2021版高考数学一轮复习核心考点精准研析9.4垂直关系文含解析北师大版

1、垂直关系核心考点精准研析考点一垂直关系的基本问题1.(2020六安模拟)已知平面平面,直线m满足m,则“m”是“m”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件2.设l,m,n表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个命题:若ml,且m,则l;若,m,n,则mn;若,则;如果mn,m,n,则.则错误的命题为()a.b.c.d.3.如图,在三棱锥a-bcd中,acab,bcbd,平面abc平面bcd.acbd;平面abc平面abd;平面acd平面abd.以上结论中正确的个数有()a.1b.2c.3d.0【解析】1.选b.平面平面,则“m”“m或m 或m与相

2、交”,反之,平面平面,令平面平面=l,在l上任取一点a,在内过a作abl,则ab平面,又m,可得mab,所以m;则“m”是“m”的必要不充分条件.2.选d.若ml,且m,则l是正确的,两平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.若,m,n,则mn是错误的,当m和n平行或相交(不垂直)时,也可能满足前边的条件;若,则,不对,垂直于同一个平面的两个平面也可以是相交的;如果mn,m,n,则是错误的,平面和可以相交或平行.3.选c.因为平面abc平面bcd,平面abc平面bcd=bc,bcbd,所以bd平面abc,又ac平面abc,所以bdac,故正确.因为bdac,bdbc,acbc=c

3、,所以bd平面abc,又因为bd平面abd,所以平面abd平面abc,故正确.因为acab,bdac,abbd=b,所以ac平面abd,又ac平面acd,所以平面acd平面abd,故正确.与线面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准,甚至无需作图通过空间想象来判断.(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确.(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.【秒杀绝招】排除法解t2,选d.若ml,且m,则l是正确的,两平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面,故正确,排除a,b,c,选d.考点二点到面的距离问题【典例】如图

4、,bcd与mcd都是边长为2的正三角形,平面mcd平面bcd,ab平面bcd,ab=23.求点a到平面mbc的距离.世纪金榜导学号【解析】取cd的中点o,连接ob,om,则ob=om=3,obcd,mocd.又平面mcd平面bcd,则mo平面bcd,所以moab,mo平面abc,所以点m,o到平面abc的距离相等.作ohbc于点h,连接mh,则mhbc.求得oh=occos 30=32,mh=(3)2+322=152.设点a到平面mbc的距离为d,由va-mbc=vm-abc得13smbcd=13sabcoh.即13122152d=131222332,解得d=2515.求点到平面的距离,按照定

5、义需要找到这点到平面的垂线段,一般不好找垂足,可以利用等体积法转化为方程问题求解.如图,在四棱锥p-abcd中,pd平面abcd,pd=dc=bc=1,ab=2,abdc,bcd=90.(1)求证:pcbc.(2)求点a到平面pbc的距离.【解析】(1)因为pd平面abcd,bc平面abcd,所以pdbc.因为bcd=90,所以cdbc,又pddc=d,pd,dc平面pcd,所以bc平面pcd.因为pc平面pcd,故pcbc.(2)分别取ab,pc的中点e,f,连接de,df,则易证decb,de平面pbc,所以点d,e到平面pbc的距离相等,又点a到平面pbc的距离等于点e到平面pbc的距离

6、的2倍,由(1)知,bc平面pcd,所以平面pbc平面pcd,因为pd=dc,pf=fc,所以dfpc,因为平面pcd平面pbc=pc.所以df平面pbc于点f.易知df=22,故点a到平面pbc的距离等于2.【一题多解】(2)等体积法:连接ac,设点a到平面pbc的距离为h,因为abdc,bcd=90,所以abc=90.由ab=2,bc=1,得abc的面积sabc=1.由pd平面abcd及pd=1,得三棱锥p-abc的体积v=13sabcpd=13.因为pd平面abcd,dc平面abcd,所以pddc,又pd=dc=1,所以pc=pd2+dc2=2,由pcbc,bc=1,得pbc的面积spb

7、c=22,由va-pbc=vp-abc得,13spbch=13,得h=2,故点a到平面pbc的距离等于2.考点三直线、平面垂直,面面垂直的判定与性质命题精解读1.考什么:(1)考查证明线线垂直、线面垂直、面面垂直.(2)考查直观想象与逻辑推理的核心素养.2.怎么考:考查在柱、锥、台体中证明线面的垂直关系.3.新趋势:以柱、锥、台体为载体,与平行、距离、空间角结合命题.学霸好方法1.(1)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(2)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直.2.(1)判定面面垂直的方法:定义法:

8、证明两平面形成的二面角是直角.判定定理法:a,a.(2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.3.交汇问题:解决距离、空间角交汇时,常需要先证明线面垂直.直线、平面垂直的判定与性质【典例】如图所示,已知ab为圆o的直径,点d为线段ab上一点,且ad=13db,点c为圆o上一点,且bc=3ac,pd平面abc,pd=db.求证:pacd.世纪金榜导学号【证明】因为ab为圆o的直径,所以accb,在rtabc中,由3ac=bc得abc=30,设ad=1,由3ad=db得,db=3,bc=23,由余弦定理得cd2=db2+bc

9、2-2dbbccos 30=3,所以cd2+db2=bc2,即cdao.因为pd平面abc,cd平面abc,所以pdcd,由pdao=d得,cd平面pab,又因为pa平面pab,所以pacd.面面垂直的判定与性质【典例】(2018全国卷)如图,在平行四边形abcm中,ab=ac=3,acm=90,以ac为折痕将acm折起,使点m到达点d的位置,且abda. 世纪金榜导学号(1)证明:平面acd平面abc.(2)q为线段ad上一点,p为线段bc上一点,且bp=dq=23da,求三棱锥q-abp的体积.【解析】(1)由已知可得,bac=90,则baac.又baad,adac=a,所以ab平面acd

10、.又ab平面abc,所以平面acd平面abc.(2)由已知可得,dc=cm=ab=3,da=32.又bp=dq=23da,所以bp=22.作qeac,垂足为e,则qecd且qe=13dc=1.由已知及(1)可得dc平面abc,所以qe平面abc,因此,三棱锥q-abp的体积为vq-abp=13qesabp=13112322sin 45=1.1.已知直线l,m与平面,满足=l,l,m,m,则必有()a.且mb.且c.m且lmd.且lm【解析】选d.因为m,m,所以.因为=l,所以l,又因为m,所以lm.2.如图,在abc中,ac=bc=22ab,四边形abed是边长为1的正方形,平面abed底面

11、abc,g,f分别是ec,bd的中点.(1)求证:gf平面abc.(2)求几何体c-adeb的体积.【解析】(1)如图,取bc的中点m,ab的中点n,连接gm,fn,mn.因为g,f分别是ec,bd的中点,所以gmbe,且gm=12be,nfda,且nf=12da.又四边形abed为正方形,所以bead,be=ad,所以gmnf且gm=nf.所以四边形mnfg为平行四边形.所以gfmn,又mn平面abc,gf平面abc,所以gf平面abc.(2)连接cn,因为ac=bc,所以cnab,又平面abed平面abc,cn平面abc,所以cn平面abed.易知abc是等腰直角三角形,所以cn=12ab

12、=12,因为c-abed是四棱锥,所以vc-abed=13s四边形abedcn=13112=16.1.如图,已知pa平面abcd,且四边形abcd为矩形,m,n分别是ab,pc的中点.(1)求证:mncd.(2)若pda=45,求证:mn平面pcd.【证明】(1)如图所示,取pd的中点e,连接ae,ne,因为n是pc的中点,e为pd的中点,所以necd,且ne=12cd,而amcd,且am=12ab=12cd,所以neam,所以四边形amne为平行四边形,所以mnae.又pa平面abcd,所以pacd,又因为abcd为矩形,所以adcd.而adpa=a,ad,pa平面pad,所以cd平面pad,所以cdae.又aemn,所以mncd.(2)因为pa平面abcd,所以paad,又pda=45,所以pad为等腰直角三角形.又e为pd的中点,所以aepd,又由(1)知cdae,pdcd=d,cd,pd平面pdc,所以ae平面pcd.又aemn,所以mn平面pcd.2.如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,aa1bc,a1ac=60,a1a=ac=bc=1,a1b=2.(1)求证:平面a1bc平面acc1a1.(2)如果d为ab中点,求证:bc1平面a1cd.【证明】(1)因为a1ac=60,a1a=ac=1,所以a1ac为等边三角形,所以a1c=1.因为bc=1,a1b