六章节金属电子论

1、第六章 金属电子论1897 j.j.thomson 发现电子德鲁德，洛仑兹 自由电子气只有金属中公共的电子才可以视为是自由电子，电子集体称为自由电子气 经典物理，解释电导， 热导规律解释比热，出现偏差sommerfeld 引入量子论布洛赫、布里渊能带理论周期场中运动的电子具有的特征金属、半导体、绝缘体从数学上讲从数学上讲 给定一个给定一个e 就有相应的解就有相应的解从物理上讲从物理上讲 只有特殊的只有特殊的e 才能得到满足才能得到满足 物理要求的解物理要求的解这就意味着能量只能取分立的值这就意味着能量只能取分立的值-量子化量子化定态薛定谔方程定态薛定谔方程)()()(222rerrum)()(

2、rerh6.1 金属自由电子气的量子理论6.1.1 自由电子能级和能态密度每个自由电子的势能是一常数假定正电荷均匀分布， rerm2222212322222( , , )( , , )2( , , )()22xyzx y zex y zmx y zkkkkmm 2分离变量：（x) （y) （z）令e=222,222mvpepmv epkmkm2令e=2222222222222( , , )()( , , )22xyzx y zkkkx y zmmxyz 312231312222222123( )( )( )( )( )( )( )( )( )() ( )( )( )xyzzxyyzxzxydx

3、dydzkkkxyz222ddd原式= 两边同除分离变量:123( )( )( )xyz222231222222123( )( )( )()( )( )( )xyzdydzdxdydxdzkkkxyz221122222233( )( )0()()0( )( )0 xyzdxkxdykydzkz 方程的解:221122222222332( )( )( )( )( )( )xyzdxkxdxdykydydzkzdz 123( )( )( )xxyyzzik xik xxxik yik yyyik zik zzzxa eb eya eb eza eb e三维无限深势阱中lzyxzyxlzyxxyxu

4、,0,00,及当当 边界条件:在势箱中运动的电子.10,0 0, 00cossincossinsinsinsin0 xxxxxlxxxxik lik lxxxxik lik lxxik likxxxxxxxxxxxlxababxla eb eaba ea ea ea ek lik lk lik lik lik lk l 在及处 ， （ x） =0(驻 波 条 件 )当，当用代 入移 项 ：只 有 当sin0sin0,(,0)yzxxxxyyyyxyzzzzzk lk lnklk lnnk lnknnnlk lnnkl同理：任意正整数123123()()()()s in()s in()s ins

5、 ins ins inxxyyzzxyzxyyxakxyakyzakzakxkykz 只剩下正弦项,余弦项为零. a为归一化常数,电子能量: 推广到无限个线度都是l的势阱 各个势阱相应位置波函数相等:2222222222222222()()22()8()8xyzxyzxyzhekkkmhennnmlhennnmlxyz粒子的状态由一组正整数（n ,n ,n ）来确定，11( )()xxl()()()1cossin12222xxxxxxxikxikxikxlikxlxxxxikxikxliklxxxxxxyyzza eb ea eb eeeek lik lk lnnklnklnkl即 ： 电子波

6、函数: 波函数归一化:()xyzi k x k y k zi k raeae 2000212321,11,1llxxxxxxyzae dxalalaaaal 得出 rkievr1电子的波函数是平面波电子的动量 速度kpmkv 周期性边界条件当l行进的平面波无限空间的平面波波矢由分立值连续变化的值k 空间单位体积中含有代表点的数目等于波矢空间每个状态代表点所占体积32l3322vlkkdk zyxdkdkdkkd到的体积元中kdvkdvdz33422能量e到e+de之间球壳的体积mek2即波矢 到kdk dkk24其状态数dkkvdz2344deehmvdz2123224edemdk22 deevg 2123224ehmeg能态密度：每单位体积在单位能量间隔内的状态数目6.1.2 电子气的基态1/exp1,tketefb电子气服从费米-狄拉克统计表示化学势物理意义：化学势或费米能量，在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。是温度t和电子数n的函数。能量e 状态被电子填充的几率tef, 0,d