2021新高考数学二轮总复习第三部分专题二2.4.2应用导数求参数的值或范围课件

1、2.4.22.4.2应用导数求参数的值或范围应用导数求参数的值或范围第三部分第三部分内容索引必备必备知识知识 精要精要梳理梳理关键关键能力能力 学学案突破案突破必备必备知识知识 精要精要梳理梳理1.函数不等式的类型与解法(1)xd,f(x)kf(x)maxk;xd,f(x)kf(x)mink;(2)xd,f(x)kf(x)上确界k;xd,f(x)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最大值.(2)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最小值.(3)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)

2、在c,d上的最小值.(4)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最大值.(5)x1a,b,当x2c,d时,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域与g(x)在c,d上的值域交集非空.(6)x1a,b,x2c,d,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域.(7)x2c,d,x1a,b,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域.关键关键能力能力 学学案突破案突破热点一热点一求参数的值求参数的值【例1】已知函数f(x)=ex-ax2.(1)略;(2)若f(x)在(0,+)只有一个零点

3、,求a.解 (1)略.(2)f(x)=ex(1-ax2e-x),设函数h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+)只有一个零点.(i)当a0时,h(x)0,h(x)没有零点;(ii)当a0时,h(x)=ax(x-2)e-x.当x(0,2)时,h(x)0.解题心得求参数的值,方法因题而异,需要根据具体题目具体分析,将题目条件进行合理的等价转化,在转化过程中,构造新的函数,在研究函数中往往需要利用对导数的方法确定函数的单调性.【对点训练1】已知函数f(x)=ax- ,ar.(1)若f(x)0,求a的取值范围;(2)若y=f(x)的图象与y=a相切,求a的

4、值.显然h(t)在(0,+)上单调递减,且h(1)=0,所以当0t0,h(t)单调递增;当t1时,h(t)0恒成立,f(x)0 x1,f(x)00 x1.f(x)单调增区间为(1,+),单调减区间为(0,1).(2)若f(x)在(0,1)内有极值,则f(x)=0在x(0,1)内有解. 设h(x)=ex-ax,则h(x)=ex-a0,h(1)=e-ae时,f(x)在(0,1)内有极值且唯一.当ae时,当x(0,1)时,f(x)0,所以函数f(x)在(1,+)上单调递增,又f(1)=2-a,故当a2时,f(x)0,f(x)0,f(x)在(1,+)上单调递增,无极值;当x2时,g(x)0,函数g(x

5、)在(2,+)上单调递增,g(2)=3-ln 20,所以在(2,+)上,g(x)0恒成立,所以f(a)=a2-ln a-a+10,所以函数f(x)在(1,a)上存在唯一零点x=x0,所以f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,此时函数f(x)存在极小值.综上,若函数f(x)在区间(1,+)上有极值,则a2. 故实数a的取值范围为(2,+).热点三热点三在不等式恒成立中求参数范围在不等式恒成立中求参数范围【例3】已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)略;(2)若当x(1,+)时,f(x)0,求a的取值范围.解 (1)略.(2)方法一(分离参数法) 当a1时

6、,令g(x)=f(x),则g(x)= 0,所以g(x)在(1,+)上单调递增,于是f(x)f(1)=2-a.()若2-a0,即10,于是f(x)在(1,+)上单调递增,于是f(x)f(1)=0.()若2-a2时,存在x0(1,+),使得当1xx0时,f(x)0,于是f(x)在(1,x0)上单调递减,所以f(x)0,当0a1时,f(1)=a+ln a1. 当x(0,1)时,f(x)0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)1.当a1时,f(x)=aex-1-ln x+ln aex-1-ln x1. 综上,a的取值范围是1,+).热点四热点四在两变量不等式恒成立中求

7、参数范围在两变量不等式恒成立中求参数范围 解 (1)略; 令g(x)=x2-mx+m,=m2-4m=m(m-4)0,当m4时,g(x)=0有两个不相等的实根x1,x2,且x1+x2=m,x1x2=m.当m4时,两个根为正,f(x)有两个极值点x1,x2,所以h(m)在(4,+)上为减函数.所以h(m)h(4)=ln 2.所以aln 2,即a的取值范围是ln 2,+).解题心得对于含有两个变量的不等式恒成立求参数问题,一般要找到两个变量的关系,转化为一个变量,从而得到一个函数;也可以从含有两个变量的不等式中抽象出一个函数是单调函数.对于求参数的范围,可以分离出变量,得到一个不等式,通过函数的最值

8、得参数的范围;如果变量不易分离,可以对参数进行讨论,看参数在什么范围不等式成立,从而求出参数范围.解 (1)略;(2)当a=-1时,f(x)=-ln x-x2+1,不妨设0 x10.当a0时,aex-10,所以f(x)0,所以h(x)在r上单调递增,而h(0)=0,所以当x0时,h(x)0时,h(x)0,于是当x0,当x0时,g(x)0,所以g(x)在(-,0)上单调递增,在(0,+)上单调递减.g(0)=1,当x-时,g(x)-,当x+时,g(x)0+.函数g(x)的简图如图所示.若f(x)有两个零点,则y=a与g(x)有两个交点,所以a的取值范围是(0,1). 解题心得对函数的零点问题,解

9、题策略是转化为两个函数图象的交点,三种方式中(一平一曲、一斜一曲、两曲)最为常见的是一平一曲.方法一是直接考虑函数f(x)的图象与x轴的交点情况,方法二是分离参数法,两种方法的本质都是一平一曲.另外我们对某些函数或许可以通过换元,降低函数的解决难度.【对点训练5】(2020全国,文20)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解 (1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f(x)=ex-1.当x0时,f(x)0时,f(x)0.所以f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.(2)f(x)=ex-a.当a0时,f(x)0,所以f(x)在(-,+)单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a0时,由f(x)=0可得x=ln a.当x(-,ln a)时,f(x)0.所以f(x)在(-,l