第5讲质数与合数

1、第第5 5讲讲 质数与合数质数与合数概念概念1 1、质数、质数只有只有1 1和本身是因数，没有其和本身是因数，没有其他因数他因数( (也叫约数也叫约数) )2 2、合数、合数除了除了1 1 和本身之外，还有其他和本身之外，还有其他的因数的因数注意：注意：1 1既不是质数也不是合数既不是质数也不是合数 分解质因数分解质因数 每个合数都可以分解为一系列质数的积的每个合数都可以分解为一系列质数的积的形式，这种过程叫做形式，这种过程叫做分解质因数分解质因数。且这种。且这种分解的结果是唯一的。分解的结果是唯一的。 分解质因数是解决数字问题的常用思路分解质因数是解决数字问题的常用思路性质性质1 1、合数有

2、无数个合数有无数个 如果你愿意，可以用任何一个数产生无数如果你愿意，可以用任何一个数产生无数个合数，比如个合数，比如2n (n2n (n是自然数是自然数) )2 2、质数也有无数个质数也有无数个 我们找出开始的几个质数：我们找出开始的几个质数：2 2，3 3，5 5，7 7，1111，1313，1717，1919，2323，2929，3131，3737，4141，4343，4747，5353，5959，6161，67,67,可以发现，质数逐渐可以发现，质数逐渐稀疏，即使如此，也可以证明，质数的个数有稀疏，即使如此，也可以证明，质数的个数有无数个。无数个。质数有无穷多个的经典证明质数有无穷多个的

3、经典证明证：假设只有有限多个质数：证：假设只有有限多个质数：p p1 1，p p2 2，p pn n , , 构造一个数：构造一个数： n=(pn=(p1 1p p2 2p pn n)!+1,)!+1,则则n n是一个新的质数。若不然，则是一个新的质数。若不然，则n n是一个合数，是一个合数，于是于是n n可以被可以被p p1 1，p p2 2，p pn n中的某一个质数中的某一个质数p pi i整整除，而除，而p pi i必然整除必然整除(p(p1 1p p2 2p pn n)!)!，因此，因此1=n- (p1=n- (p1 1p p2 2p pn n)!)!可被可被p pi i整除，矛盾！

4、整除，矛盾！ 例题例题1、试判别、试判别359是不是质数是不是质数 分析：分析：首先知道首先知道182359192,约数都是成约数都是成对出现的，因此若对出现的，因此若359有一个大于有一个大于18的约的约数，则必有一个小于数，则必有一个小于18的约数，因此只要的约数，因此只要检验到检验到18的质因数即可。的质因数即可。 用用2，3，5，7，11，13，17依次试除依次试除359，发现都不是发现都不是359的约数，因此的约数，因此359式质数。式质数。2、求质数、求质数p,使得使得p+10和和p+14都是质数都是质数 试验试验：此题看不出什么规律，因此不妨取几个数字看：此题看不出什么规律，因此

5、不妨取几个数字看看，把看，把p p取值分别为取值分别为2 2，3 3，5 5，7 7，1111可以发现什么？可以发现什么？猜想猜想：除了除了3 3 之外，后面的质数不太可能满足条之外，后面的质数不太可能满足条件。但是，如何证明这一点？件。但是，如何证明这一点？证明证明: :把所有的整数按照被把所有的整数按照被3 3 除的余数分类：除的余数分类：3k,3k-1.3k+13k,3k-1.3k+13、将、将1,2,3,，2000这些数任意排列成这些数任意排列成为一行，得到一个数为一行，得到一个数n，求证：，求证：n一定是个一定是个合数。合数。分析：这样的题目看似没有方向，我们须分析：这样的题目看似没

6、有方向，我们须确定一点确定一点其中必然隐藏了一些特点，其中必然隐藏了一些特点，那就是解题的关键。那就是解题的关键。本题事实上用到了被本题事实上用到了被3 整除的数字特征。整除的数字特征。2000个数字排列的时候，数字之和是一个数字排列的时候，数字之和是一个不变的东西，抓住这一点即可。个不变的东西，抓住这一点即可。4、已知三个不同的质数、已知三个不同的质数a,b,c满足满足abbc+a=2000,求求a+b+c。分析：本题用到了分解质因数。分析：本题用到了分解质因数。abbc+a=a(bbc+1)=2453,右边只有右边只有2 个质因数个质因数,故故a=2或或5练习练习1、自然数、自然数n至少含

7、有至少含有2 个大于个大于10的质因的质因数，那么数，那么n的最小值是的最小值是_. 2 、3599是质数还是合数？是质数还是合数？ 解：解：3599=3600-1=602-1=（60+1）（）（60-1）=61 59因此因此3599是一个合数。是一个合数。3、用、用1、2、3、4、5任意组成一个任意组成一个五位数，所得的数中有几个质数？五位数，所得的数中有几个质数？解解: :因为因为1+2+3+4+5=151+2+3+4+5=15可以被可以被3 3整除整除, ,因因此这个五位数可以被此这个五位数可以被3 3 整除整除, ,因此其因此其中没有质数中没有质数. .4、p是质数。是质数。 +2也是

8、质数，则也是质数，则1997+ _ 2p4p 5、3 个不同的质数个不同的质数m，n,p满足满足m+n=p，则，则mnp的最小值是的最小值是_ 6、已知三个质数、已知三个质数m,n,p的乘积等于它们的乘积等于它们的和的的和的5 倍，则倍，则 _ 222mnp7、2 个质数的和为个质数的和为1995，则它们的积，则它们的积是是_ 8 、 a , b , c , d , e 是是 5 个 质 数 ， 其 中个 质 数 ， 其 中ab,ac,ad,并且并且a+b+c+d=e,则则a=_9、已知正整数、已知正整数p,q都是质数，且都是质数，且7p+q与与pq+11都是质数，试求都是质数，试求p,q的值。的值。 10、(1)是否存在连续个正整数，他们是否存在连续个正整数，他们均为合数？若存在，求出其中一组最小值；均为合数？若存在，求出其中一组最小值；若不存在，说明理由若不存在，说明理由(2)写出写出10个连续的正整数，使其中每个个连续的正整数，使其中每个都是合数都是合