元二次方程的四种解法

1、一元二次方程的解法(1) 一元二次方程的概念一、考点、热点回顾1、一元二次方程必须同时满足的三个条件：(1) 2、一元二次方程的一般形式：二、典型例题例1:判断下列方程是否为一元二次方程： x x 1 x 1 x 2x3y0 x 3 (x 1)( x 4)ax2 bx c 0mx2 0 (m是不为零常数)例2: 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.(x 2)23 (x 3)(x 3)0例3:当m时，关于x的方程(m+2 x|m| +3mx+仁C是一元二次方程。三、课堂练习1、 下列方程中，关于x的一元二次方程是()2 1 1A3(x 1)22(x 1)2 0x y2 2 2C.ax

2、bx c 0 D.x 2x x 12、用换元法解方程(x2+x)2+ (x2 + x) = 6时，如果设x2 + x= y,那么原方程可变形为()A、y + y 60B、 y 6 02C、 y y + 6 02D 、y + y + 6 03、已知两数的积是12,这两数的平方和是25,以这两数为根的一元二次方程是4、已知关于x的一元二次方程x2 (k 1)x 6 0的一个根是2,求k的值.四、课后练习1. 将方程3x( x 1 )5( x 2)化成一元二次方程的一般形式，得 ；其中二次项系数是； 一次项系数是；常数项是 .2. 方程(k 4)x2 5x 2k 30是一元二次方程，则k就满足的条件

3、是.3. 已知m是方程x2-x-2=0的一个根，则代数式n1-m=4. 在一幅长80cm宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm,设金色纸边的宽为xcm，则x满足的方程是()(A) x2130x14000(B) x2 65 x 350 0(C) x2130x140002(D) x 65x35005.关于x的方程(m 3)x2nx m 0，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一兀一次方程?(2) -直接开方法一、考点、热点回顾直接1、了解形如x2=a(a 0)或(x + h) 2= k(k 0)的一元二次方程的解法 开平方法小结：如

4、果一个一元二次方程具有(X m)2 n( n 0)的形式，那么就可以 用直接开平方法求解。(用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的 左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯)【复习回顾】1.方程(k 4) x2 5x 2k 30是一元二次方程，则k就满足的条件是.2. 若(a+1) x2+(x-1) 2=0 二次项的系数为-2,贝U a 二、典型例题例1:解下列方程：2 2(1) x = 2(2) 4x - 1 = 0例2、解下列方程：(x 1)22(x 1)240 12(3 x)230推荐例3:用直接开平方法解下列方程/八122222(1) 3x 115 0(2)

5、x 34 2x 1(3) x22ax a2 b 04三、课堂练习1. 若方程(x-4 ) 2=m-6可用直接开平方法解，则m的取值范围是()A. m 6 B . m o C . m 6 D . m=62. 方程(1-x ) 2=2的根是()、3 、-3 2、1+.2 、2、 . 2 +13. 方程(3x 1)2=- 5的解是。4. 用直接开平方法解下列方程：(1)4x 2=9;(2)(x+2) 2=16(3)(2x-1) 2=3；(4)3(2x+1)2=122(5)四、课后练习1、 4的平方根是，方程x2 4的解是.2 23、当x取2、方程 x 11的根是 方程4 x 11的根是.时，代数式x

6、2 5的值是2;若x2.810,则x =4、关于x的方程3x2k 1 0若能用直接开平方法来解，则k的取值范围是C 、k 15、解下列方程:(1)2x21039(2)5x(3)x 5 x 、. 5(4)128 00.5y2-03(6)24x26已知一个等腰三角形的两边是方程 4 (x 10)2 0的两根，求等腰三角形的面积(3) -配方法一、考点、热点回顾1、 经历探究将一元二次方程的一般式转化为(x + h)= k (n0)形式的过程,进一步理解配方法的意义；2、填空:(1) x2+6x+=(x+ )2； (2)x 2-2x+=(x-)2x 2-5x+=(x-)2 2；(4)x +x+=(x

7、+ )2(5)x 2+px+=(x+ )23、将方程x2+2x-3=0化为(x+h) 2=k的形式为;小结1:用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、把常数项移到方程右边；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；3、利用直接开平方法解之。小结2:当一元二次方程二次项系数不为 1时，用配方法解方程的步骤：二次项系数化为1;移项；直接开平方法求解.二、典型例题例1 :将下列各进行配方： x2 + 10x+= (x + 2 x2 6x += (x) x2 - 5x +4例2 :解下列方程: x2 +bx +(x + ) 2(1)x2 4x 30(2)2x 3x 1推荐例3:用

8、配方法解下列关于x的方程:(1)x1 2 10 x 19 0(2)x226ax 9a4b2例4:例1解方程：2x2 5x 23x24x例5、一个小球垂直向上抛的过程中,它离上抛点的距离h( m与抛出后小球运动的时间t(s)有如下关系：h 24t5t2。经过多少秒后，小球离上抛点的高度是 16m？推荐例6:求证：对任意实数x，代数式x2 4x 4.5的值恒大于零。三、课堂练习1.完成下列配方过程:2(1) x +8x+=(x+)(2) x2-x+=(x-_ )2(3) x +4=(x+)9 /、2=(x-)42. 若 x2-mx+ 49 =(x+ Z )2,贝U m的值为(255a. 77553

9、. 用配方法解下列方程：(4) x2-+C.145D.-1452+3x-2=0;2(1)x -6x-16=0 ;(3)x 2+2 . 3 x-4=0 ;(4)x4.已知直角三角形的三边222_c-x- =0.33且两直角边a、b满足等式c的值。(a2+b2)2-2(a 2+b2)-15=0，求斜边5. 用配方法解方程2y2- 5y=1时，方程的两边都应加上()A 0 时，当 b2-4ac=0 时，当 b2-4ac v 0 时，二、典型例题例1:解下列方程：2 2(1)x 3x 20;(2)2x 7x 4变式：1、解方程：(1)2x(x 1)3;(2)x21 x( 2、5x).例2:解下列方程:

10、(1)X2 x 1 0;(2)x2 2.3x 3 0;(3)2x2 2x 1 0.例3:不解方程，判别下列方程根的情况.(1) 2x2+3x+4=0;(2) 2x2-5=6x ;(3) 4x(x-1)-3=0 ;(4) x2+5=2.5x.题变：1、试说明关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0必定有两个不相等的实数根.推荐例4：当k为何值时，关于x的方程kx2( 2k + 1) x + k+ 3 = 0有两个不 相等的实数根？题变：1、已知一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求 的取值范围.三、随堂练习1. 把方程(2x-1)(x+3)=x 2+1

11、化为 ax2 + bx + c = 0 的形式，b2-4ac=方程的根是.2. 方程(x-1)(x-3)=2 的根是()A. Xi=1,X2=3=2 2 .3 =2.3=-22,33. 关于x的一元二次方程x2+4x-m=0的一个根是.5 -2，则m ，方程的另一个根是2(3) 2x -3x-2=0 ;(4) 3x(3x-2)+1=0.4.右取简二次根式-1 -1 1 08. 要使关于x的方程kx2-4x+3=0有实数根，则k应满足的条件是()A. k V 4/3 4/3 4/39. 已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m n的值可以是 m= ,n=.10. 不解方

12、程，判断下列方程根的情况：(1) 3x2 x + 1 = 3x (2) 5 (x2 + 1) = 7x(3) 3x2 4、- 3 x = 411. 解下列方程：2 2(1)x2 6x 0;(2)x212x2702(3)2y y 50;2(4)x 6x 160四、课后练习1. 用公式法解方程、2 x2+4,3 x=2,2 ,其中求的b2-4ac的值是(B. 4 C.32,方程的根2. 用 公式法解方程x2=-8x-15 ,其中b2-4ac=是.。3. 用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正确的是()12.144122B.=12.144 122C.=12 一 144 122D.=12 一

13、1444864.三角形两边长分别是3和5,第三边的长是方程3x2-10x-8=0的根，贝吐匕三角形是三角形.5. 如果分式x2x 2的值为零，那么x=.x 16. 用公式法解下列方程：(1) 3y 2-y-2 = 0 2 x2+1 =3x2(3)4x -3x-1=x-2 3x(x-3)= 2(x-1)(x+1)7. 下列方程中，没有实数根的方程式()=9=3(4x-1)(x+1)=1+6y+7=08. 方程ax2+bx+c=0(a工0)有实数根，那么总成立的式子是(2 0B. b-4ac v 02 2C. b -4ac 0k= .9. 如果方程9x2-(k+6)x+k+仁0有两个相等的实数根，

14、那么(4)-因式分解法一、考点、热点回顾应用回顾：下列哪些方法能用因式分解法解(1)x2 2x 0(x-3)2 (x 3)02(3) x 1 2(x 1)11(4) x290小结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：1 .将方程的右边化为02 将方程左边因式分解.3 .把原来的一元二次方程转化为两个一元一次方程.4 .分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根二、典型例题例1:用因式分解法解方程：2(1) x 4x (2) x 3 x(x 3)0例2:解方程(2x 1)2 x20三、随堂练习1. 如果方程x2-3x+c=0有一个根为1,那么c=，该方程的另一根为 该方程可化为（x-1 ）

15、（ x） =02. 方程x2=x的根为（）=0 B. xi=0,X2=1C. Xi=0,X2二1 D. Xi=0,X2=23. 用因式分解法解下列方程：（1）（x+2）2=3x+6;（ 2）（ 3x+2） 2-4x2=0;2 2（3）5（ 2x-1）=（1-2x）（x+3） ;（ 4）2（x-3）+（3x-x ）=0.4. 用适当方法解下列方程：（1）（ 3x-1）2=1;（ 2）2（x+1） 2=x2-1 ;（3）（2x-1） 2+2（2x-1）=3 ;（ 4）（y+3） （ 1-3y）=1+2,四、课后训练1下面哪个方程用因式分解法解比较简便（1） x2 2x 50 （2）（2x 1）210.2. 已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（）3A.只有一个根x=-B.只有一个根x=043 3C.有两个根X1=0,x 2=D.有两个根X1=0,x 2=-4 43. 如果（x-1）（x+2）=0 ，那么以下结论正确的是（）=1 或 x=-2B.必须 x=1=2 或 x=-1D.必须 x=1 且 x=-24. 方程（x+1） 2=x+1的正确解法是（）A.化为 x+1=1B.化为（x+