2022高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.3三角函数的图象与性质学案文含解析新人教A版

1、4.3三角函数的图象与性质必备知识预案自诊知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y=sin x,x0,2的图象中,五个关键点:(0,0),2,1,(,0),32,-1,(2,0).(2)余弦函数y=cos x,x0,2的图象中,五个关键点:(0,1),2,0,(,-1),32,0,(2,1).2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y=sin xy=cos xy=tan x图象定义域rr值域r周期性2奇偶性奇函数单调递增区间2k-2,2k+2(kz)k-2,k+2(kz)单调递减区间2k+2,2k+32(kz)对称中心(k,0)(kz)k+2,0(kz)k2,0(

2、kz)对称轴x=k(kz)(x=k)3.三角函数的周期函数y=asin(x+)和y=acos(x+)(xr,其中a,为常数,且a0,0)的周期均为t=2;函数y=atan(x+)xr,且x+2+k,kz,其中a,为常数,且a0,0的周期为t=.1.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期;正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.2.辅助角公式:asin x+bcos x=a2+b2sin(x+),其中tan =ba(a,b都不为零).考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)y=cos

3、x在第一、第二象限内是单调递减的.()(2)若y=ksin x+1,xr,则y的最大值是k+1.()(3)若非零实数t是函数f(x)的周期,则kt(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.()(4)函数y=sin x图象的对称轴方程为x=2k+2(kz).()(5)函数y=tan x在整个定义域上是增函数.()2.(2020北京房山二模,3)函数f(x)=sin xcos x的最小正周期为()a.1b.2c.d.23.(2020山东淄博一模,5)函数f(x)=sin(x+)在0,上单调递增,则的值可以是()a.0b.2c.d.324.设函数f(x)=sinmx-6,若点73,0是函数f(x)图象

4、的对称中心,则实数m等于()a.1314b.67c.17d.-1145.当0x时,使tan x0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于,则f(x)的单调递增区间是()a.k-12,k+512,kzb.k+512,k+1112,kzc.k-3,k+6,kzd.k+6,k+23,kz(2)(2020湖南湘潭三模,文10)已知函数f(x)=2sin x(0)在xa,2(a0)的形式,然后求y=asin(x+)的单调区间,只需把(x+)看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可,注意要把化为正数.2.已知函数在某区间上单调求参数的取值范围的解法:先确定出已知函数的单调区间,再

5、利用已知的单调区间为函数的单调区间的子集的关系求解.对点训练3(1)若函数f(x)=sin x(0)在区间0,3上单调递增,在区间3,2上单调递减,则等于()a.23b.32c.2d.3(2)函数f(x)=sin-2x+3的单调递减区间为.考向2三角函数的周期及其应用【例4】(1)(2020全国1,文7)设函数f(x)=cosx+6在-,的图象大致如右图,则f(x)的最小正周期为()a.109b.76c.43d.32(2)若函数f(x)=2tankx+3的最小正周期t满足1t0)图象的一个对称中心为m9,0,距离点m最近的一条对称轴为直线x=518,则=.解题心得三角函数图象的对称性包括轴对称

6、和中心对称,求三角函数f(x)=asin(x+)(0)图象的对称轴及对称中心,要把(x+)看作一个整体,若求f(x)的对称轴,只需令x+=2+k(kz),求x;若求f(x)的对称中心,只需令x+=k(kz),求x;对于f(x)=acos(x+),若求f(x)的对称轴,只需令x+=k(kz),求x;若求f(x)的对称中心,只需令x+=2+k(kz),求x.对点训练5(1)(2020湖北武汉调研)设函数f(x)=sin12x+-3cos12x+|2的图象关于y轴对称,则=()a.-6b.6c.-3d.3(2)(2020河北衡水中学三模,理15)已知函数f(x)=2sin(2x+)的图象关于点38,

7、0对称,且f40,|0,0)是r上的偶函数,其图象关于点m34,0对称,且在区间0,2上是单调函数,则=,=.解题心得1.已知三角函数的周期性、奇偶性判断其单调性的基本思路:根据给出的三角函数的周期性、奇偶性求出三角函数式中的参数,然后把三角函数式化成y=asin(x+)或y=acos(x+)的形式再判断其单调性.2.有关三角函数性质的综合性问题,要注重结合函数图象,通过数形结合求解.对点训练6(1)(2020河北武邑中学三模,10)已知x0=6是函数f(x)=cos2-3xcos +cos 3xsin 的一个极小值点,则f(x)的一个单调递增区间是()a.6,2b.-3,6c.2,56d.3

8、,23(2)已知函数f(x)=sin(x+)0,|0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t=x+,将其转化为研究y=sint的性质.3.正弦函数、正切函数是奇函数,余弦函数是偶函数;正弦函数y=sinx图象的对称轴是x=k+2,kz,对称中心为(k,0),kz,余弦函数y=cosx图象的对称轴是x=k,kz,对称中心为2+k,0,kz,即正弦函数、余弦函数图象的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线,对称中心是图象与x轴的交点;正切函数图象没有对称轴,其对称中心为k2,0,kz.1.求三角函数的单调区间时,当单调区间有无穷多个时,注

9、明kz.2.求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数的式子,否则很容易出现错误.4.3三角函数的图象与性质必备知识预案自诊知识梳理2.xxr,且xk+2,kz-1,1-1,122奇函数偶函数2k-,2k(kz)2k,2k+(kz)考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.af(x)=sinxcosx=12sin2x,故周期t=22=1.故选a.3.d当=0时,f(x)=sinx在0,上不单调,故a不正确;当=2时,f(x)=cosx在0,上单调递减,故b不正确;当=时,f(x)=-sinx在0,上不单调,故c不正确;当=32时,f(x)=-cosx在0,上单调递增,故d正

10、确.故选d.4.a点73,0是函数f(x)图象的对称中心,73m-6=k,kz,即73m=k+16,kz,则m=3k7+114,kz,当k=0时,m=114,k=1时,m=12,k=2时,m=1314,故选a.5.2,34由正切函数的图象知,当0x时,若tanx-1,则2x34,即实数x的取值范围是2,34.关键能力学案突破例1(1)xx4+k,且x2+k,kz(2)x2k0,cosx-120,即sinx0,cosx12,解得2kx+2k(kz),-3+2kx3+2k(kz),所以2kx3+2k(kz),所以函数的定义域为x2k0,9-x20,得kxk+2,kz,-3x3,解得-3x-2或0x

11、0)过原点,当0x2,即0x2时,y=sinx单调递增;当2x32,即2x32时,y=sinx单调递减.由f(x)=sinx(0)在区间0,3上单调递增,在区间3,2上单调递减知,2=3,=32.(2)求函数f(x)=sin-2x+3的单调递减区间,只需求f(x)=sin2x-3的单调递增区间.由2k-22x-32k+2,kz,得k-12xk+512,kz.故所给函数的单调递减区间为k-12,k+512(kz).例4(1)c(2)2或3(1)由题图知f-49=cos-49+6=0,所以-49+6=2+k(kz),化简得=-3+9k4(kz).因为t22t,即2|24|,所以1|2,解得-119

12、k-79或19k59.又kz,当且仅当k=-1时,1|2.所以=32,最小正周期t=2|=43.(2)由题意知1k2,即k2k.解得2k,又kn,所以k=2或k=3.对点训练4ay=cos|2x|=cos2x,该函数为偶函数,最小正周期t=22=;将函数y=cosx在x轴下方的图象向上翻折即可得到y=|cosx|的图象,该函数的最小正周期为122=;函数y=cos2x+6的最小正周期为t=22=;函数y=tan2x-4的最小正周期为t=2.综上可得最小正周期为的所有函数为.故选a.例5(1)c(2)3(1)因为函数f(x)=asinx+cosx(a为常数,xr)的图象关于直线x=6对称,所以f

13、(0)=f3,所以1=32a+12,a=33,所以g(x)=sinx+33cosx=233sinx+6,函数g(x)的对称轴方程为x+6=k+2(kz),即x=k+3(kz).当k=0时,对称轴为直线x=3,所以g(x)=sinx+acosx的图象关于直线x=3对称.(2)函数f(x)=sinx-3cosx=2sinx-3,因为图象的一个对称中心为m9,0,距离点m最近的一条对称轴为x=518,所以518-9=t4,即t=23.故=2t=3.对点训练5(1)a(2)-2(1)f(x)=sin12x+-3cos12x+=2sin12x+-3,由题意可得f(0)=2sin-3=2,即sin-3=1

14、,-3=2+k(kz),=56+k(kz).|2,当k=-1时,=-6.(2)函数f(x)的图象关于点38,0对称,且函数f(x)周期为,而x=8距离x=38的长度为4=t4,所以直线x=8是f(x)图象的一条对称轴,又8438,且f40,所以f8=-2.例6(1)a(2)23或22(1)题意知f(x)=2sinx+4.f(x)的最小正周期为,=2,f(x)=2sin2x+4.由f(x)=f(-x)知f(x)是偶函数,因此+4=k+2(kz).又|2,=4,f(x)=2cos2x.当02x,即0x0,所以34=k+2,所以=43k+23,kz.当k=0时,=23,f(x)=sin23x+2=cos23x,在区间0,2上单调递减,当k=1时,=2,f(x)=sin2x+2=cos2x,在区间0,2上单调递减,当k2时,103,f(x)=sinx+2=cosx,在区间0,2上不是单调函数,综上,=23或2,=2.对点训练6(1)a(2)a(1)f(x)=cos2-3xcos+cos3xsin=sin(3x+).由已知直线x0=6是函数f(x)=sin(3x+)过最小值点的对称轴,结合