第3讲理论力学

1、分析力学初步复习一 牛顿力学的局限性-分析力学的建立原因牛顿力学： 以牛顿定律和力的独立作用原理为力学的基本原理 -矢量力学研究方法：（1）必须知道作用在体系上的所有的力。 出现在体系基本方程中的力是所有力的合力（2）若质点系受到约束成为非自由质点或质点系，则需要给出约束方程（3）约束反作用力：将约束去掉，用其约束力的反作用力表征系统所受的力，使系统称为自由系统 注意：约束反作用力（约束反力）并不完全取决于约束本身，而与作用在质点上的其力以及质点本身的运动状态有关 单靠约束反力本身不能起到引起质点的任何运动 约束反力： 被动力 or 约束力 （4）质点的运动方程为： 约束反作用力！ 一般情况下

2、 是未知的，因此构建关于 的显式是非常困难的！ （5） 个牛顿力学方程 + 个约束方程 方程（二阶微分方程）思考方法：（1） 约束增加，系统的自由度减少；若有个约束则自由度为，（2） 以描述自由度的方程出现（3） 约束不再出现方程中-分析力学目 的建立一种新的形式，使约束力和非独立坐标不出现在方程中使写出的方程就是我们要直接求解的个方程完成目标之过程（1）在方程中不出现约束力-达朗贝尔方程（dAlembert Equation）,但非独立坐标依然出现（2）既不出现约束力又不出现非独立坐标-拉格朗日方程（Lagrange Equation）二 非自由质点系的约束和广义坐标1虚位移：想象在某一时刻

3、 质点发生了一个约束许可的无限小的位移这个位移不是由于质点的实际运动所产生的，它不需要时间，这种位移称为虚位移用表示。例：设 n 个质点组成的系统，受到一个约束（完整约束）约束方程为：在时刻的矢径为 ， 时刻的矢径为 ，则无论在时刻还是在时刻系统的坐标必须满足上述约束方程虚位移是设想在时刻 上述的位置作了一个微小的位移，由 到达但位移后必须满足这个设想的位移不经历时间，因此称为虚位移性质：（1）虚位移无限小，具有极限的特点 （2）只是想象中可能发生的，不是由质点的实际运动产生的 （3）它只决定于质点在时刻的位置和加在它上面的约束 （4）由于只考虑到一个时刻，时间没有改变因此（4） 实际位移只有

4、一个，但虚位移可以不止一个实位移与虚位移的比较虚位移实位移共同点满足约束的限制条件满足约束的限制条件不同点（1） 与质点或质点系的实际运动无关，只是一种几何概念，即从几何上说明位移的可能性，可能有多个或无穷多个。（2） 与时间过程、作用力以及质点或质点系运动的初始条件等均无关（1） 是质点或质点系由于实际运动而产生的位移，因而在任何确定的时间内只有一个。（2） 是在一段时间内所完成的，与作用在质点或质点系上的力有关，与运动的初始条件有关表示方法 变分符号 微分符号相互关系（1） 在稳定约束的条件下，实际位移是虚位移中的一个（2） 在非稳定约束条件下，由于约束在一段时间内也发生了变化，因此，实位

5、移不再是虚位移中的一个2约束的概念和分类：约束：限制力学体系中各点运动的条件，其方程成为约束方程用表示约束的分类：（1） 稳定约束和非稳定约束：a 稳定约束：约束方程中不显含时间即b. 非稳定约束：约束方程中显含时间即例如：单摆：约束方程为 固定曲面上运动的质点：约束方程为 曲柄连杆：AB所受的约束：（1）A只能作圆周运动 （2）AB间距离为 （3）B沿轨道作直线运动约束方程：摆长随时间变化：初始时刻为，以速度拉动绳子的另一端。约束方程：非稳定约束（2）不可解约束和可解约束a.不可解约束：质点始终不能脱离的约束，即： and 例如：刚体棒的一端固定，另一端连接一个质点，约束方程：b.可解约束：

6、虽然质点被限制在某一个平面上，但是在某一个方向上可以脱离，即 即可以在的曲面上运动，也可以在的方向上运动例如：一个质点被一条长为一段固定柔软的绳连接，约束方程为特点：不可解约束用等式表示，可解约束用不等式表示（3）几何约束和运动约束：a. 几何约束：完整约束-只限制空间位置的约束，即约束方程只是坐标和时间的函数 and b. 运动约束：微分约束-除限制坐标外还要限制速度，即约束方程即是坐标的函数又是速度的函数（4）不完整约束： 运动约束中，约束方程除含有坐标外还含有坐标对时间的微分，当约束方程遍乘以后运动约束有时经过积分可以变为完整约束，但若约束方程不能积分时，这种运动约束称为不完整约束（5）

7、完整体系和不完整体系完整体系：只受完整约束的体系不完整体系：同时受完整约束和不完整约束的体系，or, 只受不完整约束的体系3虚功：力在虚位移中作的功约束稳定，实位移是许多虚位移中的一个非稳定约束， 实位移与虚位移不同左图：约束方程为：，某一时刻无限小虚位移为通过质点在该时刻所占的位置P点的切平面上，而实际上，由于曲面的运动，实际位移将与不同。质点系处于静止平衡状态，取质点系中一质点，作用在该质点上的主动力的合力为，约束力的合力为。因为系统处于平衡状态，所以这个质点也处于平衡状态。其质点的虚位移，则质点上的虚功为：对所有质点求和： 理想约束：质点系的任何虚功中，所有的约束力所作的虚功的和等于零，

8、这种约束称为理想约束对于理想约束：上式是质点系平衡的必要条件，也是充分条件对于有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用在质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功为零。-虚功原理理想约束的例：（1） 质点沿光滑曲面运动：约束力为曲面对质点的作用力，其方向指向沿曲面的法线方向，（2） 质量可以忽略的刚性杆所连接的两个质点牛顿第三定律： （）（3） 两个光滑表面接触的刚体牛顿第三定律：若刚体有滑动则：可以证明在刚体接触点的公切面内，而和垂直于公切面 （）证明： 在两个刚体的公切面内（a） 将和分为两个部分：（i） 两者没有相对的虚位移，只是在切平面内有一个虚位移，：由切平面的虚位移产生的切

9、点的虚位移，这一虚位移是两者共有的 （ii）在切平面不动时，两个刚体在各自切平面内的虚位移： ，因为在公切面内，因此也一定在公切面内。（4）两个完全粗糙的表面相接触，只能滚动不能滑动 此时切点的相对速度约束条件为：所以，（5）两个以柔性不可伸长的绳子向连接的质点由约束条件：得 三达朗贝尔方程：（目的：在方程中不出现约束力）1达朗贝尔方程：约束力； ：主动力 ， 给体系虚位移：对于理想约束： -达朗贝尔方程若体系静止： -虚功原理质点被约束在一个光滑的平面上运动，质点上系着一根长度为的轻绳，绳子穿过平面上的小孔，另一端系着质量为的指点，讨论质点的运动情况2虚功原理例：主动力： ；失径： ； （应用约束方程） ； ； 为独立坐标，必有 前面的系数为零。 例如图所示,在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平面内的力偶,其力矩,螺杆的导程为.求:机构平衡时加在被压物体上的力.解:给虚位移 满足：因为任意：图中所示结构,各杆自重不计,在点作用一个铅直向上的力, 求:支座的水平约束力.解: