微分几何第二章曲面论第四节直纹面和可展曲面

1、4 直纹面和可展曲面1.1.直纹面；直纹面；2.2.可展曲面可展曲面. .4.1 直纹面直纹面1.1.定义定义)(直直纹纹面面.叫叫做做直直纹纹面面由由一一族族直直线线生生成成的的曲曲面面.叫做直纹面的直母线叫做直纹面的直母线这族直线中的每一条都这族直线中的每一条都.面面的的导导线线都都相相交交的的曲曲线线叫叫做做直直纹纹直直纹纹面面上上和和所所有有直直母母线线直母线直母线)(C.纹纹面面例例如如：下下列列曲曲面面都都是是直直柱面柱面锥面锥面导线导线单单叶叶双双曲曲面面双双曲曲抛抛物物面面注注.1直线直线之外，还可能有其它的之外，还可能有其它的）直纹面上除了直母线）直纹面上除了直母线（.如如正

2、正螺螺面面的的轴轴.2直母线直母线）直纹面可能不只一族）直纹面可能不只一族（.如如以以上上两两个个曲曲面面.母线中的直线母线中的直线本书只限于讨论一族直本书只限于讨论一族直.)2(和和切切平平面面单单位位法法向向量量n),()(ubvuaru ),(ubrv bbvarrvu )(),(bbvba ：情情形形1,/bbba )(:)(uaaC 设设导导线线，的的直直母母线线上上的的单单位位向向量量上上点点是是过过导导线线)()()(uaCub)()(ubvuar .直直纹纹面面的的参参数数表表示示 2.2.参数表示参数表示3.3.性质与分类性质与分类坐标曲线坐标曲线)1(：常数常数曲线曲线)(

3、 uv直母线；直母线；：常数常数曲线曲线)( vu.导线的平行线导线的平行线直母线直母线)(C导线导线)(ua)(ubr.或或参参数数方方程程，即即0),( bba，沿同一条直母线移动时沿同一条直母线移动时当点当点Pvuvurrrrn .保持不变保持不变.个切平面个切平面沿同一条直母线有同一沿同一条直母线有同一：情情形形2,/bbba ，即即0),( bba，沿同一条直母线移动时沿同一条直母线移动时当点当点Pvuvurrrrn 发生转动，发生转动，.不唯一不唯一沿同一条直母线切平面沿同一条直母线切平面.)3( 高斯曲率高斯曲率直纹面的参数方程为直纹面的参数方程为)()(ubvuar ),()(

4、ubvuaru ),(ubrv ,bvaruu ,bruv , 0 vvr的的直直纹纹面面满满足足0),( bba叫做可展曲面；叫做可展曲面；的的直直纹纹面面满满足足0),( bba.叫做斜直纹面叫做斜直纹面nrLuu 2)()(FEGbbvbabva , nrMuv 2)(FEGbbvbab 2),(FEGbab nrNvv 0 22FEGMLNK ,)(),(222FEGbab 222)(),(FEGbbaK 即即. 0 ; 01 K，对于情形对于情形. 02 K，对于情形对于情形.)4(渐近曲线渐近曲线.它的渐近线它的渐近线直纹面上的直母线就是直纹面上的直母线就是vuvurrrrn 2)

5、(FEGbbvba .)5(腰曲线腰曲线定义定义)(Cll MM 0M 时时，当当0 u.0上的腰点上的腰点称为直母线称为直母线的极限位置的极限位置垂足垂足lMM.腰点的轨迹称为腰曲线腰点的轨迹称为腰曲线方程方程的的方方程程为为设设导导线线)(C直纹面的参数方程为直纹面的参数方程为)()(ubvuar ，)(uaa )(ua)(uua )()(ubvua )()()(uubvvuua )()()()()(ubvuauubvvuuaMM 则则)()()()()(ubvuubvvuauua )(uubvbva )(bbvbva 注注.面面部位“围绕着”这直纹部位“围绕着”这直纹腰曲线沿直纹面的狭窄

6、腰曲线沿直纹面的狭窄,bMM ),(bbMM .bMM 于是于是, 0)( bbbvbva, 0)( bbbvbbvba即即得：得：上式除以上式除以2)( u , 0)( ubbbuvububvubua0)( ub假设假设),0)(以以后后再再讨讨论论的的情情况况是是柱柱面面对对于于 ub上上式式取取极极限限得得：时时当当,0 u, 02 bvba,2bbav ：故故腰腰点点的的向向径径表表达达式式为为)()()()()(2ubububuauar .即腰曲线的方程即腰曲线的方程若取腰曲线为导线，若取腰曲线为导线，则则)(uar , 02 bba于于是是有有：腰曲线是导线腰曲线是导线. 0 ba

7、.ba 即即4.4.曲线的基本三棱形的三条棱产生的直纹面曲线的基本三棱形的三条棱产生的直纹面.线面线面的直纹面称为曲线的切的直纹面称为曲线的切一条曲线的切线所产生一条曲线的切线所产生)(如图如图)(C：曲线曲线)(C)(uaa 的切线面方程为：的切线面方程为：)()(uavuar .称称为为曲曲线线的的主主法法线线曲曲面面生生的的直直纹纹面面一一条条曲曲线线的的主主法法线线所所产产.称称为为曲曲线线的的副副法法线线曲曲面面生生的的直直纹纹面面一一条条曲曲线线的的副副法法线线所所产产的主法线曲面为的主法线曲面为圆柱螺线圆柱螺线,sin,cos baar ,sin,cosbvvuvur 正正螺螺面

8、面).(同学自证同学自证4.2 可展曲面可展曲面可可展展曲曲面面及及其其分分类类一一.定义定义)(可可展展曲曲面面)()(ubvuar 直直纹纹面面，若若满满足足0),( bba则称为可展曲面则称为可展曲面.或称曲面可展或称曲面可展命题命题1 1每一个可展曲面每一个可展曲面或是柱面，或是柱面， 或是锥面，或是锥面， 或是一条曲线或是一条曲线.可展曲面可展曲面反之，这三类曲面均为反之，这三类曲面均为.的的切切线线面面证：证：，设设可可展展曲曲面面为为)()(ubvuar ，则有则有0),( bba取腰曲线为导线，取腰曲线为导线，于于是是有有0 ba)(i时，时，当当0 a常向量，常向量， )(u

9、a点点，这这表表示示腰腰曲曲线线退退化化为为一一.即可展曲面为锥面即可展曲面为锥面)(ii时，时，当当0 b常常向向量量， )(ub行，行，所有的直母线都互相平所有的直母线都互相平.即可展曲面为柱面即可展曲面为柱面)(iii时，时，当当0, 0 ba，0),( bba，0 ba, 1bbb 并且并且，ba/ ,直母线是导线的切线直母线是导线的切线这时这时,线的切线构成的线的切线构成的从而可展曲面可视为导从而可展曲面可视为导.即可展曲面为切线面即可展曲面为切线面.,为可展曲面为可展曲面可以证明这三类曲面均可以证明这三类曲面均反之反之（留做习题）（留做习题）注注.,1或其一部分或其一部分切线面都可

10、能是平面切线面都可能是平面锥面锥面）上面所说的柱面）上面所说的柱面（了腰曲线为导线，了腰曲线为导线，）在上面的证明中，取）在上面的证明中，取（2.108107PP 第第四四版版任任微微分分几几何何讲讲义义一一般般的的证证明明可可参参见见吴吴大大面面族族的的包包络络可可展展曲曲面面作作为为单单参参数数平平二二.单单参参数数曲曲面面族族的的包包络络. 10),( zyxF.S表示一张曲面表示一张曲面0),( zyxF)( 是参数是参数 . S表示一族曲面表示一族曲面.称为单参数曲面族称为单参数曲面族.0),(导数导数具有一阶与二阶连续偏具有一阶与二阶连续偏假定假定 zyxF定义定义是一个单参数曲面

11、族，是一个单参数曲面族，设设 S是一张曲面，是一张曲面，S若若,)( SPSPi 相相切切在在点点与与且且PSS .,)(相切相切在点在点与与 PSSSPii .的的包包络络（面面）为为单单参参数数曲曲面面族族则则称称曲曲面面 SS注注.1一一定定有有包包络络）一一个个单单参参数数曲曲面面族族不不（.如平行平面族无包络如平行平面族无包络是某个曲面族的包络，是某个曲面族的包络，）一个空间曲面不一定）一个空间曲面不一定（2即使是，即使是，族的包络，族的包络，也不一定是单参数曲面也不一定是单参数曲面.包包络络可可能能是是双双参参数数曲曲面面族族的的来决定，来决定，如一个曲面由两个参数如一个曲面由两个

12、参数切平面，切平面，曲面在每一个点有一个曲面在每一个点有一个参数，参数，这个切平面依赖于两个这个切平面依赖于两个.数数切切平平面面族族的的包包络络因因此此曲曲面面可可以以看看作作双双参参但但是是可可展展曲曲面面则则不不同同，.族的包络族的包络它可以看作单参数平面它可以看作单参数平面.曲面的区别曲面的区别这正是可展曲面与一般这正是可展曲面与一般命题命题, 0),( zyxFS的方程为的方程为设单参数曲面族设单参数曲面族,0,的的连连续续函函数数是是不不全全为为且且zyxFFF，存在包络存在包络若曲面族若曲面族SS 的的方方程程则则其其包包络络S可由方程组可由方程组 0),(0),( zyxFzy

13、xF. 0),( zyx 而得而得消去参数消去参数证：证：，存在包络存在包络若曲面族若曲面族SS 由包络的定义，由包络的定义，对对SzyxP ),(, , SP 的一个确定值，的一个确定值，上每一个点对应于上每一个点对应于即对包络即对包络 S),(),(zyxzyxS 的函数的函数上点的坐标上点的坐标为为因而因而得：得：的方程的方程代入代入0),( zyxFS0),(, zyxzyxF .,上式为恒等式上式为恒等式上的点上的点对于对于S),()(trrCS ：上上任任取取一一条条曲曲线线其其次次在在包包络络即即,)()()(321etzetyetxr ,)1()(式式上点的坐标也应满足上点的坐

14、标也应满足曲线曲线 C必有恒等式：必有恒等式：0)(),(),(),( ttztytxF )1(求导得：求导得：对对t, 0 dtdFdtdzFdtdyFdtdxFzyx )2(,)(PC 上上取取一一点点在在曲曲线线,点点有有相相同同的的切切平平面面在在与与由由于于PSS 点点的的法法线线垂垂直直，在在点点的的切切线线和和在在曲曲线线PSPC )(点点的的法法向向量量，在在是是曲曲面面而而PSFFFzyx ,),()(,trPCdtdzdtdydtdx 点点的的切切向向量量在在是是曲曲线线, 0 dtdzFdtdyFdtdxFzyx式比较得：式比较得：与与 )2(, 0 dtdF .上每一条

15、曲线都成立上每一条曲线都成立上式对包络上式对包络S),(CS上上适适当当选选择择曲曲线线因因而而可可在在包包络络, 0 dtd 使使得得因此因此, 0 F即即, 0),( zyxF上上的的点点满满足足方方程程组组包包络络S,0),(0),( zyxFzyxF)3(),(,zyxS上上每每一一点点对对包包络络换换言言之之，可可以以找找到到这这样样的的值值 (3).,满足方程组满足方程组使得四个数使得四个数 zyx得得方方程程消消去去从从方方程程组组,(3) . 0),( zyx , S这个方程表示一个曲面这个方程表示一个曲面.的判别曲面的判别曲面叫做曲面族叫做曲面族 S. SS以上证明了以上证明

16、了.SS 下下证证都都满满足足上上的的每每一一点点判判别别曲曲面面),(zyxPS ,0),(0),( zyxFzyxF中的某个曲面上，中的某个曲面上，因而都在曲面族因而都在曲面族 S从而满足第一式，从而满足第一式，满足满足使得使得),(,zyxP , 0),( zyxF:)(CPS任任取取一一条条曲曲线线上上过过点点在在判判别别曲曲面面 ,)()()(321etzetyetxr ,0),(得得代入代入 zyxF0)(),(),(),( ttztytxF 求导得：求导得：对对t, 0 dtdFdtdzFdtdyFdtdxFzyx 的的第第二二式式还还满满足足上上点点判判别别曲曲面面又又)3()

17、,(zyxPS , 0),( zyxF, 0 dtdzFdtdyFdtdxFzyx点点的的切切向向量量垂垂直直，在在上上的的曲曲线线点点的的法法线线和和在在即即PCSPS)( 任意取的一条曲线，任意取的一条曲线，上过点上过点是在是在但曲线但曲线PSC )(点相切，点相切，在在与与PSS 上的点，上的点，上的点也是上的点也是此示此示SS .SS 即即.SS 定义定义的的点点上上满满足足：曲曲面面00),( zyxFFFzyxFS.叫叫做做曲曲面面的的奇奇点点注注：就就是是曲曲线线族族包包络络)( CS 0),(0),( zyxFzyxF.的轨迹的轨迹S)( C S特特征征线线特特征征线线方方程程

18、单单参参数数平平面面族族的的包包络络. 2，对对于于单单参参数数曲曲面面族族 S.就称为单参数平面族就称为单参数平面族为平面，为平面，如果其中每一个曲面均如果其中每一个曲面均，记作记作 命题命题为为一一单单参参数数平平面面族族，设设0)()()()(: DzCyBxA，存存在在包包络络若若平平面面族族S 的的方方程程则则其其包包络络S可由方程组可由方程组.而得而得消去参数消去参数 0)()()()(0)()()()( DzCyBxADzCyBxA命题命题2 2证：证：.络络它是单参数平面族的包它是单参数平面族的包一个曲面是可展曲面一个曲面是可展曲面 ),()(ubvuarS 是是可可展展曲曲面

19、面：若若曲曲面面一的切平面，一的切平面，则沿每一条直母线有唯则沿每一条直母线有唯，而且只依赖于参数而且只依赖于参数u处处的的切切平平面面在在任任一一点点从从而而),(vuS有关，有关，只与只与u面面族族，的的切切平平面面族族为为单单参参数数平平即即S.的包络的包络即为此单参数切平面族即为此单参数切平面族显然显然S的的包包络络，为为单单参参数数平平面面族族若若曲曲面面0)()()()(: DzCyBxAS的方程的方程则则S可由方程组可由方程组.而得而得消去参数消去参数 0)()()()(0)()()()( DzCyBxADzCyBxA.而得而得数数的特征直线方程消去参的特征直线方程消去参即由即由

20、 S.是是直直纹纹面面因因此此S.是特征直线的轨迹是特征直线的轨迹S),(即直母线即直母线且沿每一条特征直线且沿每一条特征直线, 的切平面为的切平面为S, 的的切切平平面面唯唯一一即即沿沿每每一一条条直直母母线线 S.是可展曲面是可展曲面S征征可可展展曲曲面面的的几几个个重重要要特特三三.命题命题3 3证：证：. 0 KS是是可可展展曲曲面面曲曲面面是可展曲面，是可展曲面，若曲面若曲面S,固定固定法向量法向量则沿同一条直母线单位则沿同一条直母线单位n. 0 nd即即为为直直母母线线的的方方向向，设设 rd. rdnd 则则)0( 由由罗罗德德里里格格定定理理，向，向，沿直母线的方向是主方沿直母

21、线的方向是主方),0(012 kk或或并并且且主主曲曲率率 . 021 kkK，若若021 kkK, 02 k不不妨妨设设向向又又是是渐渐近近方方向向，所所对对应应的的方方向向既既是是主主方方则则2k近近曲曲线线又又是是曲曲率率线线，对对应应方方向向的的曲曲线线既既是是渐渐沿沿2k),(d为为设这族渐近曲线的方向设这族渐近曲线的方向由由罗罗德德里里格格定定理理，, 02 rdknd,常常向向量量沿沿渐渐近近曲曲线线是是n, 0 rdn又又得得：沿沿渐渐近近曲曲线线对对上上式式积积分分,常数常数 rn定定点点，是是此此渐渐近近曲曲线线上上一一个个固固设设)(00rP是是其其上上任任一一点点，)(

22、rP则由以上结果有：则由以上结果有：,0rnrn , 0)(0 rrn即即的的切切平平面面上上，必必在在曲曲面面于于点点点点从从而而此此渐渐近近曲曲线线上上任任一一0PP渐渐近近曲曲线线为为平平面面曲曲线线，.它有唯一的密切平面它有唯一的密切平面,由由渐渐近近曲曲线线的的几几何何特特征征.平面平面沿渐近曲线有唯一的切沿渐近曲线有唯一的切曲面曲面S，是单参数平面族的包络是单参数平面族的包络S.从而是可展曲面从而是可展曲面命题命题4 4证：证：.与平面成等距对应与平面成等距对应是可展曲面是可展曲面曲面曲面SS与平面成等距对应，与平面成等距对应，若曲面若曲面S换下不变换下不变由于高斯曲率在等距变由于

23、高斯曲率在等距变(见见5.2定理定理2），），高斯曲率，高斯曲率，的高斯曲率等于平面的的高斯曲率等于平面的曲面曲面S, 0 K平面的高斯曲率平面的高斯曲率, 0 KS的的高高斯斯曲曲率率曲曲面面.3为为可可展展曲曲面面，曲曲面面由由命命题题S为为可可展展曲曲面面，若若曲曲面面S,我我们们将将证证明明,适当选择参数后适当选择参数后.本形式本形式与平面有相同的第一基与平面有相同的第一基曲面曲面S.第第一一基基本本形形式式为为此此，我我们们先先求求平平面面的的的第一基本形式为的第一基本形式为在直角坐标系下，平面在直角坐标系下，平面22dydxI 在极坐标系下，在极坐标系下，作作参参数数变变换换 sin,cos yx，则则 dddydddxcossin,sincos 代入上式整理得，代入上式整理得， 在极坐标系下，在极坐标系下， 平面的第一基本形式为平面的第一基本形式为222 ddI 柱面：柱面：)1(其方程可以表为其方程可以表为bvsar )(量，量，为柱面母线的单位常向为柱面母线的单位常向其中其中b.)(条曲线条曲线是与柱面母线正交的一是与柱面母线正交的一saa 于是于是, ars,brv , 122 srE, 0 vsrrF, 122 brGv柱面的第一基本形式为柱面的第一基本形式为22dvdsI ，令令vys