人教高中数学必修二 2.3.1直线与平面垂直的判定 课件(共35张PPT)

1、 生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？几个吗？旗杆与底面垂直旗杆与底面垂直思考思考1.1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系置关系. .AB1.1.旗杆所在的直线始终与旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直影子所在的直线垂直.请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过示的试验：过ABCABC的顶点的顶点A A翻折纸片，得到折痕翻折纸片，得到折痕ADAD，将翻折后的纸片竖起放置在桌上（将翻折后的纸片竖起放置在桌上（B

2、DBD、DCDC与桌面接触）与桌面接触）. .A ABCD思考思考3 3 (1)(1)折痕折痕ADAD与桌面垂直吗？与桌面垂直吗？(2)(2)如何翻折才能保证折痕如何翻折才能保证折痕ADAD与桌面所在平面垂直？与桌面所在平面垂直？当折痕当折痕ADBCADBC时时, ,折痕折痕ADAD与桌面所在平面垂直与桌面所在平面垂直. .BDCA BD,CD BD,CD都在桌面内，都在桌面内，BDCD=DBDCD=D，ADCD,ADBD,ADCD,ADBD,直线直线ADAD所在的直线与桌面垂直所在的直线与桌面垂直lmnPlP 如果直线如果直线 l 与平面与平面 内的任意一条直线都垂直，内的任意一条直线都垂直

3、，我们说我们说直线直线 l 与平面与平面 互相垂直互相垂直，记作记作 l平面平面 的垂线的垂线直线直线 l 的垂面的垂面垂足垂足对定义的认识对定义的认识“任何任何”表示所有表示所有. .直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足. . 等价于对任意的直线等价于对任意的直线 ，都有，都有m利用定义，我们得到了利用定义，我们得到了a.ma lP 除定义外，如何判断一条直线与平面垂直除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？呢？一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂一条直线与一个平面内

4、的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直直，则该直线与此平面垂直balAal bl abAbal作用：作用：判定直线与平面垂直判定直线与平面垂直简记为：简记为：线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直“平面内平面内”，“相交相交”，“垂直垂直”三个条件必不可少三个条件必不可少VABC.D练习：练习：提示：提示：找找ACAC中点中点D,D,连接连接VD,BDVD,BD0 02 2. .过过A AB BC C所所在在平平面面外外一一点点P P, ,作作P PO O, ,垂垂足足为为O O, ,连连接接P PA A, ,P PB B, ,P PC C. .1 1) ). .若若P PA A = =P P

5、B B = =P PC C, , C C = = 9 90 0 , ,则则O O是是A AB B边边的的_ _ _点点. .2 2) ). .若若P PA A = =P PB B = =P PC C, ,则则O O是是A AB BC C的的_ _ _ _ _ _心心. .3 3) ). .若若P PA AP PB B, ,P PB BP PC C, ,P PC CP PA A, ,则则O O是是A AB BC C的的_ _ _ _ _ _心心. .中中外外垂垂线面垂直判定定理的应用证明：ABAC，DBDC，E 为BC 中点，AEBC，DEBC.又AE 与DE 交于E，BC平面AED. 由判定定

6、理可知要证明直线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两条相交直线垂直即可CABDOPABCDPOOBDAC平面平面又QBDPOBDOPDPB的中点的中点是是点点又Q,ACPOACOPCPA的中点的中点是是点点证明证明Q,PABCO ,解：（1）且又ABACABACAPAAC PAABPABCPABC QQQQ PACBCAACPAPABCACBC，ABOC面又得由为直径上一点为圆QQ,1)2(证明：PA O 所在平面，BCO 所在平面，PA BC，AB 为O 直径， ACBC，又 PA ACA， BC平面 PAC，又 AE平面 PAC，BCAE，AEPC, PCBCC，AE平面 PBC.1.

7、1. 已知：正方体中，已知：正方体中，ACAC是面对角线，是面对角线，BDBD是是与与AC AC 异面的体对角线异面的体对角线. .求证：求证：ACBDACBDABDCA B CD正方体正方体ABCD-ABCD ABCD-ABCD DDDD正方形正方形ABCDABCD证明：证明：连接连接BDBDABDCABCDACAC、BD BD 为对角线为对角线ACBDACBDDDBD=DDDBD=DACAC平面平面DDBDDB且且BDBD面面DDBDDBACBD ACBD 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面内的射斜

8、线在这个平面内的射影影垂足和斜足间的线段叫垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线这点到平面的斜线段在这个平面上的射影段在这个平面上的射影AB 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的成的夹角夹角，叫做，叫做斜线和平面所成的角斜线和平面所成的角 ( (或斜线或斜线和平面的夹角和平面的夹角). ). 简称简称线面角线面角为垂足上任一点，为为斜足，为一斜线，BABlAOl,1 1、直线和平面垂直直线和平面垂直 直线和平面所成的角是直线和平面所成的角是直角直角 直线和平面平行或在平面内直线和平面平行或在平面内 直线和平面所直线和平面所成的角是成的角是0 02 2、

9、直线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范的取值范围是：围是：斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角的取值范围的取值范围是：是：0 0 2 20 0 2 2OPA斜线斜线PA斜足斜足A线面所成角线面所成角（锐角（锐角PAOPAO）射影射影AO关键：关键：过斜线上一点作平面的过斜线上一点作平面的垂线垂线线面所成的角线面所成的角1.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求:（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1

10、D1C1B1ADCB例例2、在正方体、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直中，求直线线A1B和平面和平面A1B1CD所成的角所成的角O1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1o o1 11 11 11 1解解：连连接接B BC C 交交B B C C于于点点O O, ,连连接接A A O O, , A A B B B B C C ，A A B B B B B B, , A A B B 平平面面B BC CC C B B . . A A B

11、 B B BC C , ,又又B BC C B B C C, , B BC C 平平面面A A B B C CD D. . A A O O为为斜斜线线A A B B在在平平面面A A B B C CD D内内的的射射影影，B BA A O O为为A A B B与与平平面面A A B B C CD D所所成成的的角角. .设设正正方方体体的的棱棱长长为为a a2 2在在R Rt tA A B BO O中中，A A B B = =2 2a a, ,B BO O = =a a, ,2 21 1 B BO O = =A A B B, , B BA A O O = = 3 30 0 . .2 2直直线线

12、A A B B和和平平面面A A B Bo o1 1C CD D所所成成的的角角为为3 30 0 . .例2：如图 4，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角图 4解：连接 BC1 交 B1C 于 O，连接 A1O，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中各个面为正方形，设其棱长为 a.A1O 为 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角A1B 与平面 A1B1CD 所成的角为 30.求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：(1)先判断直线和平面的位置关系(2)当直线和平面斜交时，常有以下步骤：作作出或

13、找到斜线与射影所成的角；证论证所作或找到的角为所求的角；算常用解三角形的方法求角；结论说明斜线和平面所成的角值图 521.如图 5，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中， ABBC2，AA11，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为( )A22.若斜线段 AB 是它在平面内的射影长的 2 倍，则 AB与所成的角为()A60B45C30D120答案：D解析：如图22 ，连接 A1C1 ，则AC1A1 为 AC1 与平面A1B1C1D1 所成角图 221 1直线与平面垂直的概念直线与平面垂直的概念（1 1）利用定义；）利用定义；（2 2）利用判定定理）利用判定定理3 3数学思想方法：转化的思想数学思想方法：转化的思想空间问题空间问题平面问题平面问题2 2直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直垂直与平面内任意一条直线垂直与平面内任意一条直线（3 3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面么另一条也垂直于同一个平面4 4直线与平面所成的角直线与平面所成的角. .90,0范围：四四.知识小结：知识小结：直线与平面直线与平面垂直的判定垂直的判定定义法定义法间接法间接法直接法直接法 如果两条如果两条平行直线中的平行直线中的一条垂直于一一条垂直于一个平面，