幂级数展开法部分分式展开法围线积分法留数法自学

1、幂级数展开法幂级数展开法部分分式展开法部分分式展开法围线积分法围线积分法留数法留数法（自学）（自学）x一幂级数展开法（长除法）2101221012()()( )( )( )fzfzfzfzfz11101110( )( )( )mmmmnnnb zbzb zbb zf za zzaza za对于对于有理函数有理函数形式的形式的z变换式：变换式： 直接用长除法展开为幂级数形式直接用长除法展开为幂级数形式 kkf zf k z f k则则级级数数的的系系数数就就是是序序列列。其其逆逆变变换换结结果果通通常常难难以以表表示示为为闭闭合合解解析析形形式式幂级数展开法幂级数展开法x右边（因果）序列的逆右边

2、（因果）序列的逆z变换变换 f zz将将以以 的的降降幂幂排排列列0120012( )( )( )( )( )kkf zf k zfzfzfz左边（反因果）序列的逆左边（反因果）序列的逆z变换变换1123123 ( )( )()()()kkf zf k zfzfzfz f zz将将以以 的的升升幂幂排排列列x双边序列的逆双边序列的逆z变换变换12( )( )f kfk任任意意双双边边序序列列可可以以分分解解为为因因果果序序列列和和反反因因果果序序列列两两部部分分121( )( )( )( ) ( )( ) ()f kf kfkf kkf kk 故通常只需分别考察右边（因果）和左边（反因果）故通

3、常只需分别考察右边（因果）和左边（反因果）序列的逆序列的逆z变换变换1012 ( )( ),( )( ),kkkkf zf k zzf zf k zz 12 zf zfzfz相相应应的的 变变换换也也可可分分为为两两部部分分x二部分分式展开法z变换式的一般形式变换式的一般形式 0( )nmnnfmnmkkm 这这里里假假设设，对对于于可可利利用用序序列列移移位位特特性性转转换换为为的的情情形形。 若若为为( (起起点点) )序序列列，则则因因必必足足果果满满 11101110( )( ),( )mmmmnnnb zbzb zbb zf za zzaza zax部分分式法求逆部分分式法求逆z变换

4、的步骤变换的步骤1 ( )( )f zfzzz 将将 变变换换式式化化为为有有理理真真分分式式： ( )zf zz 各各部部分分分分式式的的逆逆 变变换换之之和和即即为为的的逆逆 变变换换 1 ( ),(),kkakzazzakzaza 求求各各部部分分分分式式的的逆逆 变变换换 , ,基基本本形形式式：1 ( )f z 对对进进行行部部分分分分式式展展开开11 ( )( )()f zffz zzf z的的部部分分分分式式转转换换为为的的部部分分分分式式：便于部分便于部分分式展开分式展开xf(z)的极点为互不相等的实数的极点为互不相等的实数123 ,nz zzz为为不不同同的的实实数数12(

5、)( )()()()nb zf zzzzzzz，011( ),nnkkkf zzzzzzz f zz则则可可以以展展开开为为如如下下部部分分分分式式形形式式00 1 21 ( ),( )( ),( ), ,(),kiiiikiiik zkzzfkkkf kink zkzz 101( ),nnk zk zf zkzzzz( )iiiz zf zkzzz0( )( )niif kf kxf(z)有共轭单极点有共轭单极点1 2 ,jzcjde1212( )( )( )( )abbf zf zf zkkf zzzzzzzzz1112*( )z zf zkzzkz112 21 cos() ( ),( )cos() (),kakkkkzfkkkkz xf(z)有有r重极点重极点12rzzza111211( )( )( )( )abbrrrf zf zf zkkkf zzzzzazzaza1111 1 21( )(), ,()!iriiz adf