 学习目标

11、 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域； 能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件. 学习过程 一、课前准备阅读课本至的探究找出目标函数，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域的定义二、新课导学 学习探究在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：某工厂有a、b两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个a配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个b配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个a配件和12个b配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产、件，由已知条件可得二元一

12、次不等式组：（2）画出不等式组所表示的平面区域：注意：在平面区域内的必须是整数点（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：（5）获得结果：新知：线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性

13、约束条件的解叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 典型例题 例1 在探究中若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润？ 动手试试练1. 求的最大值，其中、满足约束条件三、总结提升 学习小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解 知识拓展寻找整点最优解的方法：1. 平移找解法：先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应用于充分利用非整点最

14、优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.2. 调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点最优解.3. 由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可能解逐一检验即可见分晓. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. a. 很好 b. 较好 c. 一般 d. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 目标函数，将其看成直线方程时，的意义是（ ）.a该直线的横截距 b该直线的纵截距c该直线的纵截距的一半的相反数d该直线的纵

15、截距的两倍的相反数2. 已知、满足约束条件，则的最小值为（ ）. a 6 b6 c10 d103. 在如图所示的可行域内，目标函数取得最小值的最优解有无数个，则的一个可能值是（ ）.c（4，2）a（1，1）b（5，1）oa. 3 b.3 c. 1 d.14. 有5辆6吨汽车和4辆5吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为 .5. 已知点（3，1）和（4，6）在直线的两侧，则的取值范围是 . 课后作业 1. 在中，a（3，1），b（1，1），c（1，3），写出区域所表示的二元一次不等式组.2. 求的最大值和最小值，其中、满足约束条件. 3.3.2简单的线性规划问题(2) 学习目

16、标 1. 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；2. 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题. 学习过程 一、课前准备复习1：已知变量满足约束条件 ，设，取点（3，2）可求得，取点（5，2）可求得，取点（1，1）可求得取点（0，0）可求得，取点（3，2）叫做_点（0，0）叫做_，点（5，2）和点（1，1）_复习2：阅读课本8至91二、新课导学 学习探究线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、

17、资金等资源来完成该项任务.下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用： 典型例题 例1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物a含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物b含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物a和食物b多少kg？例2 要将两种大小不同的钢板截成a、b、c三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型a

18、规格b规格c规格第一种钢板211第二种钢板123今需要三种规格的成品分别为12块、15块、27块，各截这两种钢板多少张可得所需a、b、c、三种规格成品，且使所用钢板张数最少？变式：第一种钢板为，第二种为，各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格的成品且所用钢板面积最小？例3 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料. 若生1车皮甲种肥料能产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元. 那么分别生产甲、乙两种肥

19、料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 动手试试练1. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元. 甲、乙产品都需要在a、b两种设备上加工，在每台a、b设备上加工1件甲设备所需工时分别为1h、2h，加工1件乙和设备所需工时分别为2h、1h，a、b两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h. 如何安排生产可使收入最大？练2. 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按40个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生20台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表:家电名称空调器彩电冰箱工 时产值/千元432问每周应生

20、产空调器、彩电、冰箱共多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位） 三、总结提升 学习小结简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解. 知识拓展含绝对值不等式所表示的平面区域的作法：（1）去绝对值，转化为不等式组；（2）采用分零点讨论或分象限讨论去绝对值；（3）利用对称性可避免讨论. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. a. 很好 b. 较好 c. 一般 d. 较差 当

21、堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，请工人的约束条件是（ ）.a bc d2. 已知满足约束条件，则的最大值为（ ）.a19 b 18 c17 d163. 变量满足约束条件则使得的值的最小的是（ ）.a（4，5） b（3，6） c（9，2）d（6，4） 4. (2007陕西) 已知实数满足约束条件则目标函数的最大值为_5. (2007湖北)设变量满足约束条件则目标函数的最小值为_ 课后作业 电视台应某企业之约播放两套连续剧.其中，连续剧甲每次播放时间为80min，其中

22、广告时间为1min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40min，其中广告时间为1min，收视观众为20万.已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6min广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320min的节目时间.如果你是电视台的制片人，电视台每周播映两套连续剧各多少次，才能获得最高的收视率?3.3.2简单的线性规划问题(3) 学习目标 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决； 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题. 学习过程 一、课前准备复习1：已知的取值范围复习2：已知，求的取值范围.二、新课导学 学习探究课本第91页的“阅读与思考”错在哪里？若实数，满足，求4+2的取值范围错解：由、同向相加可求得： 即 由得 将上式与同向相加得 十得 以上解法正确吗?为什么?上述解法中，确定的048及024是对的，但用的最大(小)值及的最大(小)值来确定4十2的最大(小)值却是不合理的取得最大（小）值时，y并不能同时取得最大（小）值.由于忽略了x和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确此例有没有更好的解法?怎样求解? 典型例题 例1 若实数，满足 ，求4