2022届高考数学统考一轮复习第八章平面解析几何第八节直线与圆锥曲线的综合问题第2课时定点定值探究性问题课时规范练文含解析北师大版

1、第八章第八章 平面解析几何平面解析几何 第八节 直线与圆锥曲线的综合问题 第二课时 定点、定值、探究性问题 课时规范练 1已知抛物线 c：x22py(p0)，圆 o：x2y21. (1)若抛物线 c 的焦点 f 在圆 o 上，且 a 为抛物线 c 和圆 o 的一个交点，求|af|； (2)若直线 l 与抛物线 c 和圆 o 分别相切于点 m，n，求|mn|的最小值及相应 p 的值 解析：(1)由题意得 f(0，1)，从而抛物线 c：x24y. 解方程组x24y，x2y21得 y2 5.不妨设 ya 52， |af| 51. (2)设 m(x0，y0)(y00)，则切线 l：yx0p(xx0)y

2、0， 结合 x202py0，整理得 x0 xpypy00. 由 onl 且|on|1 得|py0|x20p21， 即|py0|x20p2 2py0p2， p2y0y201且 y2010. |mn|2|om|21x20y2012py0y2014y20y201y20144y201(y201)8， 当且仅当 y0 3时等号成立 |mn|的最小值为 2 2，此时 p 3. 2.已知椭圆 c 的方程为x24y221，a 是椭圆上的一点，且 a 在第一象限内，过 a 且斜率等于1 的直线与椭圆 c 交于另一点 b，点 a 关于原点的对称点为 d. (1)证明：直线 bd 的斜率为定值； (2)求abd 面

3、积的最大值 解析： (1)证明： 设 d(x1， y1)， b(x2， y2)， 则 a(x1， y1)， 直线 bd 的斜率 ky2y1x2x1， 由x214y2121，x224y2221，两式相减得y2y1x2x112x1x2y1y2， kaby1y2x1x21，ky2y1x2x112， 故直线 bd 的斜率为定值12. (2)连接 ob(图略)，a，d 关于原点对称， sabd2sobd， 由(1)可知 bd 的斜率 k12，设 bd 的方程为 y12xt， d 在第三象限， 2t1 且 t0， o 到 bd 的距离 d|t|1142|t|5， 由y12xtx24y221，整理得 3x2

4、4tx4t280， x1x24t3，x1x24（t22）3， sabd2sobd212|bd|d 52（x1x2）24x1x22|t|5 |t|（x1x2）24x1x2|t|9632t23 4 23 t2（3t2）2 2. 当且仅当 t62时，sabd取得最大值 2 2. 3. (2020 承德模拟)如图所示，椭圆 e：x2a2y2b21(ab0)的离心率是22，点 p(0，1)在短轴cd 上，且pc pd1. (1)求椭圆 e 的方程； (2)设 o 为坐标原点，过点 p 的动直线与椭圆交于 a，b 两点是否存在常数 ，使得oa obpa pb为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由

5、解析：(1)由已知，点 c，d 的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点 p 的坐标为(0，1)，且pcpd1， 于是1b21，ca22，a2b2c2，解得 a2，b 2. 所以椭圆 e 的方程为x24y221. (2)当直线 ab 的斜率存在时，设直线 ab 的方程为 ykx1，点 a，b 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) 联立x24y221，ykx1，得(2k21)x24kx20. 其判别式 (4k)28(2k21)0， 所以 x1x24k2k21，x1x222k21. 从而，oa obpa pb x1x2y1y2x1x2(y11)(y21) (1)(1k2)x1x2k(x1x2)

6、1 （24）k2（21）2k21 12k212. 所以，当 1 时，12k2123. 此时，oa obpa pb3 为定值 当直线ab斜率不存在时， 直线ab即为直线cd.当1时， oa obpa pboc odpc pd213. 故存在常数 1，使得oa obpa pb为定值3. 4已知抛物线 c：y22px(p0)的焦点为 f，a 为 c 上位于第一象限的任意一点，过点 a 的直线 l 交 c 于另一点 b，交 x 轴的正半轴于点 d. (1)若当点 a 的横坐标为 3，且adf 为以 f 为顶点的等腰三角形，求 c 的方程； (2)对于(1)中求出的抛物线 c，若点 d(x0，0)x01

7、2，记点 b 关于 x 轴的对称点为 e，ae 交 x轴于点 p，且 apbp，求证：点 p 的坐标为(x0，0)，并求点 p 到直线 ab 的距离 d 的取值范围 解析：(1)由题知 fp2，0 ，|fa|3p2， 则 d(3p，0)，fd 的中点坐标为323p4，0 ， 则323p43，解得 p2，故 c 的方程为 y24x. (2)证明：依题可设直线 ab 的方程为 xmyx0(m0)， a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则 e(x2，y2)，由y24x，xmyx0消去 x，得 y24my4x00，因为 x012.所以 16m216x00， y1y24m，y1y24x0， 设 p 的

8、坐标为(xp，0)，则pe(x2xp，y2)，pa(x1xp，y1)， 由题知pepa，所以(x2xp)y1y2(x1xp)0， 即 x2y1y2x1(y1y2)xpy22y1y21y24y1y2（y1y2）4，显然 y1y24m0，所以 xpy1y24x0，即证 p(x0，0)，由题知epb 为等腰直角三角形，所以 kap1， 即y1y2x1x21，也即y1y214（y21y22）1， 所以 y1y24，所以(y1y2)24y1y216. 即 16m216x016，m21x0，x01， 又因为 x012， 所以12x01，d|x0 x0|1m22x01m22x02x0， 令2x0t1，62，

9、x02t2，d2（2t2）t4t2t， 易知 f(t)4t2t 在1，62上是减函数，所以 d63，2 . 5.如图所示，已知 f( 3，0)为椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的右焦点，b1，b2，a 为椭圆的下、上、右三个顶点，b2of 与b2oa 的面积之比为32. (1)求椭圆 c 的标准方程； (2)试探究在椭圆 c 上是否存在不同于点 b1，b2的一点 p 满足下列条件：点 p 在 y 轴上的投影为 q，pq 的中点为 m，直线 b2m 交直线 yb0 于点 n，b1n 的中点为 r，且mor 的面积为3 510.若不存在，请说明理由；若存在，求出点 p 的坐标 解析：(1)由已知得sb2ofsb2oa12bc12abca32. 又 c 3，所以 a2，所以 b2a2c21，所以椭圆 c 的标准方程为x24y21. (2)假设存在满足条件的点 p，设其坐标为 p(x0，y0)(x00)， 则 q(0，y0)，且 mx02，y0.又 b2(0，1)，所以直线 b2m 的方程为 y2（y01）x0 x1. 因为 x00，所以 y01，令 y1， 得 nx01y0，1 .又 b1(0，1)， 则 rx02（1y0），1 ， 所以|mr|x02x02（1y0）2（y01）2 1y01y0. 直线