积分第一中值定理及其推广证明

1、欢迎阅读2.1 积分第一中值定理证明积分第一中值定理 :如果函数 f ( x) 在闭区间 a, b 上连续， g( x) 在 (a,b) 上不变号，并且g(x) 在闭区间 a,b 上是可积的，则在 a,b 上至少存在一点，使得成立。证明如下：由于 g(x) 在闭区间 a,b 上不变号，我们不妨假设 g ( x) 0，并且记 f ( x) 在闭区间 a,b 上的最大值和最小值为 M 和 m ，即 m f ( x) M ，我们将不等式两边同乘以 g( x) 可以推出，此时对于任意的x a, b 都会有成立。对上式在闭区间 a, b 上进行积分，可以得到bbbmg( x)dxf (x) g( x)d

2、xMg( x)dx 。aaa此时在 m, M 之间必存在数值，使得 m成立。由于 f ( x) 在区间 a, b 上是连续的，则在M ，即有a,b 上必定存在一点，使 f ( )成立。此时即可得到bbf ( x)g ( x) dxf ( )g (x) dx，aa命题得证。2.2 积分第一中值定理的推广定理：（推广的第一积分中值定理）若函数f (x) 是闭区间 a,b 上为可积函数， g(x) 在 a, b 上可积且不变号，那么在开区间(a,b) 上至少存在一点，使得成立。推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。证法 1：由于函数 f ( x) 在闭区间 a, b 上是可积的， g

3、 (x) 在 a, b 上可积且不变号，令F ( x)xxf (t ) g(t) dt ， G(x)g(t )dt ，很显然 F (x), G( x) 在 a, b 上连续。并且aaF (a)bf (t) g(t )dt ， G (a) 0,G (b)bf ( ) g( ) ， G ( ) g( ) 。由柯0, F (b)g(t)dt ， F ( )aa西中值定理即可得到欢迎阅读欢迎阅读F (b)F (a)F ()(a,b) ，G (b)G (a)G (,)化简，即bf (t) g(t)dtf ( )g( ) ，abg()g(t )dta根据上式我们很容易得出bbg(t )dt ,(a, b)

4、 ，f (t ) g(t) dtf ( )aa命题得证。证法 2：由于函数 g (x) 在 a, b 上可积且不变号， 我们不妨假设 g (x)0 。而函数 f (x) 在闭区间 a, b 上可积，我们令 minff ( x) | x a, b ， Msup f ( x) | x a, b。假设 F (x) 是 f (x) 在闭区间 a,b 上的一个原函数，即 F (x)f ( x),xa,b 。我们就可以得到下面等式mbbf (x)g ( x) dxbg (x)dxaM g( x)dxaa此时由于 g( x)0 ，则会有bg(x)dx 0 ，由于存在两种可能性，那么下面我们就要分两种情况以a

5、下我们分两种情形来进行讨论：(1).b0b0 ，那么对于(a,b)如果g ( x) dxf ( x) g( x)dxaa都有恒成立。(2).如果b0bg ( x) dxg (x)dx 可得aabf (x)g( x) dxmaMbg(x)dxa我们记bf ( x) g( x)dxabg( x)dxa此时我们又分两种情形继续进行讨论：（ mbf ( x) g( x)dxaM 成立，则此时一定就存在 mM ，可以使得bag( x)dx欢迎阅读欢迎阅读m f ( x1 ),f (x2 ) M ，我们不妨假设 x1x2 ，这其中 x1, x2a, b 。因为 F( x) f ( x) ， x a, b

6、，则会有F (x1)f ( x1)f ( x2 ) F ( x2 ) 。此时至少存在一点(x1, x2 ) ，使得 F () f ()，即有成立，从而结论成立。M ，因为b0，此时一定存在区间 a1 ,b1 (a, b) （其中 a1b1 ），使得（g (x)dxaxa1, b1 ，恒有 g( x)0bbf ( x) g(x)dx ，ag (x)dxa因为M ，则有b0 M f ( x)g (x) dxa而且我们已知 Mf (x) g(x)0，则0x1f ( x)g (x)dxbf (x) dx 0 。 MMy1a于是x1f ( x)g( x) dx0 My1 a1 ,b1( a, b) ，使得 f ( )M 。如果不存在一个 a1 ,b1 (a,b) ，使得 f ( )M，则在闭区间 x1, y1 上必定有Mf (x)0及 g (x) 0 成立，从而使得 M f (x) g( x) 0 。如果b1f (x)g( x)dx0，由达布定理在 a1, b1 上有 Mf ( x) g (x) 0 ，这与