第6章方差分析2

1、第三节 两因素方差分析两因素方差分析是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的方差分析。若试验考察因素 a和 b，a因素分 a 个水平，b因素分 b 个水平。两者交叉搭配形成 ab 个水平组合即处理。试验分为无重复观测值和有重复观测值两种类型。 一、无重复观测值的二因素方差分析对于 a和 b两个试验因素的全部 ab个水平组合，每个水平组合只有一个观测值， 全试验共有 ab 个观测值，其数据模式如下表。两因素单独观测值试验数据模式处理因素b总和 平均数aaaaaibjijaiijjniijbjjijibjijixxxaxxxxbxxx11.1.11.1.,1,1,abxxaibjij/.11表中两

2、因素方差分析观测值的线性模型：上式中，和分别为ai和bj的效应:=-, =-,和分别为a和b观测值总体平均数，且 =0; 为随机误差，相互独立，且服从(0,2)。 ), 2 , 1;, 2 , 1(bjaixijjiij交叉分组两因素无重复观测值的试验，全部 ab 个观测值的总变异可以分解为 a 因素水平间变异、b 因素水平间变异及试验误差三部分；自由度也相应分解。平方和与自由度的分解式如下： ebatebatdfdfdfdfssssssss各项平方和与自由度的计算公式为:矫正数 总平方和 a因素平方和 b因素平方和abtabxc22./cxxxssaibjijaibjijt11221.1)(

3、cxbxxbssaiiaiia12.2.1.1)(cxaxxassbjjbjjb12.2.1.1)(总自由度 a因素自由度 b因素自由度 误差自由度 =(a-1)(b-1)各项方差分别为：eeeebbbbaaaadfssmssdfssmssdfssmss/,/,/222 无重复观测值的二因素方差分析表变异来源期望方差a因素b因素误差总变异例:将一种生长激素配成 m1, m2, m3, m4, m5五种浓度，并用 h1, h2, h3三种时间浸渍某大豆的种子，出苗 45天后得各处理每株的平均干物重(g)如下表。试作方差分析与多重比较。 本例是了解激素和时间的效应，故为个固定因素，适用于固定模型。

4、方差分析如下：激素处理对大豆干物重的影响浓度a时间b总和 ti. 平均数h1h2h3m1m2m3m4m51312 310 21412 3 9 51413 310 441 37 9 291113.6712.33 3.00 9.67 3.67t.j404344127x.j 8.0 8.6 8.8 8.47(1)平方和计算:27.10753512722abtc73. 127.1075)444340(51106.28927.10753)113741(173.29527.1075414132222.2222.2222cxasscxbsscxssjbiaijt94. 473. 106.28973.295b

5、atessssssss8241421314151141351batebatdfdfdfdfbdfadfabdf(2)自由度的计算(3)列出方差分析表，进行f检验:激素处理对大豆干物重影响的方差分析表f检验表明: 浓度间的f值大于f0.01 ，时间间的f值未达到显著水平，表明不同浓度对大豆干物重有极显著差异。变异来源浓度间(a)时间间(b)误差428289.06 1.73 4.9472.27 0.87 0.62116.56* 1.403.844.467.018.65总变异14 295.73(4)进行多重比较(用ssr法)：由于只有浓度间达到了极显著水平，只需对5种浓度进行多重比较，浓度间的平均标

6、准误均为( b=3为每一浓度的观测值数)：查附表8，当 df=8，m=2,3,4,5时的ssr值及lsr值列表：455. 0362. 02bssex大豆干物重多重比较的ssr值及lsr值列表m2345ssr0.05ssr0.01lsr0.05lsr0.013.264.751.482.163.404.941.552.253.485.061.582.303.525.141.602.34大豆干物重平均数间差异显著性检验多重比较后表明：5种激素浓度对大豆干物重的影响有着极显著的差异，除 m1与 m2，m5 与 m3 无显著差异外，均达到显著水平。地区平均数差异显著性=0.05=0.01m1m2m4m5

7、m313.6712.339.673.673.00aa b c caa b c c(二) 具有重复观测值的两因素方差分析如果存在两因素的互作，方差分析就不能用互作来估计误差，必须在有重复观测值的情况下对试验误差进行估计。设 与 两因素分别具有 a与 个水平，共有 a 个水平组合，每个水平组合有次重复，则全试验共有 个观测值。这类试验结果的数据模式如下表所示（p98表）。两因素有重复观测值试验数据模式n见p98表6-23具有重复观测值的二因素分组资料。方差分析可用线性模型描述：其中，为总平均数；i为), 2 , 1;, 2 , 1;, 2 , 1()(nkbjaixijkijjiijk试验的总次数

8、为 次。方差分析步骤和前面介绍相似。只有 f 检验的方法不同。nibjaibjijijijaibjji1111110)()()(是随机误差，彼此独立且服从（0,2）。平方和与自由度的分解：矫正数总平方和与自由度水平组合平方和与自由度因素平方和与自由度abntabnxc22.12abndfcxsstijlt，)1)(1(12.badfcxnssabijab，11)(2.2adfcxbnxxbnssaiia，11)(2.2bdfcxanxxanssbjjb，因素平方和与自由度组内平方和与自由度)1(,)(2 nabdfssssssssxxsseabbatijijne其中，为 因素与 因素交互作用平

9、方和与自由度。各项方差为： eabbateabbatdfdfdfdfdfsssssssssseeeeababababbbbbaaaadfssmssdfssmssdfssmssdfssmss2222检验：实际应用时多用固定模型固定模型中，、及() 均为固定效应。 检验时， 因素、 因素和互作项均以2e作为分母。变异来源固定模型期望方差因素a因素bab误差2+22+22+ 22【例】光照(a)温度(b)25 30355h/d143138120107101100 80 83 89 93101 7610h/d 96103 78 91 79 61 83 59 80 76 61 6715h/d 79 83

10、 96 98 60 71 78 64 67 58 71 83本例中，由于温度和光照条件都是人为控制的，为固定因素，可依据固定模型分析。将表数减去80，并整理如下表。因素含量分3个水平，即a=3； 因素含 量 分 3 个 水 平 ， 即= 3 ； 共 有ab=33=9个水平组合；每个水平组合重复数 =4；全试验共有=334=36个观测值。光照(a)温度(b)25 30355h/d12346358402721200391321-4271188443910h/d12341623-211-1-193-210-4-19-13-2648-38-3615h/d1234-131618-20-9-2-16-13

11、-22-93-5236-47-41272-41-38t=193平方和与自由度69.103443319322abntc56.1452469.1034)35863(2222cxsst03.536769.1034)52()26(27143112222.ctbnssia94.46406.539103.536769.1034)41(441884112222baababssssctnss06.539169.1034)38()41(27243112222.ctanssjb81331351433125.330394.46406.539103.536731.14526abdfabndfssssssssssabt

12、abbate27) 14(33) 1(4) 13)(13() 1)(1(21312131nabdfbadfbdfadfeabba列出方差分析表，进行 检验表明，不同温度和光照间的差异极显著，即影响温度和光照，与二者互作关系不大。变异来源光照间温度间光照温度误差224275367.035391.06 464.943303.252683.522695.53 116.24 122.3421.94*22.03 *0.953.353.352.735.495.494.11各种光照和温度对的影响进行多重比较：光照间温度间195.10)43/(34.122/2bnssex195.10)43/(34.122/2anssex第五节 数据转换前面介绍的几种试验资料的方差分析法，尽管其数学模型的具体表达式有所不同，但以下三点却是共同的。 1、效应的可加性2、分布的正态性 是指所有试验误差是相互独立的，且都服从正态分布 (0，)。只有在这样的条件下才能进行最常见的一种情况是处理平均数和均方有一定关系(如二项分布资料，平均数 ,均方 ；泊松分布资料的平均数与方差相等 )。对这类资料不能直接进行方差分析，而因考虑采用非参数方法