离散时间系统及卷积

1、第十章 离散时间系统及卷积10.1 离散时间系统1、离散系统的概念n离散时间系统是指输入及输出信号均是离散信号的系统。系统输入si(n)输出so(n)2、离散系统的互联系统1输入系统2输出a.系统的级联系统1输入系统2输出b.系统的并联系统1输入系统3输出系统2系统4c.系统的混联3、离散时间系统的模型离散时间系统输入输出之间的关系可以采用一些数学模型来描述，如差分方程，以及其他各种方式。 例如： )() 1()(0010nsbnsbnsbinn 10.2 离散时间系统的分类1、线性系统设某系统对输入)(),(21nfnf，有输出)(),(21nsns 则该系统对输入)()(2211nfcnf

2、c， 有输出)()(2211nscnsc，则该系统为线性系统。 2、时不变系统设某系统对输入)(nf，有输出)(ns 则该系统对输入)(0nnf， 有输出)(0nns， 则该系统为时不变系统。 3、因果系统如果某系统在0n时刻的输出)(0ns仅于0n时刻前的输入0)(nnnf有关， 而与0n时刻以后的输入0)(nnnf无关， 则该系统为因果系统。 4、稳定系统n对有界输入信号的响应还是有界信号的系统是稳定系统。n或者说，如果输入信号的幅度限制在某个范围之内，则输出信号的幅度也限制在某个范围之内。10.3 离散时间系统的描述1、系统函数n对应连续时间系统中的h(t)，离散时间系统中有h(n)。2

3、、系统函数的物理含义冲激响应函数： 指冲激信号)(n经过系统的响应。 换句话说， 系统函数)(nh就是输入信号为)(n时离散时间系统的输出信号。 3、从系统函数到卷积系统h(n)n(n)nkknkfnf)()()( tf(n)系统h(n)f(0)t于是输入信号f(n)的输出就等于一系列h(n)（经过加权和移位）的叠加kknhkfns)()()( tf(t)h(n-1)f(1)th(n-k)f(k)ts(t)kknhkfns)()()(就是离散卷积公式 将它与连续的卷积公式对比 dthfts)()()( 二者之间是统一的 n于是，借助系统函数-即冲激响应函数，我们就在系统的输入信号与输出信号之间

4、建立了一种明确的数学关系，这种数学关系就是卷积关系。4、卷积的性质及一类特殊的卷积卷积具有如下重要性质：n交换率：s (n)h(n)= h(n) s (n)n分配率： s (n)h1(n)+h2(n)= s(n) h1 (n)+ s(t) h2 (n)5、一类特殊的卷积对：)()(0nnnh 有： )()()()()()(00nnsnknksknhksnsikikio， 可见输入信号经过一个冲激响应为)(0nn的系统，相当于做平移。 特殊的：)()()(nsnnsii nh(n)=(n)的系统又被称为恒等系统10.4 离散互联系统的冲激响应1、级联系统系统1输入系统2输出h1(n)h2(n)系

5、统h(n)此种情况下，系统的冲激响应函数：h(n)=h1(n)h2(n)2、并联系统h1(n)h2(n)系统h(n)此种情况下，系统的冲激响应函数：h(n)=h1(n)+h2(n)系统1输入系统2输出3、混联系统此种情况下，系统的冲激响应函数：h(t)=h1(t)h2(t)+ h3(t) h4(t)系统h(t)系统1输入系统3输出系统2系统4h1(t)h2(t)h3(t)h4(t)10.5 卷积的频域性质1、时域与频域的关系n时域卷积等价于频域乘积，即如果：)()()(nhnfns 则：)()()(hfs 其中，)(),(),(hfs分别为 )(),(),(nhnfns系统冲激响应函数输入信号

6、输出信号 的离散付里叶变换 n于是，我们在系统冲激响应函数、输入信号、输出信号之间建立了联系，这种联系不仅体现在时域中，而且体现在频域中。n基于这些联系，我们可以分析和解决很多问题1）级联系统系统1输入系统2输出h1(n)h2(n)系统h(n)此种情况下，系统的冲激响应函数：h(n)=h1(n)h2(n)h()=h1()h2()2）并联系统h1(n)h2(n)系统h(n)此种情况下，系统的冲激响应函数：h(n)=h1(n)+h2(n) h()=h1()+h2()系统1输入系统2输出3）混联系统此种情况下，系统的冲激响应函数：h(n)=h1(n)h2(n)+ h3(n) h4(n)h()=h1(

7、)h2()+h3() h4()系统h(n)系统1输入系统3输出系统2系统4h1(n)h2(n)h3(n)h4(n)2、输出信号的求解设输入信号为)(nsi，系统的冲激响应为)(nh，输出信号为)(nso 利用时域法可以求解输出信号： kiioknhksnhnsns)()()()()( 利用频域法也可以求解输出信号： )()()(hssio，再做反付里叶变换 20)(21)(desnsnjoo n应当注意的是，有些情况下，采用时域法求解较为容易，而有些情况下，采用频域法较为方便。n举例：输入信号为：) 1(3)(2)(nnnsi 冲激响应为：) 2(1) 1(2)(1)(nnnnh 输出为：)

8、1(3)(2)()()(100nhnhknhksnski ) 3(3)2(6) 1(3)2(2) 1(4)(2nnnnnn ) 3(3)2(8) 1(7)(2nnnn si(n)h(n)nnsi(0) si(1)si(0)引起的输出=2h(n)si(1)引起的输出=3h(n-1)nn总的输出=2h(n)+3h(n-1)n2312124236327833、时域卷积等价与频域乘积的物理意义n从广义上看，任何一个系统h(n)，都可以看成是一个滤波器。因为它们均实现了一定的频率选择性。n解释同连续时间系统10.6 系统冲激响应函数的求解对差分方程，y为输出信号，x为输入信号： mrrnkkrnxakn

9、yb00)()(，有： jrmrrnkjkkexaeyb00)()(，所以 nkjkkjrmrrebeaxyh00)()()( n得到h()之后可以通过逆离散付里叶变换反解出系统冲激响应函数h(n)。10.7 dft和圆周卷积1、园周移位nx(n)，n=0,1,2,n-1的信号的圆周移位又写成nn具体方法如下图。nx(n)nnnn333nn3nn32、园周卷积n我们知道，前面介绍求解输出信号时可以采用频域法，即对输入x(n)，系统h(n)，求解输出y(n)时，可以先求y()=x()h()，再反变换回去得y(n)，不过，反变换涉及积分，不太方便计算机处理。n问题，有没有其他的办法在频域也离散化，

10、即根据y(k)来求解y(n)？n回答：有，而且实际的处理中，结合fft，ifft，就是用这种方法来处理的。n我们知道：n对x(n)，h(n)，n0,n)，其周期拓展后的信号的离散付里叶变换(dft)为x(k)，h(k)， k0,n)。n假设y(k)=x(k)h(k)。n那么问题是，y(k)做逆离散付里叶变换(idft)得到的y(n)是什么？我们知道： 102)()(nnnnkjenxkx，102)()(nnnnkjenhkh， 102102)()(1)(1)(nknnkjnknnkjekhkxnekynny 101022102102)()(1)()(1nmnknnkjnmkjnknnkjnmn

11、mkjeekhmxnekhemxn 由101022)(1)()(nmnknnkjnmkjeekhnmxny 而对1022)(1nknnkjnmkjeekhn， 看中括号内的部分， 是对)(kh做了一个频域频移，相当于时域延迟，但要注意，)(kh对应的时域信号是)(nh的周期延拓信号)(nh，所以： )()(1022mnheekhnknnkjnmkj。 于是 10101022)()()(1)()(nmnmnknnkjnmkjmnhmxeekhnmxny 这已经是卷积的形式，但它与普通卷积不同，主要在于 后一项是)(mnh而不是)(mnh。 下面我们来看)(mnh在0，n-1上是什么形式 n举例来

12、看：h(n)n3n3)(nhn3)1(nhn3)1(nh在0,n-1内=圆周移位nn3)2(nhn3)2(nh在0,n-1内=圆周移位nn3)(mnhn3)(mnh在0,n-1内=圆周移位n可见： 10)()()(nmnmnhmxny 这种卷积被称为园周卷积，可见得到的)(ny是)(nx与)(nh的园周卷积。 表示为：)()()(nhnxny 下面的问题是：园周卷积与正常离散卷积相同吗？ n回答，如不做特殊处理，园卷积与正常卷积不同，在做特殊处理之后，可以相同。n问题：一个k点的h(n)和一个l点的x(n)正常卷积可以得到一个多少点的y(n)？n回答：k+l-1点。n例如：h(n)=1,2,3

13、,4n3x(n)=1,2,2,1n3h(0-m)m3x(m)m3正常卷积： 1)0()()0(mhmxym 即上下两图中对应点相乘后相加 n同理：h(1-m)m3x(m)m3正常卷积： 4)1 ()() 1 (mhmxym 即上下两图中对应点相乘后相加 n继续移动，最终正常卷积得到的y(n)=1,4,9,15,16,11,4共7点n下面看园周卷积n园周卷积：nm3x(m)m3园周卷积： 17)0()()0( 30nmmhmxy 即上下两图中对应点相乘后相加 n解释：n是怎样得来的：h(m)m3h(-m)m3周期延拓m3取0n-1点mn3有了n，自然求解n 就方便了，实际上就是不断地向右做园周移

14、位n园周卷积：nm3x(m)m3园周卷积： 15)1 ()() 1 ( 30nmmhmxy 即上下两图中对应点相乘后相加 n依次有：ny(n)=17,15,13,15。显然同前面的y(n)不同。n问题，如何处理才能使y(n)=y(n)?n回答：将k点的x(n)，l点的h(n)通过补0分别展成k+l-1点的序列，再做园周卷积即可。n还用上例：h(n)=1,2,3,4,0,0,0n7x(n)=1,2,2,1, 0,0,0n7 补0展长后的序列n展长后的园周卷积：nm7x(m)m7园周卷积： 1)0()()0( 70nmmhmxy 即上下两图中对应点相乘后相加 注：n的获取仍采用前面介绍过的方法n展

15、长后的园周卷积：nm7x(m)m7园周卷积： 4)1 ()() 1 ( 70nmmhmxy 即上下两图中对应点相乘后相加 n依次可得y(n)=1,4,9,15,16,11,4=y(n)n上述方法的频域实现是：第一步，将k点的x(n)和l点的h(n)展成k+l-1点的序列。第二步，分别做展长后的序列的离散付里叶变换x(k)和h(k)第三步，将x(k)和h(k)相乘得y(k)第四步，将y(k)做反离散付里叶变换得y(n)即可。n需要说明的是，展长序列的长度只要大于k+l-1即可。故在实际使用中，往往选择一个长度（2m），该值是大于k+l-1的且最贴近k+l-1的2的整数次幂，当然也可以选其他的2的整数次幂，只要大于k+l-1 即可，但这样做会使运算量大增，所以谁也不这样用。n于是可以利用fft和ifft完成上述步骤。具体描述如下。第一步，将k点的x(n)和l点的h(n)展成大于k+l-1点且最贴近的2m长序列。第二步，分别做展长后的序列的fft变换得x(k)和h(k)第三步，将x(k)和h(k)相乘得y(k)第四步，将y(k)做ifft变换得y(n)即可。10.8 总结n这一章，我们介绍了离散时间系统的概念，及性质：线性、移不变、因果、稳定n介绍了离散系统函数，及离散冲激响应函数，并从离散输出输入的关系引出