线性空间习题课

1、6d_9习题课第六章 线性空间习题课6d_9习题课n主要内容n一、线性空间一、线性空间n1定义 代数运算，数量乘法满足8条规则n2性质：零元素是唯一的； 负元素是唯一 0a0，k00 ； ka0k0或a06d_9习题课n3线性空间的维数（有限维，无限维）线性空间的维数（有限维，无限维）有限维线性空间的基有限维线性空间的基基变换与坐标变换、过渡矩阵，基变换公式基变换与坐标变换、过渡矩阵，基变换公式与坐标变换个数与坐标变换个数 二、线性子空间二、线性子空间(linearsubspace)1子空间的定义与判定条件子空间的定义与判定条件线性空间线性空间V的子集的子集W称为线性子空间，如果称为线性子空间

2、，如果W对于对于V的两种运算封闭。的两种运算封闭。 由由r个向量生成的子空间个向量生成的子空间6d_9习题课n生成元生成元零子空间、平凡子空间、非平凡子空间。零子空间、平凡子空间、非平凡子空间。两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价。两个向量组等价。有限维向量空间中的任意线性无关的向量组都可有限维向量空间中的任意线性无关的向量组都可以扩充成原向量空间的一组基以扩充成原向量空间的一组基。6d_9习题课n2子空间的和与交子空间的和与交 设设V1，V2是线性空间是线性空间V的子空间，的子空间，n则则V1V2 ，和则，和则V1V2都是都是V的

3、子空间。的子空间。 如果如果V1，V2是有限维线性空间是有限维线性空间V的子空间，那的子空间，那么么ndim（V1)+dim(V2 )=dim(V1V2 )+dim(V1V2) 向量组生成的子空间的维数等于向量组的秩。向量组生成的子空间的维数等于向量组的秩。6d_9习题课n3子空间的直和子空间的直和 如果子空间如果子空间V1，V2的和的和n 中每个向量的分解式都唯一，则称为直和。中每个向量的分解式都唯一，则称为直和。 设设V1，V2是线性空间是线性空间V的子空间，则以下命题的子空间，则以下命题等价：等价：n2 , 1,|2121iVVVii)dim()dim()dim() 4(;0) 3(0V

4、0212121212122112121VVVVVVVWVV，；）等式（是直和；）（6d_9习题课n 线性子空间的概念可推广到多个子空间的情形4线性空间的同构同构的定义：11映射满足n同构的性质:n（2）同构映射保持向量间的线性关系.)()(;)()()(kk)()(,0)0()1(6d_9习题课 n(3)V中的向量组中的向量组 线性相关充线性相关充分必要条件是它们的象分必要条件是它们的象 n 线性相关线性相关.n(4)子空间的象构成子空间子空间的象构成子空间,且维数相同且维数相同.(5)同构映射的逆映射及两个同构映射的乘积同构映射的逆映射及两个同构映射的乘积还是同构映射还是同构映射.(6)有限

5、维向量空间同构的充分必要条件是它有限维向量空间同构的充分必要条件是它们的维数相同们的维数相同.n习题举例习题举例r,21)(,),(),(21r6d_9习题课ExEx.1；证明，复数域C C作为实数域R R上的向量空间，与V V2 2同构。ExEx.2；设 是线性空间V到W的一个同构映射，U U是V V的一个子空间，证明： 是W W的一个子空间。Ex.3Ex.3; 证明：线性空间FxFx可以与它的一个真子空间同构。 V= FxV= Fx，W=W= WVf:)(Uf)(| )(xFxfxxf)()(;:xxfxfWV6d_9习题课ExEx.4 P Pn n的任意一个子空间都是某一含n n个末知量

6、的齐次线性方程组的解空间。证明：设V V是P Pn n的任意一个子空间，维（V V）=r r,令V=V=L L( )其中 ， ， ， r,21121111naaa222122naaanrrrraaa216d_9习题课构造线性方程组：其解向量构成n-rn-r维线性空间，设由下面n-rn-r个向量组成 显然, 0, 0, 0221122221121221111nnrrrnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxanrnrnrnnnbbbbbbbbb)(2)(1 )(2222111211,V是线性方程组 的解空间。 ,0,0,0)(11)(22221211212111nnrnrnnnnnxbxbxb

7、xbxbxbxbxb6d_9习题课Ex.Ex.5;求线性空间的维数1）数域P上所有反对称矩阵组成的线性空间。2）数域P上所有上三角形矩阵组成的线性空间。 2)1(nn2)1(nn6d_9习题课ExEx.6;证明：P Pn n的任意一个真子空间都是若干个n-1n-1维子空间的交。证明：设V V是P Pn n的任意一个真子空间，不仿设 V=V=L L( )，它是线性方程组 的解空间，记 为线性方程组k=1,2n-r的解空间,是P Pn n的n-1n-1维子空间,V V恰是这n-rn-r个n-1n-1维子空间的交 r,21)(nr , 0, 0, 0)(11 )(22221211212111nnrn

8、rnnnnnxbxbxbxbxbxbxbxbkW02211nknkkxbxbxb6d_9习题课ExEx.7;设 是n n维线性空间V V中的n n个向量，V V中的每个向量都可以由它们线性给出，求证： 是V的一组基。证明：只须证明 线性无关，事实上，如果 是 的一个极大线性无关组，则 是V的一组基，所以 ，向量组 就是向量组 是线性无关。 n,21n,21n,21rkrr,21n,21rkrr,21nkrkrr,21n,216d_9习题课ExEx.8;在 中求齐次线性方程组 的解空间的维数与一组基。 5R02203224022543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx6d_9

9、习题课解空间的维数是3，一组基是 211213224111122A533605336021121000003511202112100000351120310001)6 , 0 , 0 , 5 , 2(),0 , 2 , 0 , 1, 0(),0 , 0 , 2 , 1 , 0(321解：由于6d_9习题课EX.9;已知 ，求向量 生成的 的子空间 与向量 生成的 的子空间 的交与和空间的维数与一个基。 ) 2 ,10, 0 (),1 , 2 , 1, 3 (21) 6, 1 , 3, 2 (),3 , 1 , 0 , 1 (2121,4R),(211LV 21,4R),(212LV 6d_9习

10、题课ExEx.10;设 证明：实数域上矩阵A A的全体实系数多项式 组成的空间与复数域C C作为实数域R R上的线性空间 同构。 0110A)(Af 0110| )(AAfV,|RbabiaV6d_9习题课证明：注意到 ，则，建立V V到 的映射： 是同构映射；所以V V与 同构 偶数当奇数当kEkAAk,VRbabAaEAfbiaz,)(:V RbabAaEAf,)(6d_9习题课作成实数域作成实数域R上的线性空间上的线性空间. 把实数域把实数域R看成是自身上的线性空间看成是自身上的线性空间.,kababk aa 例例全体正实数全体正实数R+ + 关于加法关于加法与数量乘法：与数量乘法： 证明：并写出一个同构映射证明：并写出一个同构映射. ,RR 证：作对应证：作对应 :,ln ,RRaaaR 易证为的易证为的11对应对应. RR 到到且对有且对有,a bRkR