2008年(江苏卷)含详解

1、绝密启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分考生作答时，将答案答在答题卡上，在 本试卷上答题无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上.2 选择题答案使用 2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选 择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3 请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4 保持卡面清洁，不折叠，不破损.

2、5 作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号:黑 八、参考公式：样本数据Xi , X2 , L , Xn的标准差锥体体积公式s Jn(Xi x)2 (X2 X)2 L(Xn X)21V Sh3其中x为样本平均数柱体体积公式V Sh其中S为底面面积，h为高其中S为底面面积、h为高球的表面积、体积公式243s 4nR2, vnR33其中R为球的半径一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.1 f （x） cos（ x ）最小正周期为f,其中0，贝V 2 一个骰子连续投 2次，点数和为4的概率 1 i 一3.表示为a bi（a,b R）的形式，则a b

3、 =1 i24A x（x 1） 3x7，则集合A Z中有个元素rr r r5a,b的夹角为120 ,a1, b 3，则5a b6在平面直角坐标系 xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,到原点的距离不大于 1的点构成的区域，向 D中随机投一点，则落入 E中的概率7某地区为了解 7080岁老人的日平均睡眠时间(单位： h)，现随机地选择 50位老人做调查,序号分组组中值频数频率(i)睡眠时间(G)(人数)(Fi)14 , 5)4.560.1225 , 6)5.5100.2036 , 7)6.5200.4047 , 8)7.5100.2058 , 98.540.08F表是5

4、0位老人日睡眠时间频率分布表:在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图, 则输出的S的值为1&直线y - x b是曲线y In x(x 0)的一条切线， 2则实数b的值为 9 在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a), B(b,0),C(c,0)，点 P (0, p)在线段 AO上(异 于端点)，设a,b,c, p均为非零实数，直线 BP,CP分别交AC,AB于点E,F ,同学已正确算的 0E的方程:111111x-y 0,请你求OF的b cpa、 1 1方程：( ) xy 0p a10.将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10按照以上排列的规

5、律，第门行(n 3)从左向右的第3个数为 *y211 x, y, z R ,x 2y 3z 0,的最小值为 xz2 212在平面直角坐标系中，椭圆 笃 笃 1(a b 0)的焦距为2,以0为圆心，a为半径的圆,a2b22过点 ,0作圆的两切线互相垂直，则离心率e=c13若 AB 2, AC 2BC，则 S ABC 的最大值314. f (x) ax 3x 1 对于 x 1,1 总有 f (x)0 成立，则 a =、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (14分)如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于(1)求 tan(A、B两点，

6、已知A)的值；(2)求 2的值。B的横坐标分别为16.( 14 分)在四面体 ABCD 中，CB CD, AD 求证：(1)直线EF/面ACD(2)面 EFC1 面 BCDBD，且E、F分别是AB BD的中点,AAB17. ( 14分)某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD的顶点A B及CD的中点P处，已知AB=2(km, BC=1Ckm为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD勺区域上(含边界)，且 A B与等距离的 一点0处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO BO OP设排污管道的总长为 ykm(1) 按下列要求写出函数关系式： 设/ BAO=9 (rad)，将y表示成0的函数关系

7、式； 设OP=(km)，将y表示成x的函数关系式；(2) 请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。18.（ 16分）设平面直角坐标系 xoy中，设二次函数f（x） x2 2x b（x R）的图像与两坐标轴 有三个交点，经过这三个交点的圆记为G求：（1）求实数b的取值范围（2）求圆C的方程（3） 问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。19.（ 16分）（1）设a,a2,an是各项均不为零的等差数列（n 4）,且公差d 0,若将此数列 删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：a1当n 4时，求的数值；求n的所有可能值； d（2 ）

8、求证：对于一个给定的正整数n（n 4），存在一个各项及公差都不为零的等差数列d,b2,bn，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。f1 (x), f1 (x) f2(x) f2(X), f1(X) f2(X)20.(16 分)若 f1(x) 3仪 E,f2(x) 2 3x, x R, P1, P2为常数，且 f (x)（）求f（x） fj（x）对所有实数x成立的充要条件（用 P1, P2表示）(2)设 a,b为两实数，a b且 p1, p2(a,b)若 f(a) f (b)求证：f（x）在区间a,b上的单调增区间的长度和为（闭区间 m,n的长度定义为n m）221.(选做题)从 A B

9、, C, D四个中选做2个，每题10分，共20分.A. 选修4 1几何证明选讲如图，设厶ABC的外接圆的切线 AE与BC的延长线交于点 E, / BAC的平分线与 BC交于点D求证:ED2 EBgEC .AB. 选修4 2矩阵与变换1在矩阵A= 2；对应的变换作用下得到曲线F,在平面直角坐标系 xOy中，设椭圆4x2 y2 求F的方程.C. 选修4 4参数方程与极坐标2X2在平面直角坐标系xOy中，点P(x, y)是椭圆 y21上的一个动点，求S x y的最大值.3D. 选修4 5不等式证明选讲设a, b, c为正实数，求证：一3 13 3 + abc2、- 3 .a b c必做题APC22

10、记动点P是棱长为1的正方体ABCD-ABGD,的对角线BD,上一点，记-DlP当B为钝角时，求的取值范围.23请先阅读：在等式 cos2x 2cos2x 1 ( x R )的两边求导，得：2(cos 2x) (2cos x 1),由求导法则，得(sin 2x)g? 4cos xg sin x)，化简得等式：sin2x 2cosxcsinx .(1)利用上题的想法(或其他方法)，试由等式(1+ x)n = C0C；xC；x2LC：xn(n正整数 n 2)，证明：n(1 x)n 1 1 =kcAk 1k 1(2)对于正整数n 3，求证：n(i)( 1)kkcn = 0；k 1n(ii )( 1)k

11、k2cn = 0；k 12n1n 1(iii )Uk 1 k 1、填空题：本大题共 1小题，每小题5分，共70分.1.若函数 y cos( x )(60）最小正周期为&，则2【解析】本小题考查三角函数的周期公式 T -10【答案】102 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是【解析】本小题考查古典概型.基本事件共6X 6故P 316 6 12【答案】丄121 i3.若将复数 一-表示为a bi（a,b1 i1, 2,3,4, 5, 6个点的正方体玩具），先后个，点数和为4的有（1,3）、(2,2) (3,1)共 3 个,【解析】本小题考查复数的除

12、法运算R,i是虚数单位）的形式，则 a b1 i 2 i ，a = 0,2b =1,因此a【答案】14若集合 A x|(x 1)2 3x 7, xR，则AIZ中有 个元素2 2(x 1) 3x 7 得 x 5x 60,【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式由 A ( 1,6)，因此 AI Z 0,1,2,3,4,5 ，共有 6 个元素.【答案】6r r0 r rr r5已知向量a和b的夹角为1200, |a| 1,|b| 3，则| 5a b| 【解析】本小题考查向量的线性运算.r r 25a br r 2 r 2 r r “5a b 25a 10ago b2 1 225 110 1 3

13、-349,5； b 721【答案】76.在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于 1的点构成的区域，向 D中随机投一点，贝y 投点在E中的概率是【解析】本小题考查古典概型如图：区域D表示边长为4的正形的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此. P 4 416【答案】167某地区为了解 70 80岁的老人的日平均睡眠时间（单位: 查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：序号i分组（睡眠时间）组中值（Gi ）频数 （人数）频率（Fj）1P4,5)4.560.1225,6)5.5100.2036,7)6.5200.4047,8

14、)7.5100.2058,98.5 n40.08在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图, 的S的值为 【解析】由流程图S G1F1G 2 F2G 3 F3 G 4 F4G 5F5则输出4.5 0.125.56.420.20 6.5 0.40 7.5 0.2 8.5 0.08【答案】6.42&设直线yb是曲线y In x（x 0）的一条切线，则实数b的值是1【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法.y 1x，令x-得x 2 ,故切点(2, ln2 ),2代入直线方程，得，所以b= ln2 1.【答案】In2 19 .如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形 ABC的顶点分别为P（0,

15、p）在线段A0上的一点（异于端点），这里a, b, c, p均为非零实数，设直线 BP,CP分别与边A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点xv11直线CP1 ,两式相减得xc pbe此方程，又原点 0也满足此方程，故为所求直线1 1【答案】丄丄e b10.将全体正整数排成一个三角形数阵：1231 1V 0 ,显然直线AB与CP的交点F满足P aOF的方程.45 678 9101112131415按照以上排列的规律，第 门行(n 3)从左向右的第【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式前3个数为 n 1行共有正整数1 + 2+( n 1)2个，即nn个，因此第n行第3个数是全体正整数中

16、第2+ 3个，即为n2 n 62【答案】n2n 6211.设x,y,z为正实数，满足 x 2y 3z 0,则 乞 的最小值是xz【解析】本小题考查二元基本不等式的运用由x 2y 3z 0得 y2y-得xz2 2x 9z 6xz4xz6xz 6xz4xz3，当且仅当x = 3z时取“=12.在平面直角坐标系2xxOy中，椭圆飞a【答案】32笃 1(a b 0)的焦距为2c,以O为圆心，a为半径b22作圆M，若过P ,0c作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为【解析】设切线 PA PB互相垂直，又半径 OA垂直于PA,所以OAP是等腰直角三角形，故-129，解得e 2于【答案】2213满足条件

17、 AB 2,AC 、2BC的三角形 ABC的面积的最大值x【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想设B8 X ,则 AC=、. 2x ,B，根据余弦定理得根据面积公式得 S ABC =1 AB BCsin B x , 1 cos2AB2 BC2 AC24 x2 2x2cosB -2AB BC4 x24x4x代入上式得SABC = x1 子 2128 x2 1216由三角形三边关系有2x x _2 解得 2.2x 2、2x2、2 2 ,故当x 2.2时取得S ABC最大值2 2【答案】2、. 214.设函数f(x)ax3 3x 1(x R),若对于任意的x 1,1 都有 f (x)

18、0成立，则实数a的x 0显然成立；当x0 即 x 1,1 时，fax3 3x设g x $ A，则gx x3 1 2x4x,所以g x在区间0i1上单调递增，在区间-,12值为【解析】本小题考查函数单调性的综合运用若x= 0,则不论a取何值,上单调递减，因此 g xmax当x v 0即 1,0时，f xax3 3x3 1 2x 0g 14，从而a 0,解得bv 1且0.(n)设所求圆的一般方程为x2 y2 Dx Ey F 022令y = 0得x Dx F 0这与x 2x b = 0是同一个方程，故 D= 2, F= b .令x = 0得y2 Ey = 0,此方程有一个根为 b，代入得出E= b1

19、.所以圆C的方程为x2 y2 2x (b 1)y b 0.(川)圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点(X。，y)(x, y。不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，2 2并变形为 x y 2x yb(1 y)0(*)为使(*)式对所有满足b 1(b 0)的b都成立，必须有1 y0 0，结合(*)式得2 22x0x00,亠x0-2,xy0y。0，解得或1,1经检验知，占八、(0,1),(2,0)均在圆C上，因此圆C过定点。19. (1)设3(42丄,an是各项均不为零的n ( n 4)项等差数列，且公差 d 0 ,若将此数列 删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列.(i )当n 4

20、时，求31的数值；d(ii )求n的所有可能值.(2)求证：对于给定的正整数 n( n 4)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列b, btL ,bn，其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列.解：(1)当n=4时,aLa2.a3.a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。22a,若删去 a2，则 a3a,，即(a, 2d) a, (a, 3d)化简得 a 4d 0，得 一 4d若删去 a3，则a?2a,a4，即(a,d)2a,(a,3d)化简得a,d 0，得旦 1d综上，得虫 4或色仁d d当n=5时，印424344. a5中同样不可能删去 a,.a2

21、.a4.a5，否则出现连续三项。若删去 a3，则a,a5a2a4，即a, (a,4d)(a,d)(a,3d)化简得 3d20，因为d 0,所以a3不能删去；当n6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列a,.a2. a3,L .an 2,an , ,an中，由于不能删去首项或末项，若删去a2，则必有a, an a3 an 2，这与d 0矛盾；同样若删去 an,也有a,ana3an 2，这与d 0矛盾；若删去a3,L.an2中任意一个，则必有a,a“a?a“,，这与d 0矛盾。(或者说：当n6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，n 4。(2)假设对于某个正整数 n，存在一个公

22、差为d的n项等差数列b,.b2. bn，其中Q ,. by, .bz ,(0 x y z n ,)为任意三项成等比数列，贝U b2y, bx, bz,，即2 2 2(b, yd)(bi xd) (bi zd)，化简得(y xz)d (x z 2y)bid(*)2由b,d 0知，y xz与x z 2y同时为0或同时不为0当y xz与x z 2y同时为0时，有x y z与题设矛盾。,2biy2 xz故y xz与x z 2y同时不为0，所以由(*)得匚d x z 2y因为0 x y z n ,，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。d于是，对于任意的正整数 n(n 4)，只要R为无

23、理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。d例如n项数列,，,2，, 2 2,，,(n ,)2满足要求。20 已知函数 f,(x) 3x P,，f2(x)个给定的实数x， f (x)f,(x).若 f, (x) f2(x) f2(X).若 f,(x) f2 (x)2 3x P(x R. p,. P2为常数)函数f(x)定义为：对每(D求f (x)f,(x)对所有实数x成立的充分必要条件(用p,. P2表示);(2)设a.b是两个实数，满足 a b，且口卫 (a.b) 若f(a) f(b)，求证：函数f (x)在区间b aa,b上的单调增区间的长度之和为(闭区间m,n的长度定义为n m )2解：(

24、1)由f(x)的定义可知，f(x) f,(x)(对所有实数x )等价于flxf2x(对所有实数x)这又等价于3xp12g3xp2，即3X 卜P2|g1093 22对所有实数x均成立.(*)由于 xP!xP2(xpj(xP2)P!P2(x R)的最大值为口 P2，故( *)等价于3P吗2，即p,p2log32，这就是所求的充分必要条件(i )当PiP21og32时，由(1) 知 f (x) fi(x)则由f a上，pa bf b及a p , b易知p,，2再由fi(x)3P1 xp,x Pi的单调性可知， ox Pi3 ,x Pi(2)分两种情形讨论函数f (x)在区间a,b上的单调增区间的长度

25、a b b a 厶、一“为b(参见示意图1)2 2(ii ) p, p21og32时，不妨设 Pi P2,，则 p?当 xpi 时，有fi(x)3Pix3P2x f2(x)，从而 f (x) fi(x)；当 xp2 时，有fi(x)3xP13P2Pix P230 P230932g3xP2f2(x)从而 f (x)f2 (x)；当 PixP2时，fi(x)3xPl，及f2(x)23P2x，由方程3xPl23P2x解得fi(x)与f2(x)图象交点的横坐标为XoPiP221尹932显然pi xop2 2(P2 Pi) 1093 2 P2，这表明x0在p,与p2之间。由易知O图2fi(x) , 口

26、x Xof2(X),Xo X P2综上可知，在区间a,b上，f(x)fl(X)，a X Xo(参见示意图2)f2(x) ,Xo x b故由函数f1(x)及f2(x)的单调性可知，f (x)在区间a,b上的单调增区间的长度之和为(Xo pi) (b P2)，由于 f(a) f(b)，即 3P, a 2 3b P2，得PlP2 a b logs 2故由、得(XoPi) (b P2),1b abPiP2 g 22 2综合(i )( ii)可知，f(x)在区间a,b上的单调增区间的长度和为b a22008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学附加题参考答案21:从A, B, C, D四个中选做2

27、个，每题10分，共20分A.选修4 1几何证明选讲如图，设厶ABC的外接圆的切线 AE与BC的延长线交于点 E, Z BAC的平分线与 BC交于点D.求证:2ED EBgEC .证明：如图，因为 AE是圆的切线，所以,ABCCAE,又因为AD是BAC的平分线，所以BADCAD从而ABCBADCAE CAD因为ADEABCBAD,DAECADCAE所以ADEDAE ,故 EA ED.因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知A2EA EC EB,而 EA ED,所以 ED2 ECgEBB.选修42矩阵与变换2 0F,求F在平面直角坐标系 xOy中，设椭圆4x2 y21在矩阵01对应的变换作用下得到曲

28、线的方程.解：设P（x,y）是椭圆上任意一点，点P（x,y。）在矩阵A对应的变换下变为点P（X。，y。）则有xy2 0x0 1y 1即Xo 2x0，所以y yxx0y。y又因为点p在椭圆上，故4x0 y01，从而(x。)2(y)2 1所以，曲线F的方程是 x2 y2 1在平面直角坐标系xOy 中，点 P(x, y2)是椭圆y231上的一个动点，求S x2解：因椭圆Ly21的参数方程为x、3 cos (为参数）3ysin故可设动点P的坐标为（,3 cos,sin），其中02 .因此S x厂31y .3 cos sin2(cos sin ) 2sin(-)223所以，当时，S取最大值62C.选修4

29、4参数方程与极坐标y的最大值.D.选修45不等式证明选讲111厂设a, b, c为正实数，求证：一3 3 + abc23 .a b c证明：因为a, b,c为正实数，由平均不等式可得XUb ca b c刖1113即13.33.abc abc1113所以 333 abcabc，abcabc而abc 2J-gabc 243 abc abc所以3 -3 -3 + abc 2 . 3abc22 .【必做题】记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线 BD,上一点，记D,PAPC为钝角时，求的取值范围.uuur uuiruuuu解：由题设可知，以 DA、DC、DD1为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D所D1B. 当xyz ，贝U有uuuuD1B(1,1, 1),得uuuuD1PuuuiD1B(,uua uuuu