第三章刚体力学基础

1、第三章第三章刚体力学基础刚体力学基础一一. 刚体刚体 内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物体，即运动过程中不发生形变的物体。体，即运动过程中不发生形变的物体。 刚体是实际物体的一种理想的模型刚体是实际物体的一种理想的模型 用以确定一个物体在空间的位置所需的独立坐用以确定一个物体在空间的位置所需的独立坐 标的个数。标的个数。自由刚体的自由度数自由刚体的自由度数 n=6非自由刚体的自由度数小于非自由刚体的自由度数小于6 物体系运动自由度物体系运动自由度n，决定了其独立的微分方程组的数目，决定了其独立的微分方程组的数目有有n个，其中每个方程均为

2、二阶微分方程个，其中每个方程均为二阶微分方程.若运动被限制或被若运动被限制或被约束约束,其自由度将减少。多一个约束条件其自由度将减少。多一个约束条件,就减少一个自由度。就减少一个自由度。abc二、刚体的自由度二、刚体的自由度1. 1. 平动平动（平移）（平移） （n=3） 运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保持方向不变。持方向不变。 刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点的轴线的转动的轴线的转动特点：特点：刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加速度。刚体内所有的点具有相同的位移、速度和

3、加速度。 刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。 研究方法：用研究方法：用质心质心代表整个代表整个刚体的运动。刚体的运动。可视为质点可视为质点。（n=1） 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。为刚体的转动。这条直线称为转轴。转轴固定不动的转动。转轴固定不动的转动。zo特点：特点：刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速度。度。刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴刚体上任一点作圆周运动的规律即代表

4、了刚体定轴转动的规律转动的规律5. 刚体的一般运动（刚体的一般运动（n=6） 刚体的一般运动可视为随刚体上刚体的一般运动可视为随刚体上某一基点某一基点a的平动和绕该点的定点的平动和绕该点的定点转动的合成转动的合成.oo o o o 将刚体的运动看作质心的平动将刚体的运动看作质心的平动与相对于通过质心并垂直运动平与相对于通过质心并垂直运动平面的轴的转动的叠加。面的轴的转动的叠加。3.平面平行运动（平面平行运动（n=3） 刚体运动时刚体运动时, 各点始终和某一平面保持一定的距离各点始终和某一平面保持一定的距离, 或者说或者说刚体中各点都平行于某一平面而运动刚体中各点都平行于某一平面而运动4.刚体定

5、点转动（刚体定点转动（n=3）刚体运动时，始终绕一固定点转动刚体运动时，始终绕一固定点转动.角位置：角位置： 1. 定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述 ( ) t角位移：角位移： )()(0tt角速度：角速度：ddt角加速度：角加速度： 22dtddtd 角速度和角加速度均为矢角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中方向沿转轴量，定轴转动中方向沿转轴的方向。角速度方向并满足的方向。角速度方向并满足右手螺旋定则。右手螺旋定则。2. 角量和线量的关系角量和线量的关系rv 2raran 在刚体作匀角加在刚体作匀角加速转动时，速转动时， =常数，常数，有以下有以下相应的公式相应的公式:200t21tt0

6、02022 在质点作匀加速直在质点作匀加速直线运动时，线运动时，a =常数，常数，有以下有以下相应的公式相应的公式:20021attvxx atvv 0)(20202xxavvt 3、匀变速转动的公式、匀变速转动的公式刚体获得角加速度的原因？刚体获得角加速度的原因？第二节第二节 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 角动量守恒定律角动量守恒定律一、力对转轴的一、力对转轴的力矩力矩frmz zfrpdozm转动平面转动平面 rfrfmz sin方向如图方向如图z1frpo转动平面转动平面2ffzm1frmz rfrfmz sin1 f方向如图方向如图1、力在转动平面内、力在转动平面内2、力不在转动平

7、面内、力不在转动平面内穿过转轴穿过转轴z的力的力和平行转轴和平行转轴z的的力对转轴力对转轴z的力的力矩为矩为0。frmzfdfpo大小：大小：dfrfmsin 方向：方向： 沿沿fr方向。定轴转动中沿转动轴的方向。方向。定轴转动中沿转动轴的方向。 当有当有n个外力作用有定轴转动的刚体上时，其总力矩的个外力作用有定轴转动的刚体上时，其总力矩的量值应等于这量值应等于这n个外力对转轴产生分力矩的代数和。个外力对转轴产生分力矩的代数和。？为什么？为什么质点系角动量定理质点系角动量定理:质点系所受外力矩之和等于系统总角动量质点系所受外力矩之和等于系统总角动量的变化率的变化率(p85)dtldm外对于定轴

8、对于定轴z z轴转动刚体轴转动刚体, ,上式同样成立上式同样成立, ,且且m只沿只沿z轴方向轴方向,故有故有:dtdlmzziiiiiiivrmvmrl)( 如图所示，考虑以角速度如图所示，考虑以角速度 绕绕z轴转轴转动的一个刚体，其上任一质元动的一个刚体，其上任一质元 相对相对于原点于原点0的角动量为的角动量为 imiiiivrmlli在z轴上的分量为：2sinsiniiiiiiiiiizrmvrmvrmlljlziiiiizzrmll2 因此，定轴转动刚体的总角动量因此，定轴转动刚体的总角动量 对转动轴对转动轴 z 轴的分量轴的分量的大小为：的大小为：liiirm：j2令dtjddtdlm

9、zz:由对定轴刚体，对定轴刚体，j为常量，为常量，jdtdjmzj j ：称为刚体对于：称为刚体对于转轴的转轴的转动惯量转动惯量定轴下，可不写角标定轴下，可不写角标 z，记作：，记作：mj 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律与牛顿第二定律比较：与牛顿第二定律比较： f = m amfjma 2iirmj连续体：连续体：dmrj21. 转动惯量的物理意义：转动惯量的物理意义：刚体转动惯性大小的量度。刚体转动惯性大小的量度。 2. 转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量大小有关因素转动惯量大小有关因素:与刚体的质量及与刚体的质量及质量相对于给定轴的分布有关。质量相对于给定轴的分布有关。 注注:在定轴转

10、动定律中，不论是对在定轴转动定律中，不论是对m还是对于还是对于j，首先都要，首先都要 明确的是转轴的位置，只有轴确定，明确的是转轴的位置，只有轴确定，m和和j才有意义。才有意义。 dmrm在（在（si）中，）中，j 的单位：的单位：kgm2四：刚体定轴转动定律的应用和转动惯量的计算四：刚体定轴转动定律的应用和转动惯量的计算jdtdjmdmrj2dldmdsdmdvdm质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布其中其中 、 、 分分别为质量的线密别为质量的线密度、面密度和体度、面密度和体密度。密度。线分布线分布体分布体分布面分布面分布1、对于转动惯量：、对于转动惯量

11、：求一质量为求一质量为 m ，长为，长为 l 的均匀细棒的转动惯量。的均匀细棒的转动惯量。 （1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。 （2）轴通过棒的中心并与棒垂直；）轴通过棒的中心并与棒垂直；oxzdxdmxdmrj2dxlmdxdmllxlmdxlmxj030231231mlj 122222/mldxxjllc abl/2l/2cx注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。 2、对于转动定律的应用、对于转动定律的应用 解题要点解题要点例例6-1、一根长为、一根长为l、质量为、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的

12、的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆置，求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对力矩为重力对o的力矩。的力矩。 当当棒处在下摆棒处在下摆 角时角时，重力矩重力矩为：为： o cosmglm21 mgclgmlmgljm2331212 coscos ddjdtdddjdtdjjm 21 cosmglm代入djdmglcos2100cos21djdmgl221sin21jmgllgjmglsin3

13、sin djmd质量为质量为 m ，半径为，半径为 r 的细圆环和均匀薄圆盘，求通过的细圆环和均匀薄圆盘，求通过各自中心并与圆面垂直的轴的转动惯量。各自中心并与圆面垂直的轴的转动惯量。rdrdm2dmrj2drr32rdrrj03224212mrrrmodm对圆环：对圆环：222mrdmrdmrj 对圆盘：对圆盘：rmrdr解：分析受力：图示解：分析受力：图示质点质点aamamgtsin1质点质点bbmatmg2abr ,jnf1tgm1rf2tmg1t2tmg例例6-2、如图，斜面倾角为、如图，斜面倾角为，质量均为，质量均为m的两物体的两物体a、b，经，经细绳联接，绕过一定滑轮。定滑轮转动（

14、视为圆盘）半径为细绳联接，绕过一定滑轮。定滑轮转动（视为圆盘）半径为r、质量为质量为m。求物体运动中定滑轮两侧绳中的张力及。求物体运动中定滑轮两侧绳中的张力及b下落的加下落的加速度速度a（不计摩擦）（不计摩擦）滑轮（刚体）滑轮（刚体）jrtrt12)tt,tt(1122联系量联系量raaba联立求解可得联立求解可得t1 、t2、 aa、 ab、为什么此时为什么此时t1 t2 ？3、 平行轴定理与垂直轴定理平行轴定理与垂直轴定理平行轴定理：平行轴定理：2mdjjcz221mrjc2221mrmrjz223mrmzjcj例：例：垂直轴定理垂直轴定理ozyxyxzjjj221mrjz241mrjjy

15、x例：例：2212mrjjjxyx几几种种常常见见刚刚体体的的转转动动惯惯量量orpdz回顾：质点对回顾：质点对o点的角动量点的角动量决定由方向大小prpdprl:sin:prl五五 刚体定轴转动的角动量与角动量定理刚体定轴转动的角动量与角动量定理 2jrmrvmlliiiiiiiiio图26irivimzjl 角角动动量量l是是矢矢量量，定定轴轴转转动动中中l的的方方向向沿沿的的方方向向，即即 jl 0mcjl角动量守恒定律角动量守恒定律 dtdjjm 由转动定律由转动定律dtlddtjdm )( lddtm 0tt00 jjlddtmll 冲量矩（角冲量）冲量矩（角冲量）表示合外力矩在表示

16、合外力矩在t0t 时间内的累积作用。时间内的累积作用。作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。角动量定理角动量定理 角动量守恒现象举例角动量守恒现象举例第三节第三节 刚体的能量刚体的能量idoi图29ifiril dzp0pdmdrfdrfdlfl dfdwiiiiiiiiiiiii sin sin cos 0mdwmddmdwdwiiii 刚体的内力不做功刚体的内力不做功一、刚体定轴转动的动能与动能定理一、刚体定轴转动的动能与动能定理o图26irivimz222221)(21)21(jrmvmeiiiiiik221jek1刚体的转动动能刚体的转动动能

17、2. 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理202212100jjdjmdddjdtdddjdtdjjm0kkeew 图164imihciiiiiiiipmghmhmmgghmecpmghe 0外mceeekp推广：推广：对含有刚体和质点复杂系统，对含有刚体和质点复杂系统，若外力不做功，且内力都是保守力，若外力不做功，且内力都是保守力，则系统机械能守恒，即则系统机械能守恒，即 ceeepk质点：mghemvepk,212 刚体：cpkmgheje,212 图163lagmc解解 (1)杆杆+子弹：竖直位置，外力子弹：竖直位置，外力(轴轴o处的力和重力处的力和重力)均不产生力矩，故碰撞过程

18、中角动量守恒：均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒： )32(313222lmmllmo 解得解得)43(6mmlmo 例题例题 匀质杆：长为匀质杆：长为l、质量质量m，可绕水平光滑固定轴可绕水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂。质量为转动，开始时杆竖直下垂。质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度 o射入杆上的射入杆上的a点，并嵌在杆中，点，并嵌在杆中，oa=2l/3, 求求:(1)子弹射子弹射入后瞬间杆的角速度入后瞬间杆的角速度; (2)杆能转过的最大角度杆能转过的最大角度 。m ooa 32l222)32(3121 lmml )322()32(31 2)32(1cos222lmglmg

19、lmmllmo 由此得：由此得：(2)杆在转动过程中显然机械能守恒：杆在转动过程中显然机械能守恒：m ooa 32l2lmg )mmlmo43(6 由前由前221 jek 转动动能转动动能 cos32-cos2lmglmg 零势面零势面平动动能平动动能221 mek 32-lmg例例6-8 a与与b两飞轮的轴杆可由摩擦啮合器使之连接两飞轮的轴杆可由摩擦啮合器使之连接,a轮的转动惯轮的转动惯量量j1=10.0kg.m2,开始时开始时b轮静止轮静止,a轮以轮以n1=600r.min-1的转速转动的转速转动,然然后使后使a与与b连接连接,因而因而b轮的到加速而轮的到加速而a轮减速轮减速,直到两轮的转速都等直到两轮的转速都等于于n=200r.min-1为止为止.求求(1)b轮的转动惯量轮的转动惯量;(2)在啮合过程中损失的在啮合过程中损失的机械能机械能.ab解解:(1)取两飞轮为系统取两飞轮为系统,因轴向力不产生因轴向力不产生转动力矩转动力矩；据系统的角动量守恒；据系统的角动量守恒,有有22111jjj12212jj则则b轮的转动惯量轮的转动惯量1221jnnn 20 .20mkg(2)系统在啮合过程中机械能的