同济大学高等数学课件310

1、第十节第十节 平均值平均值本节要点本节要点 本节以定积分为工具本节以定积分为工具,建立起连续函数在一个区间上的建立起连续函数在一个区间上的一、函数的算术平均值一、函数的算术平均值二、函数的加权平均值二、函数的加权平均值三、函数的均方根平均值三、函数的均方根平均值三中不同的平均值的概念三中不同的平均值的概念.一、函数的算术平均值一、函数的算术平均值 我们知道，我们知道， 个数个数 的算术平均值为的算术平均值为n12,ny yy1211.nniiyyyyynn 在区间在区间 上所取得的上所取得的“一切值一切值”的平均值的平均值. 今今讨讨 f x, a b在自然科学与科学技术中，有时还要考虑一个连

2、续函数在自然科学与科学技术中，有时还要考虑一个连续函数论平均值的求法论平均值的求法.012,naxxxxb各小区间的长度为各小区间的长度为,1,2,.ibaxinn f x函数函数 在各个端点处的取值记为在各个端点处的取值记为 1,2,.iiyf xin 1111nniiiiyf xnn来近似表示函数来近似表示函数 在区间在区间 上的算术平均值上的算术平均值. f x, a b分点为分点为n定义定义 在区间在区间 上定义，将区间上定义，将区间 等分，等分， f x, a b则可以用则可以用自然地，称极限自然地，称极限011limnnyyyyn为函数为函数 在区间在区间 上的算术平均值上的算术平

3、均值. , a b f x011limnnyyyyn011limnnyyybaban若若 在在 上可积，则上可积，则 f x, a b称为可积函数称为可积函数 在区间在区间 上上 的算术平均值。的算术平均值。 f x, a b 1d .bayf xxba111lim.niinif xxba 1d .baf xxba所以，将所以，将例例 求函数求函数 在区间在区间 上的平均值上的平均值.sinyx0,解解 由公式，得由公式，得012sin d.yx x二、加权平均值二、加权平均值 在许多实际问题中，我们所遇到的不是一个简单的算在许多实际问题中，我们所遇到的不是一个简单的算下面的例子就说明了加权平

4、均值的作用下面的例子就说明了加权平均值的作用.术平均值，而是加权平均值术平均值，而是加权平均值. 所销售商品的平均价格为所销售商品的平均价格为112212q pq pqq（元）（元）.1p设某商店销售某种商品，以每单位商品售价设某商店销售某种商品，以每单位商品售价 元，销元，销1q售了售了 个单位商品，调整价格以后再以每单位商品售价个单位商品，调整价格以后再以每单位商品售价2p2q 元，销售了元，销售了 个单位的商品，则在整个销售过程中，个单位的商品，则在整个销售过程中，这是能够反映销售水平的平均价格，称为售价的加权平这是能够反映销售水平的平均价格，称为售价的加权平均值，将均值，将 称为权数。

5、称为权数。12,q q112212nnnk yk yk ykkk为为 关于权数关于权数 的加权平均值。的加权平均值。12,ny yy12,nk kk一般，设一般，设 为实数，为实数， 称称12,ny yy12,0,nk kk 特别，当特别，当 时，加权平均值即为时，加权平均值即为11,2,ikin算术平均值。算术平均值。 dq tt如果用函数如果用函数 来反映商品一个时间段来反映商品一个时间段 内的内的12,t t p t q t销售价格的变化情况，函数销售价格的变化情况，函数 来反映单位时间内的来反映单位时间内的销售量，那么在小时间段销售量，那么在小时间段 内，销售量为内，销售量为,dt t

6、t而在整个时间段而在整个时间段 内，销售量为内，销售量为12,t t 21dttp t q tt在小时间段在小时间段 内，销售收入为内，销售收入为,dt tt dp t q tt 21dttq tt在整个时间段在整个时间段 内，销售收入为内，销售收入为12,t t 2121ddttttp t q ttpq tt则整个时间段则整个时间段 内，销售商品的平均价格为内，销售商品的平均价格为12,t t将此平均价格称为价格函数将此平均价格称为价格函数 关于权函数关于权函数 在时在时间间 p t q t12,t t区间区间 上的加权平均值。上的加权平均值。一般情况下，将一般情况下，将 ddbabaf x

7、 w xxfw xx称为函数称为函数 关于权函数关于权函数 在在 上的加权平均值。上的加权平均值。 f x w x, a b三、函数的均方根平均值三、函数的均方根平均值问题问题 非恒定电流（如正弦交流电）是随时间的变化非恒定电流（如正弦交流电）是随时间的变化而变化的，但一般我们所使用的非恒定电流的电器上却而变化的，但一般我们所使用的非恒定电流的电器上却标明着确定的电流值。这个电流是一种特定的平均值，标明着确定的电流值。这个电流是一种特定的平均值，习惯上称为有效值习惯上称为有效值. i trt如果在一个周期如果在一个周期 内，内， 在负荷电阻在负荷电阻 上消耗的平均上消耗的平均 i t 周期性非

8、恒定电流周期性非恒定电流 的有效值是这样规定的：的有效值是这样规定的：ir功率等于取固定值功率等于取固定值 的恒定电流在的恒定电流在 上消耗的功率时，上消耗的功率时，则称这个则称这个 值为值为 的有效值的有效值. i i t今来计算今来计算 的有效值的有效值. i t 固定值为固定值为 的电流在的电流在 上消耗的功率为上消耗的功率为ir2,i r 201d .tit r tt因此，因此， 222001dd ,ttri rit r titttt i tr 2,u t i tit r电流电流 在在 上消耗的功率为上消耗的功率为0,t它在它在 上的平均值为上的平均值为从而从而 2201d .tiittt即即 201d .tiittt 例如正弦波例如正弦波 的有效值为的有效值为 sinmi tit222222200sindsind22mmiit titt 2201sin.422mmiitt即：正弦交