现代控制理论-3

1、最新现代控制理论-313 3 线性控制系统的能控性和能观测性线性控制系统的能控性和能观测性3.1 3.1 能控性和能观测性的概念能控性和能观测性的概念3.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性3.3 3.3 连续时间线性定常系统的能观测性连续时间线性定常系统的能观测性3.4 3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性离散时间线性定常系统的能控性和能观测性3.5 3.5 连续时间线性时变系统的能控性和能观测性连续时间线性时变系统的能控性和能观测性3.6 3.6 线性系统能控性与能观测性的对偶关系线性系统能控性与能观测性的对偶关系3.7 3.7 能控标准形和能观测

2、性标准形能控标准形和能观测性标准形3.8 3.8 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观传递函数中零极点对消与状态能控性和能观 测性的关系测性的关系3.9 3.9 线性系统结构按能控性和能观测性的分解线性系统结构按能控性和能观测性的分解最新现代控制理论-323.1 3.1 能控性和能观测性的概念能控性和能观测性的概念能控性能控性 已知系统的当前时刻及其状态，研究是否存在一个容许控制，使得系统在该控制的作用下在有限时间内到达希望的特定状态。能观测性能观测性 已知系统及其在某时间段上的输出，研究可否依据这一时间段上的输出确定系统这一时间段上的状态。能控性和能观测性是现代控制理论中两个基础性概念，由

3、卡尔曼（R. E. Kalman）于1960年首次提出。u(t)能否引起x(t)的变化？ y(t)能否反映x(t)的变化？ 最新现代控制理论-333.1 3.1 能控性和能观测性的概念能控性和能观测性的概念一个RC网络。图中RC网络的输入端是电流源i，输出端开路。取电容C1和C2上的电压v1和v2为该系统的两个状态变量。v1是能控的v2是不能控的V2是能观测的v1是不能观测的最新现代控制理论-343.1 3.1 能控性和能观测性的概念能控性和能观测性的概念 在最优控制问题中，其任务是寻求输入u(t)使状态轨迹达到最优，则要求状态能控。 但状态x(t)的值通常是难以直接测量的，往往需要从测得的输

4、出y(t)中估计出来。最新现代控制理论-353.1 3.1 能控性和能观测性的概念能控性和能观测性的概念112212100022 10 xxuxxxyx 1122122xxxxuyx例例 分析如下系统的能控性和能观测性 解解 将其表示为标量方程组的形式表明系统的状态是不能控和不能观测的。表明系统的状态是不能控和不能观测的。输入u不能控制状态变量x1 ，故x1是不能控的输出y不能反映状态变量x2，故x2是不能观测的最新现代控制理论-363.1 3.1 能控性和能观测性的概念能控性和能观测性的概念112212101011 1 1xxuxxxyx 112212xxuxxuyxx例例 分析如下系统的能

5、控性和能观测性 解解 将其表示为标量方程组的形式实际上，系统的状态既不是完全能控的，也不是完全能观测的。 所有状态变量都是能控和能观测的？最新现代控制理论-373.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性 xAx+ Bu如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间t0, tf内使得系统的某一初始状态x(t0)转移到指定的任一终端状态x(tf)，则称初始状态x(t0)是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称是能控的。状态平面中点P能在u(t)作用下被驱动到任一指定状态P1, P2, , Pn，则点P是能控的状态。假如“能控状态”

6、充满整个状态空间,则该系统是状态完全能控的。由此可看出，系统中某一状态能控和系统状态完全能控在含义上是不同的。 3.2.13.2.1状态能控性定义状态能控性定义 定义定义 对于连续时间线性定常系统最新现代控制理论-383.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性能控性和能达性问题能控性和能达性问题 (1) 能控性定义：对于给定连续时间线性定常系统 xAx+ Bu若存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间t0, tf内，将系统从任一初始状态x(t0)转移到原点，即x(tf)0，则称系统是状态完全能控的。(2) 能达性定义：对于给定连续时间线性定常系统 xAx+

7、 Bu若存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间t0, tf内，将状态x(t)从原点转移到任一指定的终端（目标）状态x(tf)，则称系统是能达的。对线性定常系统，能控性和能达性是完全等价的。对线性定常系统，能控性和能达性是完全等价的。 分析状态能控性问题时 (A, B) xAx+ Bu简记为最新现代控制理论-393.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性3.2.2 3.2.2 状态能控性的判别准则状态能控性的判别准则 21ncQBABA BAB定理定理3.1 对于n阶连续时间线性定常系统(A, B)，其状态完全能控的充分条件时由A，B阵所构成的能控性判别矩

8、阵 rankcnQ满秩，即证明证明(1) 能控性判别准则一能控性判别准则一dueetttt0)()()0()(BxxAA因为0)()0()(0)(1dueetttt111BxxAA根据能控性定义，在终态时刻t1 ，有x(t1)=0所以duduetnnt11101 -100)()()()()()0(BAAIBxA最新现代控制理论-3103.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性dutnn1101 -10)()()()()0(BAAIxdududutnttn111101 -0100)()()()()()(BAABB1 -10nnBAABB1对于任意给定的x(0) ，能

9、够唯一解出i（或u）的条件是：21ncQBABA BABrankcnQ满秩，即最新现代控制理论-3113.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性211010u xx例例 试判别如下连续时间线性定常系统的能控性。1200cQBAB解解 构造能控性判别矩阵rank1cn Q这是一个奇异阵，即 所以该系统不是状态完全能控的，即系统状态不能控。0110cQBAB解解 系统的能控性判别矩阵为所以该系统是状态完全能控的。010101u xx例例 试判别如下连续时间线性定常系统的能控性。rank2cnQ因为 ，所以 0100110最新现代控制理论-3123.2 3.2 连续时间

10、线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性解解 该系统的能控性判别矩阵为因为rankQc = 1 n，所以该系统不是状态完全能控的。该系统是由两个结构上完全相同，且又不是相互独立的一阶系统组成的。显然，只有在其初始状态x1(t0)和x2(t0)相同的条件下，才存在某一u(t)，将x1(t0)和x2(t0)在有限时间内转移到状态空间原点。否则是不可能的。 例例 试判别连续时间线性定常系统的状态能控性。u111001xx 1111ABBQc最新现代控制理论-313而|Qc|0表示矩阵Qc=b Ab An-1b有且仅有n个线性无关的列，也就是Qc的秩为n，即必须是非奇异矩阵，换句话说，矩阵Qc

11、的逆存在，即3.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性1ncQbAbAb0cQ1ranknnbAbAbrankrankTcccQQ Q推论推论 对于单输入情况，若可求得到相应的控制作用u，使状态变量从任意x0转移到原点，则矩阵因此，可以把|Qc|0作为单输入情况下的能控性判据。对于多输入情况，Qc不是方阵，不能用此结论。但有因此，可以把|QcQcT|0作为多输入系统的能控性判据。最新现代控制理论-3143.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性12110010101001101uuxx例例 试判别三阶双输入系统的状态能控性。rank2

12、3cnQ观察Qc第一行和第三行完全相同，显见所以该系统是不能控的。解解 首先构造能控性判别矩阵121010121 1101011102BAABBQcrank23Tcc Q Q容易得到838333838 TccQQ最新现代控制理论-3153.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性线性非奇异变换不改变系统的能控性 通过线性变换把矩阵A化成约当标准形，然后根据这一标准形来判别系统的能控性。BAABBQ1nc证明证明系统(A, B)的能控性判断阵为）（BA,系统 的能控性判断阵为BABABQ1nc)(BPAPPBAPPPBP111111nBAABBP11ncQP1cQ因是

13、P-1满秩的，所以 的秩与Qc的秩相同。(2) 能控性判别准则二能控性判别准则二 最新现代控制理论-3163.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性12nxxBu00定理定理3.2 若系统(A, B)具有互异的特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是经线性变换后的对角标准形阵中不包含元素全为零的行。B定理定理3.3 若系统(A, B)具有互异的重特征值，则系统状态完全能控的充分必要条件，是经线性变换的约当标准形xAxBu12lJJAJ00与每个约当块Ji 对应的 i 的最后一行的元素不全为零。B其中lBBBB21最新现代控制理论-3173.2 3.2 连续时间线性

14、定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性例例 试判别以下连续时间线性定常系统的能控性。 12700270001(I) 0505 (III) 050400017001757000700(II) 0505 (IV) 0500017001uuuu xxxxxxxx12004075uu解解 A阵具有互不相同的特征值。系统(I)和(III)是能控的。 其特征值相同，尽管b阵的元素不为零，但系统状态不能控。注意：特征值互不相同条件。某些具有重特征值的矩阵，也能化成对角线标准形。因为rankQc = 1 t0，使得根据t0, tf期间的输出y(t)能唯一地确定系统的初态x(t0)，则称状态x(t0)是能

15、观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，或简称能观测的。简记为 (A, C) 如果mn，且C非奇异，则： ，显然这不需要观测时间。但是一般m t0。1( )( )ttxCy简要说明简要说明 因为能观测性表示y(t)反映x(t)的能力，不妨令u0。x = Axy = Cx3.3.1 线性定常系统能观测性的定义线性定常系统能观测性的定义最新现代控制理论-3243.3.3 3 连续时间线性定常系统的能观测性连续时间线性定常系统的能观测性1onCCAQCA定理定理3.5 n阶连续时间线性定常系统(A, C)状态完全能观测的充分必要条件是其能观测判别矩阵 3.3.2 能观测性

16、判别准则能观测性判别准则 同样有秩判据和约当标准形判据满秩，即 rankQo = n 或 1rank()TTTTnTnCA CAC(1) 能观测性判别准则一能观测性判别准则一最新现代控制理论-3253.3.3 3 连续时间线性定常系统的能观测性连续时间线性定常系统的能观测性证明证明CxyAxx,)0()(xCyAtet 对于任意给定的x(0)，有)0()()()(xCACAC1110nnttt)0()()()(xAAIC1110nnttt由上式，根据得到的y(t)，可以唯一地确定x(0)的条件是1onCCAQCA满秩，即 rankQo = n 最新现代控制理论-3263.3.3 3 连续时间线

17、性定常系统的能观测性连续时间线性定常系统的能观测性451001y xxx45011010 cA0110ocQcA例例 试判别连续时间线性定常系统的能观测性。 解解 构造能观测性判别矩阵因为rankQo2 = n，所以系统是能观测的。最新现代控制理论-3273.3.3 3 连续时间线性定常系统的能观测性连续时间线性定常系统的能观测性10011 1yxxx例例 试判别系统的能观测性。 1 11 1oQ解解 构成的能观测性判别矩阵 rankQo=1 n是奇异阵，所以系统状态是不能观测的。 从输出方程看，y中既含有x1又含有x2，似乎能通过对y的观测获得x1和x2的信息，但是系统状态是不能观测的。从该

18、系统的状态变量图看，这是一个由两个结构完全相同的一阶系统并联起来的系统，当其初始状态x10 = x20，由它们所激励的系统输出为显然，对于这种情况，系统的初始状态x10和x20是不能观测的。 0)(20202010ttttexexexexty最新现代控制理论-3283.3.3 3 连续时间线性定常系统的能观测性连续时间线性定常系统的能观测性1onccAQcA推论推论 对单输出系统，状态能观测的充分必要条件为 Qo是非奇异矩阵。换句话说|Qo|0是系统能观测的充分必要条件。|Qo|0表示了矩阵Qo有且仅有n个行向量是线性独立的，即rankQo = n。对于多输出系统，Qo是nmn阵不是方阵，但有

19、如下关系：因此，可把作为多输出系统的能观测性判据。rankQo = rankQToQo |QToQo |0最新现代控制理论-3293.3.3 3 连续时间线性定常系统的能观测性连续时间线性定常系统的能观测性700700(I) 050 (II) 050001001 645 320yyxxxxxx例例 试判断下列连续时间线性定常系统的能观测性。 显然，系统(I)是能观测的，系统(II)是不能观测的。 (2) (2) 能观测判别准则二能观测判别准则二 定理定理3.63.6 若n阶连续时间线性定常系统(A, C)具有互异的特征值，则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线标准形

20、阵中不含有元素全为零的列。),(CA最新现代控制理论-3303.3.3 3 连续时间线性定常系统的能观测性连续时间线性定常系统的能观测性12lJJAJ00其中与每个约当块Ji 对应的 i 的首列的元素不全为零。C例例 试判断下面两个连续时间线性定常系统的状态能观测性。2121(I) (II) 0202 10 01yyxxxxxx解解 根据上述定理，(I)是能观测的，(II)是不能观测的。定理定理3.7 若n阶连续时间线性定常系统(A, C)具有互异的重特征值，则系统能观测的充分必要条件是经线性非奇异变换后的约当标准型),(CAlCCCC21最新现代控制理论-331定理定理3.7（附）（附） 若

21、系统(A, B)具有相同的重特征值，则系统状态完全能观测的充要条件是经线性变换的约当标准形例例 试判断以下连续时间线性定常系统的能控性。J1J2C2xyxx021000300130003C1C1和C2的首列成比例，不是线性无关的，所以不能观测。3.3.3 3 连续时间线性定常系统的能观测性连续时间线性定常系统的能观测性12lJJAJ00lCCCC21相同特征值下的约当块Ji 对应的 的首列线性无关。iC最新现代控制理论-3323.4 3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性离散时间线性定常系统的能控性和能观测性3.4.1能控性定义与判据能控性定义与判据 若存在控制序列u(0), u(1)

22、, , u(l-1)（l n）能将某个初始状态x(0)在第l步上到达零状态，即x(l)=0，则称初始状态x(0)是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是状态能控的。(1) 能控性定义能控性定义定义定义 对于n阶离散时间线性定常系统(1)( )( )kkkxGxHu1110(1)102( )0( )1011kku k xx0211 x例例 设离散时间线性定常系统的状态方程为试分析能否找到控制作用u(0), u(1), u(2), 将初始状态转移到零状态。最新现代控制理论-3333.4 3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性离散时间线性定常系统的能控性

23、和能观测性0 (1)(0)(0)kuxGxh111200010210(0)00(0)1011131uu (0)30 (0)3uu 解解 利用递推方法 为检验系统能否在第一步使x(0)转移到零，对上式令x(1)=0，倘若能够解出u(0)，则表示在第一步就可以把给定初始状态转移到零，且控制作用即为u(0)。为此令x(1)=0，则有计算表明对该系统若取u(0) = -3，则能将x0=2 1 1T在第一步转移到零。最新现代控制理论-3343.4 3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性离散时间线性定常系统的能控性和能观测性0111 x0 (1)(0)(0)kuxGxh111101010210(0

24、)10(0)1011121uu 例例 若上例系统初始状态为 解解 由递推公式，有显然，对于上式若令x(1)=0，解不出u(0)，这说明对于本例初始状态是不能在第一步转移到零，再递推一步。能否找到控制序列，将其转移到零状态。最新现代控制理论-3353.4 3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性离散时间线性定常系统的能控性和能观测性1k 2(2)(1)(1)(0)(0)(1)uuuxGxhG xGhh01032(0)0(1)311uu 若令x(2)=0，仍无法解出u(0)、u(1)，再递推一步。2k 32(3)(2)(2)(0)(0)(1)(2)uuuuxGxhG xG hGhh02106

25、1(0)2(1)0(2)3211uuu 若令x(3)=0，上式是一个含有三个未知量的线性齐次方程210(0)0120(1)6211(2)3uuu，有唯一解：165(0)210012(1)12065(2)211395uuu 最新现代控制理论-336(2) 能控性判别准则能控性判别准则 3.4 3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性离散时间线性定常系统的能控性和能观测性(1)( )( )kkkxGxHu21ncQHGHG HGH100022110G121 h状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵rankcnQ满秩。即2111222111cQhGhG h解解 构造能控性判别矩阵显然ran

26、kQc1 t0和定义在时间区间t0, tf上容许控制u，使得系统在这个控制作用下，从x0出发的轨线在tf时刻达到零状态即x(tf)=0，则称x0在t0时刻是系统的一个能控状态。如果状态空间上的所有状态在t0时刻都是能控的，则称系统在t0时刻是状态完全能控的。(1) 能控性定义能控性定义定义定义 若连续时间线性时变系统可以看出，时变系统的能控性定义和定常系统的能控性定义基本相同，但考虑到A(t)、B(t)是时变矩阵，其状态向量的转移与起始时刻t0的选取有关，所以时变系统的能控性与所选择的初始时刻t0有关。 最新现代控制理论-3443.5 3.5 连续时间线性时变系统的能控性与能观测性连续时间线性

27、时变系统的能控性与能观测性000( )( ) ( )=, , tttt tJ x = Ax+ Buxx0( )( )ttMB100d( )( )( )( )dttttt MAMM122d( )( )( )( )dnnnttttt MAMM则系统在时刻 完全能控的充分条件为，存在一个有限时刻 ，使0tJ110, tJ tt011111rank( )( )( )ntttnMMM定理定理3.10 对n阶连续时间线性时变系统设A(t)和B(t)对t为(n-1)阶连续可微，定义如下一组矩阵：(2) 能控性判别准则能控性判别准则 最新现代控制理论-345 对于初始时刻t0，存在另一时刻tf t0,使得根据

28、时间区间t0, tf上输出y(t)的测量值，能够唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0)= x0，则称x0为在t0时刻能观测状态。若系统在t0时刻的所有状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称系统是能观测的。3.5 3.5 连续时间线性时变系统的能控性与能观测性连续时间线性时变系统的能控性与能观测性000( ) ( )=, , ttt tJ x = Axxx( ) ty = Cx00 t ty则称x0为t0时刻不能观测的状态，系统在t0时刻是不能观测的。(1) (1) 能观测性定义能观测性定义定义定义 对于连续时间线性时变系统3.5.2 3.5.2 能观测性定义与判据能观测性定义

29、与判据 反之，如果在t0时刻的初始状态x(t0)= x0，所引起的系统输出y(t)恒等于零，即最新现代控制理论-3463.5 3.5 连续时间线性时变系统的能控性与能观测性连续时间线性时变系统的能控性与能观测性000( ) ( )=, , ( )ttt tJtx = Axxxy = Cx0( )( )ttNC100d( )( ) ( )( )dtttttNNAN122d( )( ) ( )( )dnnntttttNNAN则系统在时刻 完全能观测的充分条件为，存在一个有限时刻 ，使0tJ110, tJ tt011111( )( )rank( )nttntNNN定理定理3.11 对于n阶连续时间线

30、性时变系统设A(t)和C(t)对t(n-1)阶连续可微，定义如下一组矩阵(2) 能观测性判别准则能观测性判别准则 最新现代控制理论-3473.6 3.6 线性系统能控性与能观测性的对偶关系线性系统能控性与能观测性的对偶关系一个系统的能观测性等价于其对偶系统的能控性 一个系统的能控性 等价于其对偶系统的能观测性 1:xAxBuyCx2:*xA xB u*yC x*TTTAABCCB定义定义对于定常系统1和2其状态空间描述分别为则称系统1和2是互为对偶的。 其中，x与x*为n维状态向量，u为r维，y为m维，u*为m维，y*为r维。若系统1和2满足以下关系3.6.1对偶系统对偶系统最新现代控制理论-

31、348系统1的传递函数阵为mr矩阵：3.6 3.6 线性系统能控性与能观测性的对偶关系线性系统能控性与能观测性的对偶关系对偶系统的示意图11( )()ssGCIAB*1*21111( )() () () () ( )TTTTTTTTssssssGCIABBIACBIACCIABG*det()det()ssIAIA对偶系统的特征方程相同：系统2的传递函数阵为：对偶系统的传递函数阵互为转置最新现代控制理论-349定理定理3.12设1(A, B, C)和2(A*, B*, C*)是互为对偶的两个系统，则1的能控性等价于2的能观测性；1的能观测性等价于2的能控性。3.6 3.6 线性系统能控性与能观测

32、性的对偶关系线性系统能控性与能观测性的对偶关系11ncQBABAB(1)2()() ()()()TTTTTTTTnTToQBABAB1nBABAB(1)1()TTTTTnToQCA CAC(1)2()TTTTnTcQCA CAC而系统2的能观测性判别矩阵为是完全相同的。同理1的能观测性判别矩阵为而系统2的能控性判别矩阵为也是完全相同的。3.6.2 对偶定理对偶定理 证明证明 系统1的能控性判别矩阵为最新现代控制理论-3503.7 3.7 能控标准形和能观测标准形能控标准形和能观测标准形1ranknBABA B111121212rank nnnrrrnb bbAb AbAbA b A bA b若

33、n阶连续时间线性定常系统 (A, B)是完全能控的，则 对多输入多输出系统，把(A, B)和(A, C)化为标准形，可以有多种不同的方法。 对于单输入单输出系统，其能控性判别矩阵和能观测性判别矩阵只有唯一的一组线性无关的向量。因此，当(A, B)表为能控标准形和(A, C)表为能观测标准形时，其表示方法是唯一的。所以仅讨论单输入单输出系统。 这表明，能控性矩阵中有且仅有n个列向量是线性无关的。如果取这些线性无关的列向量以某种线性组合，便可导出状态空间描述的能控标准形。能观测问题同样。3.7.1问题的提法问题的提法 最新现代控制理论-3513.7 3.7 能控标准形和能观测标准形能控标准形和能观

34、测标准形cxR x11211111nncnaaaRAbAbb03.7.2 能控标准形能控标准形 定理定理3.13若连续时间线性定常单输入单输出系统(A, b, c) 是状态完全能控的，则使系统为能控标准形的变换阵为111det()nnnnssa sasaIA其中，ai为特征多项式 的系数。 通过线性变换得能控标准形(Ac, bc, cc)：1121010000100001cccnnnaaaaAR AR1001cc bR b11ccnnccR1211211()()nnnnaaacbc Abbc AbAbb最新现代控制理论-3523.7 3.7 能控标准形和能观测标准形能控标准形和能观测标准形1c

35、ccAR AR12cnReee利用 和 ，可得111nnnnaaa AAAI据凯莱-哈密顿定理有12111111() () nnnnnnnnnnnaaaaaaaa AeA AbAbbA bAbAbbbbe据此，可导出2321212121111() () nnnnnnnnnnaaaaaaaAeA AbAbbAbAbAbbbee证明证明 （1 1）推证Ac 最新现代控制理论-3533.7 3.7 能控标准形和能观测标准形能控标准形和能观测标准形21112222()() nnnaaaaaAeA AbbA bAbbbee1111()nnnaaaAeAbAbbbee111112121121 010000

36、100001010000100001ccnnnnnnnnnncnnnaaaaaaaaaaa R AeeeeeeeeR于是，有将上式左乘1cR，就可证得Ac。最新现代控制理论-3543.7 3.7 能控标准形和能观测标准形能控标准形和能观测标准形1ccbR bccR bb12000011ccnnc R bbeeeeR(2) 推证bc 由 ，有 ，即 1cR将上式左乘 ，就可证得bc。ccccR(3) 推证cc 由 ，有11211111011 nnccnnnaaaccRc AbAbb展开即可。最新现代控制理论-3553.7 3.7 能控标准形和能观测标准形能控标准形和能观测标准形1adj()( )

37、()det()cccccccssssIAGcIAbcbIA111111*100*1nnnnnnnsssa sasa 1111111nnnnnnnsssa sasa111111nnnnnnnsssa sasa由能控标准形可以求得系统的传递函数 最新现代控制理论-3563.7 3.7 能控标准形和能观测标准形能控标准形和能观测标准形32101001 000100 12 9 0caaaA001c b120231110201u xx001y x例例 试将如下状态空间描述变换为能控标准形。224161681212cQbAbA b解解先判别其能控性rankQc = 3，所以系统是能控的。再计算系统的特征多

38、项式3det()92IA则a1 = 0，a2 = 9，a3 = 22121100101caaacc A bAb b164210000 1861010122190132 1 221233231232392ssssG ssasa sass最新现代控制理论-3573.7 3.7 能控标准形和能观测标准形能控标准形和能观测标准形oxR x112123211011001nnnnnnoaaaaaa cAcARcAc变换为能观测标准形(Ao, bo, co)：定理定理3.14 若n阶线性定常单输入单输出系统(A, b, c) 是能观测的，则存在线性变换112100100001nnooonaaaaAR AR

39、21noobR b1001ooccR11det()nnnaaIA其中是特征多项式 的各项系数。1211211nnnncbcAc bcAcAb3.7.3 能观测标准形能观测标准形 最新现代控制理论-3583.7 3.7 能控标准形和能观测标准形能控标准形和能观测标准形3det()92IA则a1 = 0，a2 = 9，a3 = 22001020622ocQcAcA解解 首先构造能观测性判别矩阵因rankQo = 3，所以系统是能观测的。系统的特征式为120231110201u xx001y x例例 试将如下状态空间描述变换为能观测标准形。321000021010901010oaaaA001oc21

40、21101001ooaaacAbR bcA bc109622230100201200100111 =最新现代控制理论-359显然，在这种状态变量选择下系统是不能控但是能观测的。从传递函数会发现该系统的传递函数具有零极点对消现象。3.8 3.8 传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系系 2yyyuu112212011121 10 xxuxxxyx1211( )()211sG ssssscIAb例例3-26 试判别系统的状态能控性和能观测性。解解 定义 于是系统能控性判别矩阵Qc和能观测性判别矩阵Qo分别为以下只讨论单输入单输入-单输出单输出系统的传递函

41、数中零极点对消与状态能控和能观测之间的关系。 uyxyx21最新现代控制理论-360证明证明 假定系统是具有相异特征值的n阶单输入-单输出系统，其状态空间描述为(A, b, c) ，利用线性变换可将矩阵A对角化，得到等价系统为3.8 3.8 传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系uxAxby cx11, , APAP bP b ccP定理定理3.15 若线性定常单输入-单输出系统传递函数中有零极点对消，则系统将是状态不能控或状态不能观测的，其结果与状态变量选择有关，反之，若系统中没有零极点对消，则该系统是完全能控且完全能观测的。Aiiiixxbu由

42、于是对角阵，第i个状态方程是两边取Laplace变换，得 ( )( )iiibX sU ss( )( )Y sX s c最新现代控制理论-3613.8 3.8 传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系112122( )( )nnnbsbY scccU ssbs1( )niiiicbU ss( )iX s将 代入，则1212()()()( ) ( )()()()mnK sasasaY snmU ssss对特征值相异的n阶系统，假定传递函数形式是展成部分分式1( )( )niiiY sU ssi为Y(s)/U(s)在s=i处留数状态能控要求 0，能观测要

43、求 0 ibic iiicb 一个即能控又能观测的系统要求i 0 最新现代控制理论-3623.8 3.8 传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系21211( )( )( )sbG sG s G sss解解 组合系统的传递函数G (s)为由G(s)可以看出，当b =2时，系统的传递函数发生零极点对消现象，系统不是即能控又能观测的。 为了分析这个不确定性，建立该系统的状态变量图： 例例 设有一个由前后两个子系统串联组成的组合系统： G1 (s)G2 (s)试判断串联系统的能控性和能观测性。最新现代控制理论-3633.8 3.8 传函中零极点对消与状态能

44、控和能观测之间关系传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系1211121()101cobbbQQ11111()cbbQdet0cQrank12c Q当b =2时（即G (s)出现零极点对消）则该串联系统是不能控但能观测的。121212112110 1 0 xxuxxbxyx系统的状态空间描述为 其能控性和能观测性判别矩阵为最新现代控制理论-3643.8 3.8 传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系例例 如果将上例系统中两个子系统的位置互换一下，如图。试判断该系统的能控性和能观测性。1212121120110 1xxuxxxybx 1212111

45、1 ()01cobbb QQ显见，当b=2时rankQo = 1 2，系统是能控但不能观测的。其能控性和能观测性判别矩阵为解解 系统的状态空间描述为最新现代控制理论-3653.8 3.8 传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系 从上面讨论可知，由传递函数讨论系统的能控性和能观测性时，若有零极点对消，系统是能控不能观测，还是能观测而不能控，与系统的结构有关。若被消去的零点与u发生联系则系统为不能控的；若被消去的零点与输出y发生联系则系统是不能观测的。进一步，若该零点既与输入u发生联系，又与输出y发生联系，则该系统是既不能控也不能观测的。状态变量图 串

46、联系统传递函数111( )( )( )1 (1)(2)(1)(2)prsG sGs G ssssss考虑系统 传递函数结构图 Gr(s) Gp(s) 系统稳定最新现代控制理论-3663.8 3.8 传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系0131001410 110222111coQQ因此 （不能控）， （能观测）rank2cnQrank3onQ该系统的能控性和能观测性判别矩阵为110002110012100uyxxx建立状态空间描述 110det()21(1)(2)(1)1sssssssIA说明系统有一极点在右半平面，故该系统也是不稳定的。考察该系

47、统的特征多项式 最新现代控制理论-3673.9 3.9 线性系统结构按能控性能观测性的分解线性系统结构按能控性能观测性的分解能控且能观测子系统不完全能控和不完全能观测系统线性变换能控但不能观测子系统不能控但能观测子系统不能控且不能观测子系统 1rankranknccnnQB ABAB则存在线性变换 ，可将(A, B, C)变换为cxR x定理定理3.16 若n阶连续时间线性定常系统(A, B, C)是状态不完全能控的，其能控性判别矩阵的秩为3.9.1 系统按能控性分解系统按能控性分解cc 1112122 nn nncccnnc0AAAR ARA1nccnnc01BBR B 12 cccnn n

48、CCRCC 12ncnncxxx),(CBA最新现代控制理论-3683.9 3.9 线性系统结构按能控性能观测性的分解线性系统结构按能控性能观测性的分解其中nc维子系统 是能控的，而(n-nc)维子系统1111122xA xB uA x2222xA x是不能控的。 非奇异变换阵 中n个列向量构成方法：前nc个列向量为能控性判别矩阵Qc中nc个线性无关的列，另外(n-nc)个列在确保Rc为非奇异的条件下是任意的。 12ccnnRRRRR最新现代控制理论-36911100001100100111010311011010110130110110u x3.9 3.9 线性系统结构按能控性能观测性的分解

49、线性系统结构按能控性能观测性的分解1110 Rb2011 RAb3001 R001110310130u xx012y x例例 试将该系统按 能控性进行分解。2101113012cQbAbA b解解 系统的能控性判别矩阵为rank2cnQ因为 ，所以系统是不完全能控的。构造Rc：11cccuxR AR xR b01111220001 0 ux112cy cR xx100110011cR（任选的）得：最新现代控制理论-3703.9 3.9 线性系统结构按能控性能观测性的分解线性系统结构按能控性能观测性的分解101110011cR考察R3为任意的情况： 现假设R3=1 0 1T，即01011220001 0 uxx112y x 于是得 由于前两个列向量没有改变，所以能控子系统空间的表达式相同，所不同的仅是改变列向量后的不能控部分。 比较11cccuxR AR xR b01111220001 0 ux112