维线性系统分析课件

1、维线性系统分析课件第二章第二章 二维线性系统分析二维线性系统分析维线性系统分析课件第二章第二章 二维线性系统分析二维线性系统分析 2-1 线性系统线性系统 一、线性系统的定义一、线性系统的定义用算符表示系统用算符表示系统定义：定义：g(x, y) = f(x, y)输入输入f(x, y)输出输出g(x, y) a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) = a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) = a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y) 如果如果g1(x, y) = f1(x, y)， g

2、2(x, y) = f2(x, y)若对任意复常数若对任意复常数a1, a2有：有： 则称该系统为线性系统。则称该系统为线性系统。 维线性系统分析课件2-1 线性系统线性系统线性系统具有叠加性质线性系统具有叠加性质 线性系统对几个激励的线性组合的整体响应等于线性系统对几个激励的线性组合的整体响应等于单个激励所产生的响应的线性组合。单个激励所产生的响应的线性组合。 输入输入f1(x, y)输出输出g1(x, y) 输入输入f2(x, y)输出输出g2(x, y) 输入输入输出输出维线性系统分析课件2-1 线性系统线性系统线性系统具有叠加性质线性系统具有叠加性质 利用线性系统的叠加性质，可以把利用

3、线性系统的叠加性质，可以把复杂的输入函数复杂的输入函数分解为分解为简单的简单的“基元基元”函数的线性组合函数的线性组合，则，则输出输出就是这些就是这些“基元基元”函数响应的线性组合函数响应的线性组合。光学系统可看成二维线性系统光学系统可看成二维线性系统 常用常用“基元基元”函数有函数有d d 函数、复指数函数等等。函数、复指数函数等等。系统对某个输入的系统对某个输入的响应不会因为其它输入的存在而响应不会因为其它输入的存在而改变。改变。系统的响应性质系统的响应性质不会因为输入幅度的改变而改变。不会因为输入幅度的改变而改变。线性系统对各个输入的响应是互相独立的。线性系统对各个输入的响应是互相独立的

4、。维线性系统分析课件2-1 线性系统线性系统 二、脉冲响应和叠加积分二、脉冲响应和叠加积分系统对系统对处于原点的脉冲函数处于原点的脉冲函数的响应：的响应：h(x, y) = d d(x, y)系统对系统对输入平面上坐标为输入平面上坐标为(x,hx,h)处的脉冲函数处的脉冲函数的响应：的响应：h(x, y; x,hx,h) = d d (x-x x, y- h h)在线性系统中引入脉冲响应的意义：在线性系统中引入脉冲响应的意义：1. 任意复杂的任意复杂的输入输入函数可以分解为函数可以分解为脉冲函脉冲函数的线性组合。数的线性组合。2. 若已知线性系统的脉冲响应函数，若已知线性系统的脉冲响应函数，则

5、系则系统的输出为脉冲响应函数的线性组合。统的输出为脉冲响应函数的线性组合。维线性系统分析课件2-1 线性系统线性系统 二、脉冲响应和叠加积分二、脉冲响应和叠加积分任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合 hxhxdhxddyxfyxf),(),(),(根据根据d d 函数的卷积性质或函数的卷积性质或d d 函数的筛选性质函数的筛选性质: :此式的物理意义：此式的物理意义：脉冲分解脉冲分解函数函数 f(x, y)可以看成输入可以看成输入(x, y)平面上不同位置处平面上不同位置处的许多的许多d d 函数的线性组合。每个位于函数的线性组合。每个位

6、于(x, hx, h)的的d d 函数的权重因子是函数的权重因子是 f (x, hx, h)。维线性系统分析课件2-1 线性系统线性系统 二、脉冲响应和叠加积分二、脉冲响应和叠加积分线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合对于线性系统：对于线性系统：g(x, y) = f(x, y) hxhxhxhxhxdhxddyxhfddyxf),;,(),(),( ),(叠加积分叠加积分只要知道各个脉冲响应函数，系统的输出即为脉只要知道各个脉冲响应函数，系统的输出即为脉冲响应函数的线性组合。问题是如何求对任意点冲响应函数的线性组合。问题是如何求对任意点的脉冲的脉冲d

7、d (x-x x, y- h h)的响应的响应h(x, y; x,hx,h) 维线性系统分析课件成像光学系统的输出成像光学系统的输出, ; ,h x yxyx hdxhL ,f x yfxyd dx h dxhx h , ; ,g x yfh x yd dx hx hx h脉冲分解脉冲分解脉冲响应脉冲响应叠加积分叠加积分维线性系统分析课件2-2 二维线性不变系统二维线性不变系统 一、二维线性时不变系统一、二维线性时不变系统设系统在设系统在 t = 0时刻对脉冲的响应为时刻对脉冲的响应为 h(t)，即，即: d d(t)=h (t)若输入脉冲延迟时间若输入脉冲延迟时间 t t ，其响应只有相应的

8、时，其响应只有相应的时间延迟间延迟t t ，而函数形式不变，即，而函数形式不变，即 d d (t - t t )=h (t - t t )则此线性系统称为则此线性系统称为时不变时不变系统。系统的性质不随系统。系统的性质不随所考察的时间而变，是所考察的时间而变，是稳定稳定的系统。的系统。时间轴平移时间轴平移了，响应也随之平移同样的时间，即具有平移不了，响应也随之平移同样的时间，即具有平移不变性。变性。维线性系统分析课件则此线性系统称为则此线性系统称为时不变时不变系统。系统的性质不随所考察系统。系统的性质不随所考察的时间而变，是的时间而变，是稳定稳定的系统。的系统。时间轴平移了，响应也随时间轴平移

9、了，响应也随之平移同样的时间，即具有平移不变性。之平移同样的时间，即具有平移不变性。tt t0d d (t-t t)t0d d (t)例：时不变例：时不变(一维一维)系统系统 : RC电路电路th(t)0t th(t-t t)t02-2 二维线性不变系统二维线性不变系统一、二维线性时不变系统一、二维线性时不变系统实际物理系统大多可近似为平移不变系统。实际物理系统大多可近似为平移不变系统。维线性系统分析课件对一般系统而言，脉冲响应函数的形式可能是点对一般系统而言，脉冲响应函数的形式可能是点点不同的点不同的只有对一类特殊的系统只有对一类特殊的系统线性空不变系统线性空不变系统，h(x, y; x,h

10、x,h)= h(x-x x , y-h h) 成立，分析可以得到简化。成立，分析可以得到简化。则则 h (x;1) h (x-1)=1例如例如，设设 d d(x)= h (x)=1而而 d d(x-1)= h (x;1)= exp(-j2p px)2-2 二维线性不变系统二维线性不变系统 二、二维线性空不变系统二、二维线性空不变系统脉冲响应函数脉冲响应函数h(x, y ; x, h x, h )的求法：的求法： 维线性系统分析课件2-2 二维线性不变系统二维线性不变系统二、二维线性空不变系统二、二维线性空不变系统 一个二维一个二维脉冲函数脉冲函数在输入面上在输入面上位移位移时，线性系统的时，线

11、性系统的响应函数形式始终与在原点处输入的二维脉冲函数的响应函数形式始终与在原点处输入的二维脉冲函数的响响应函数形式相同应函数形式相同，仅造成响应函数，仅造成响应函数相应的位移相应的位移，即：，即： d d(x-x x, y-h h)=h (x-x x, y-h h)线性不变系统线性不变系统的脉冲响应：的脉冲响应：线性不变系统的输入线性不变系统的输入-输出变换关系不随空间位置变化。输出变换关系不随空间位置变化。这样的系统称为二维线性空不变系统。这样的系统称为二维线性空不变系统。h (x, y; x x, h h) = h (x-x x, y-h h)观察点观察点坐标坐标输入脉冲输入脉冲坐标坐标二

12、个坐标的二个坐标的相对间距相对间距推广到二维空间函数推广到二维空间函数维线性系统分析课件2-2 二维线性不变系统二维线性不变系统二、二维线性空不变系统二、二维线性空不变系统例例 ：空不变空不变( (二维二维) )系统：系统：等晕等晕成像系统成像系统d d (x-x x ; y-h h)(x x ;h h)h(x-x x ; y-h h)xyxy光学成像系统在等晕区内是空间不变的。光学成像系统在等晕区内是空间不变的。晕斑晕斑d d (x,y)h(x,y)维线性系统分析课件例例维线性系统分析课件维线性系统分析课件维线性系统分析课件2-2 二维线性不变系统二维线性不变系统 二、二维线性空不变系统二、

13、二维线性空不变系统输入输出关系：空域输入输出关系：空域 hxhxdhxdddyxfyxyxfyxf),(),(),(),(),( hxhxdhxddyxfyxfyxg),( ),(),( ),( hxhxhxddyxhf),(),(),(),(yxhyxf输出是输入与输出是输入与脉冲响应函数脉冲响应函数的卷积。的卷积。这也这也是线性空不变是线性空不变系统的判据。系统的判据。维线性系统分析课件传递函数传递函数输入频谱输入频谱2-2 二维线性不变系统二维线性不变系统 三、线性不变系统的传递函数三、线性不变系统的传递函数),(),(),( yxhyxfyxg由两边作两边作F.T. G(fx,fy)

14、= F (fx,fy) H (fx,fy) 输出频谱输出频谱传递函数是脉冲响应函数的传递函数是脉冲响应函数的.F.T. dxdyyfxfjyxhffHyxyx)(2exp),(),(p= h(x,y)维线性系统分析课件2-2 二维线性不变系统二维线性不变系统 三、线性不变系统的传递函数三、线性不变系统的传递函数注意注意H (fx,fy) 是是 h(x,y) 的的F.T.，即，即h(x,y)的频谱函数的频谱函数h(x,y)是对是对d d (x,y)函数的响应函数的响应d d 函数的频谱恒为函数的频谱恒为1，即含有所有频率成分，即含有所有频率成分，并且各频率成分的权重都相等（并且各频率成分的权重都

15、相等（=1）。）。但但h(x,y)的频谱已经改变成的频谱已经改变成H (fx,fy) H (fx,fy)反映了系统对不同频率成分的响反映了系统对不同频率成分的响应，即频率响应。应，即频率响应。维线性系统分析课件2-2 二维线性不变系统二维线性不变系统 三、线性不变系统的传递函数三、线性不变系统的传递函数对于给定的系统和输入，对于给定的系统和输入，F (fx,fy) 和和H (fx,fy) 较容易求较容易求出，因此容易由输出的频谱推算出系统的输出，出，因此容易由输出的频谱推算出系统的输出，可可避免冗繁的卷积积分求输出的运算。避免冗繁的卷积积分求输出的运算。G(fx,fy) = F (fx,fy)

16、 H (fx,fy) 维线性系统分析课件间隔为间隔为3的的脉冲阵列脉冲阵列, 基频为基频为1/3在有限空间在有限空间区域不为零区域不为零, |x|25三角波三角波, 底宽为底宽为2)(50rect3comb31)(xxxxf输入：输入：0-25-3325. . . . . . . . . . . . xf(x)12-2 二维线性不变系统二维线性不变系统 三、线性不变系统的传递函数三、线性不变系统的传递函数例：例：维线性系统分析课件输入频输入频谱：谱：)(sinc50sinc3comb50)(2ffffF输入：输入：)(50rect3comb31)(xxxxf间隔为间隔为1/3的脉冲阵列的脉冲阵

17、列包络包络, 半宽为半宽为1 窄带谱窄带谱, 半宽半宽1/50f0-1/31/3G(f)2/3-2/3251-12-22-2 二维线性不变系统二维线性不变系统 三、线性不变系统的传递函数三、线性不变系统的传递函数例：例：维线性系统分析课件f0-1/31/3G(f)2/3-2/3251-12-2f0-1/31/3G(f)2/3-2/350/31-12-20维线性系统分析课件传传递递函函数数5 . 1rect5 . 1rect 2rect4rect)(fffffHH(f)1f01-12-22-2 二维线性不变系统二维线性不变系统 三、线性不变系统的传递函数三、线性不变系统的传递函数例：例：维线性系

18、统分析课件)(sinc50sinc33comb350)(2ffffF5 . 1rect5 . 1rect)(fffHG(f ) = F(f ).H(f ) 5) 4, 4,- -5,( )3(50sinc)(sinc3502nnffnf0-1/31/3G(f)2/3-2/350/31-12-20nnff)3(50sinc)(sinc350 23nfnd维线性系统分析课件输出频谱：输出频谱：)3/5() 3/5()50sinc() 3/5(sinc350 )3/4() 3/4()50sinc() 3/4(sinc350)(22fffffffGddddG(f)f0-1/31/3 2/3-2/350

19、/31-12-2G(f) = G(f).H(f) 5) 4, 4,- -5,( )3(50sinc)(sinc3502nnffn2-2 二维线性不变系统二维线性不变系统 三、线性不变系统的传递函数三、线性不变系统的传递函数例：例：维线性系统分析课件输出：输出： 50rect310cos50938cos329)(22xxxxgpppp输出频谱：输出频谱：)3/5()3/5()50sinc()3/5(sinc350 )3/4()3/4()50sinc()3/4(sinc350)(22fffffffGddddg(x)维线性系统分析课件注意注意H (fx,fy) 是是 h(x,y) 的的F.T.，即，

20、即h(x,y)的频谱函数的频谱函数h(x,y)是对是对d d (x,y)函数的响应。函数的响应。d d 函数的频谱恒为函数的频谱恒为1，即含有所有频率成分，即含有所有频率成分，并且各频率成分的权重都相等（并且各频率成分的权重都相等（=1）。）。但但h(x,y)的频谱已经改变成的频谱已经改变成H (fx,fy) H (fx,fy)反映了系统对不同频率成分的反映了系统对不同频率成分的响应，即频率响应响应，即频率响应2-2 二维线性不变系统二维线性不变系统 三、线性不变系统的传递函数三、线性不变系统的传递函数维线性系统分析课件2-3 抽样定理抽样定理, ; ,h x yxyx hdxhL ,f x

21、yfxyd dx h dxhx h , ; ,g x yfh x yd dx hx hx h脉冲分解脉冲分解脉冲响应脉冲响应叠加积分叠加积分维线性系统分析课件2-3 抽样定理抽样定理问题的提出问题的提出：对于一个连续的物（模拟信号），是：对于一个连续的物（模拟信号），是否必须采集物的所有点（用无穷否必须采集物的所有点（用无穷多个多个d d 函数的线性组函数的线性组合来表示合来表示），才能表达物所包含的全部信息？），才能表达物所包含的全部信息？答答：为了完全描述一个频带受限制的信号：为了完全描述一个频带受限制的信号( (限带信限带信号号) )，可以对它在离散点，可以对它在离散点( (时间或空间点

22、时间或空间点) )进行抽样。进行抽样。抽样定理抽样定理若函数若函数g (x, y) 不包括高于不包括高于Bx 和和By 的频率分量，则此的频率分量，则此函数可以由一系列间隔函数可以由一系列间隔(X, Y )等于或小于等于或小于1/(2Bx)和和1/(2By) 处的函数值完全决定。处的函数值完全决定。 X, Y：时：时/空域、间隔；空域、间隔； Bx , By ：频域、带宽：频域、带宽维线性系统分析课件2-3 抽样定理抽样定理 一、函数的抽样一、函数的抽样上式表明，抽样后的函数上式表明，抽样后的函数gs(x,y)由间距分别为由间距分别为X和和 Y的的d d 函数阵列函数阵列构成，构成，每个每个d

23、 d 函数下的面积正比于函数下的面积正比于该点的函数值。该点的函数值。),(combcomb ),(yxgYyXxyxgs将连续函数将连续函数g(x,y)在间隔为在间隔为X和和Y的分立的空间的分立的空间点上抽样，就是与梳函数相乘的过程。抽样后点上抽样，就是与梳函数相乘的过程。抽样后的函数系列用的函数系列用gs(x,y)表达：表达：g(x)0 x=x0 xcomb(x/X).0gs(x)维线性系统分析课件2-3 抽样定理抽样定理 一、函数的抽样一、函数的抽样二维情形二维情形维线性系统分析课件2-3 抽样定理抽样定理 二、二、抽样函数抽样函数gs(x,y)的频谱的频谱),(,yxnmyxffGYm

24、fXnf d nmyxYmfXnfG,),(combcomb ),(yxyxsffGYyXxffG),(combcomb yxyxffGYfXfXY经过抽样后函数的频谱，是原连续函数的经过抽样后函数的频谱，是原连续函数的频谱以频谱以间隔间隔1/X，1/Y 重复平移并叠加。重复平移并叠加。),(combcomb ),(yxgYyXxyxgs维线性系统分析课件如果如果G (fx, fy)频带无限制，则这些频频带无限制，则这些频谱函数必然会叠加。谱函数必然会叠加。 nmyxYmfXnfG,Gs(fx, fy)即使即使G (fx, fy)是频带有限的函数，若是频带有限的函数，若X,Y取值不合适，这些重

25、复的频谱函数之取值不合适，这些重复的频谱函数之间也会互相重叠。间也会互相重叠。fxGs(fx)01/X1/X只有使这些频谱函数互不重叠，才有可只有使这些频谱函数互不重叠，才有可能用滤波的方法，从中提取出原函数的能用滤波的方法，从中提取出原函数的频谱，进而求出原函数。频谱，进而求出原函数。fxGs(fx)02-3 抽样定理抽样定理 二、二、抽样函数抽样函数gs(x,y)的频谱的频谱维线性系统分析课件2-3 抽样定理抽样定理 三、抽样间隔三、抽样间隔fxG(fx)-BxBx0 nmyxYmfXnfG,Gs(fx, fy)(2) 原函数抽样时，在原函数抽样时，在x方向和方向和y方向抽样点的间方向抽样

26、点的间隔隔 X 和和Y不得大于不得大于1/(2 Bx)和和1/(2 By)，(1) g(x,y)是是限带函数限带函数，其频谱，其频谱G (fx, fy)仅仅在频率平面上一个有限区域在频率平面上一个有限区域 上不为零上不为零2 Bx, 2 By : 带宽带宽: 包围包围 的最小矩形在的最小矩形在 fx 和和 fy方向上的宽度。方向上的宽度。yxBYBX21 ,21则则Gs中各个区域中各个区域(间隔为间隔为1/X,1/Y)的频谱就不会重叠的频谱就不会重叠fxGs(fx)-BxBx01/X有可能用滤波的方法，提取出原函数的频谱有可能用滤波的方法，提取出原函数的频谱G，进而求出原函数。，进而求出原函数

27、。维线性系统分析课件2-3 抽样定理抽样定理 三、抽样间隔三、抽样间隔fxGs(fx)-BxBx01/X则则Gs中各个区域（间隔为中各个区域（间隔为1/X,1/Y）的频谱就不会重叠，有可能用滤波的频谱就不会重叠，有可能用滤波的方法，提取出原函数的频谱的方法，提取出原函数的频谱G，进而求出原函数。进而求出原函数。yxBYBX21 ,21yxBYBX21 ,21称为奈奎斯特称为奈奎斯特(Niquest)间隔间隔只要以小于或等于只要以小于或等于奈奎斯特间隔奈奎斯特间隔对对g(x,y)抽样，则抽样，则gs(x,y)的的频谱就是频谱就是G (fx, fy)的周期性复现，包含了的周期性复现，包含了g(x,

28、y)的全部信息。的全部信息。维线性系统分析课件2-3 抽样定理抽样定理 四、原函数的复原四、原函数的复原为了从为了从gs(x,y)中还原出中还原出g(x,y)，将，将gs(x,y)通过一个理通过一个理想低通滤波器，想低通滤波器，只允许所有频率只允许所有频率|fx|Bx, |fy|By 的的频率分量无畸变地通过，频率分量无畸变地通过，而将此区域以外的频率而将此区域以外的频率分量完全阻塞。分量完全阻塞。fxGs(fx)-BxBx01/X此理想低通滤波器的频率此理想低通滤波器的频率特性为频域中的矩形函数特性为频域中的矩形函数2-3 抽样定理抽样定理 四、原函数的复原四、原函数的复原用频域中宽度用频域

29、中宽度2Bx和和2By的位于原的位于原点的矩形函数作为滤波函数：点的矩形函数作为滤波函数：yyxxyxBfBf,ffH2rect2rect滤波过程滤波过程：yxyyxxyxs,ffGBfBf,ffG2rect2rect根据卷积定理，在空间域得到：根据卷积定理，在空间域得到：yxgyxhyxgs, mYnX,yxnX,mYgXYx,ygYyXxx,ygnms combcombyBxBsBBBfBfFx,yhyxyxyyxx2sinc2inc4 2rect2rect1维线性系统分析课件2-3 抽样定理抽样定理 四、原函数的复原四、原函数的复原mYyBx-nX BnX,mYgXYBBx,ygyxnm

30、yx 2sinc2sinc 4若取最大允许的抽样间隔，即若取最大允许的抽样间隔，即X =1/(2 Bx)，Y=1/(2 By) ，则用函，则用函数的抽样值计算出原函数：数的抽样值计算出原函数： yyxxnmyxBmyB Bnx-BBmBngyx22sinc22sinc2,2,g原函数在分立点上的抽样值原函数在分立点上的抽样值插值函数插值函数插值：由抽样点函数值计算非抽样点函数值插值：由抽样点函数值计算非抽样点函数值原函数在空域原函数在空域中表示为：中表示为：维线性系统分析课件2-3 抽样定理抽样定理四、原函数的复原四、原函数的复原抽样和还原的图示抽样和还原的图示g(x)0 xcomb(x/X)

31、x.0=x0gs(x)*Xcomb(Xfx)01/Xfx-1/X.fxG(fx)-BxBx0=fxGs(fx)0Bx-Bx3Bx-3Bx1/X-1/XX1/(2Bx)F.T.F.T.F.T.抽样抽样fxrect(fx/2Bx)-BxBx0.fxG(fx)-BxBx0=?F.T.F.T.还原还原2Bxsinc(2Bx)fx012Bx12Bx*维线性系统分析课件2-3 抽样定理抽样定理四、原函数的复原四、原函数的复原抽样和还原的图示抽样和还原的图示x0gs(x)2Bxsinc(2Bx)fx012Bx12Bxx0gs(x)-XX2X-2X*=sinc函数称为函数称为内插函数内插函数频域滤波相当于频域

32、滤波相当于空域的插值运算空域的插值运算连续函数具有的信息内容等效于一系列的信息抽样。连续函数具有的信息内容等效于一系列的信息抽样。重新恢重新恢复连续函数所必需的离散值的最小数目由抽样定理决定。复连续函数所必需的离散值的最小数目由抽样定理决定。维线性系统分析课件维线性系统分析课件2-3 抽样定理抽样定理四、原函数的复原四、原函数的复原抽样和还原的图示抽样和还原的图示抽样抽样空域空域 g(x,y)频域频域 G(fx,fy)comb(x/X)comb(y/Y)gs(x,y)Gs(fx,fy)还原还原低通滤波器低通滤波器h(x,y)H(fx,fy)g(x,y)= gs(x,y)*h(x,y)G(fx,fy)= Gs(fx,fy)H(fx,fy)抽样定理表明抽样定理表明: 在一定条件下可以由插值准确恢复原函数。在一定条件下可以由插值准确恢复原函数。一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢失任何信息。失任何信息。 维线性系统分析课件2-3 抽样定理抽样定理五、抽样定理的适用性五、抽样定理的适用性在数学上，限带函数在空域上一定是无限扩展的函数在数学上，限带函数在空域上一定是无限扩展的函数函数不可能在空域和频域都