椭圆的简单几何性质系列

1、椭圆的定义椭圆的定义图形图形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标 a,b,c的关系的关系 焦点位置的焦点位置的判断判断122 (220)MFMFaac 22200(,)acb acab22221 0 xyabab22221 0yxabab12yoFFMx1oFyx2FMcabM椭圆椭圆 简单的几何性质简单的几何性质12222byax范围：范围：, 122ax得：得：122 by -axa, -byb 椭圆落在椭圆落在x=a,y= b组成的矩形中（如图）组成的矩形中（如图） oyB2B1A1A2F1F2cab1. 观察：观察：x,y的范围？的范围？2. 思考：如何用代数思考：如何用代数方法解释方法解

2、释x,y的范围？的范围？ -axa, -byb 一一.范围范围二、椭圆的顶点二、椭圆的顶点22221(0)，xyabab在中令令 x=0 x=0，得，得 y=y=？，？，说明椭圆与说明椭圆与 y轴的交点（轴的交点（ ），）， 令令 y=0y=0，得，得 x=x=？, , 说明椭圆与说明椭圆与 x轴的交点（轴的交点（ ）。）。* *顶点顶点：椭圆与它的对称椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。顶点。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0, ba, 0* *长轴长轴、短轴短轴： 线段线段A A1 1A A2 2、B B1 1B B2 2分别叫做椭圆

3、的分别叫做椭圆的长轴和短轴。长轴和短轴。a a、b b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半长半轴长轴长和和短半轴长短半轴长。焦点总在长轴上焦点总在长轴上! !三三.椭圆的对称性椭圆的对称性YXOP1（-x，y）P2（-x，-y）P3（-x，-y）P（x，y） 把把(X)换成换成(-X),方程不变方程不变,说明椭圆关于说明椭圆关于( )轴对称；轴对称； 把把(Y)换成换成(-Y),方程不变方程不变,说明椭圆关于说明椭圆关于( )轴对称；轴对称； 把把(X)换成换成(-X), (Y)换成换成(-Y),方程还是不变方程还是不变,说明椭圆关说明椭圆关于于( )对称；对称；Y X 原点原点 所以，所以，坐标

4、轴是椭圆的坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称轴，原点是椭圆的对称中心。椭圆的对称中心。123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x练习：根据前面所学有关知识画出下列图形练习：根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 四、椭圆的离心率四、椭圆的离心率ace 离心率：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。11离心率的取值范围：离心率的取值范围：1 1）e e 越接近越接近 1

5、1，c c 就越接近就越接近 a a，从而，从而 b b就越小，就越小，椭圆就越扁椭圆就越扁因为因为 a c 0a c 0，所以，所以0e 10e b)(ab)cea知识归纳知识归纳a2=b2+c2 ) 0(ba，标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率 a a、b b、c c的的关系关系22221(0)xyabab关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a, ,短半轴短半轴长为长为b. b. (a

6、b)(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)(b,0)、(-b,0)(-b,0)、(0,a)(0,a)、(0,-a)(0,-a)(0 , c)(0 , c)、(0, -c)(0, -c)关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称长半轴长为长半轴长为a a, ,短半轴短半轴长为长为b.b.(ab)(ab)cea-a x a, - b y b-a y a, - b x b-a y a, - b x ba2=b2+c2 ) 0(baa2=b2+c2) 0(ba)5,0(),5,0(21FF例题例题1:1: 求椭圆求椭圆 9 x9 x2 2 +

7、 4y+ 4y2 2 =36 =36的长轴和短轴的的长轴和短轴的长、离心长、离心 率、焦点和顶点坐标。率、焦点和顶点坐标。椭圆的长轴长是椭圆的长轴长是: :离心率离心率: :焦点坐标是焦点坐标是: :四个顶点坐标是四个顶点坐标是: :)3 , 0(),3, 0(),0 , 2(),0 , 2(2121BBAA椭圆的短轴长是椭圆的短轴长是:2a=62b=435ace解题步骤：解题步骤：1 1、将椭圆方程转化为标准方程求、将椭圆方程转化为标准方程求a a、b b：2 2、确定焦点的位置和长轴的位置、确定焦点的位置和长轴的位置.解：把已知方程化成标准方程解：把已知方程化成标准方程19422yx四、例

8、题讲解：四、例题讲解：549,2,3cba练习练习: :求椭圆求椭圆 16 x16 x2 2 + 25y+ 25y2 2 =400 =400的长轴和的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。解：把已知方程化成标准方程解：把已知方程化成标准方程1452222yx31625,4,5cba椭圆的长轴长是椭圆的长轴长是: :离心率离心率: :6.053ace焦点坐标是焦点坐标是: :)0,3(),0,3(21FF四个顶点坐标是四个顶点坐标是: :)4,0(),4,0(),0 , 5(),0 , 5(2121BBAA椭圆的短轴长是椭圆的短轴长是: :2a=102b=8例

9、例2:2: 求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1 1）经过点）经过点（-3-3，0 0）、）、（0 0，-2-2）；）；22194xy22194xy解：解： 方法一：方法一：设椭圆方程为设椭圆方程为mxmx2 2nyny2 21 1（m m0 0，n n0 0，mnmn），），将点的坐标代入方程，求出将点的坐标代入方程，求出m m1/9,n1/9,n1/41/4。所以椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程为 方法二：方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在圆与坐标轴的交点就是椭

10、圆的顶点，于是焦点在x x轴上，轴上，且点且点P P、Q Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a a3 3，b b2 2，所以椭圆的标准方程为，所以椭圆的标准方程为 （2 2）离心率为）离心率为 ，经过点（，经过点（2,02,0）23练习：练习： 椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程02，A分析：分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置 椭圆的标准方程为： ；11422yx椭圆的标准方程为： ；116422yx解：解：（1）当 为长轴端点时， ， ， 2a1b02，A（2）当 为短轴端点时， , ， 2b4a02，A综上所述，椭圆的

11、标准方程是 或 11422yx116422yx标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率 a a、b b、c c的关的关系系22221(0)xyabab关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a, ,短半轴短半轴长为长为b. b. (ab)(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴

12、成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称长半轴长为长半轴长为a a, ,短半轴短半轴长为长为b.b.(ab)(ab)cea-a x a, - b y b-a y a, - b x ba2=b2+c2 ) 0(baa2=b2+c2) 0(ba二.离心率的常见题型及解法 题型一：定义法 例1.已知椭圆方程为 + =1，求椭圆的离心率；162x82y1.1.直接算出直接算出a a、c c带公式求带公式求e eF2(c,0)xoyF1(-c,0)Pca2.2.几何意义：几何意义：e e为为OPFOPF2 2的正弦值的正弦值3. 3. 已知已知a a2 2、c c2 2直接求直接求e e2 2 变

13、式训练1： 若椭圆 + =1的离心率为1/2，求m的值.222cea29x29ym4.4.已知已知a a2 2、b b2 2不算不算c c直接求直接求e e 221bea 题型二：方程法例2.依据a,b,c,e的关系，构造关于a,c,的齐次式，解出e即可，但要注意椭圆离心率范围是0eb0)+ =1(ab0)的三个顶点为的三个顶点为B B1 1 (0(0，-b)-b)，B B2 2 (0(0，b),A(a,0),b),A(a,0),焦点焦点F(c,0)F(c,0)且且B B1 1FABFAB2,2,求该椭圆的离心率。求该椭圆的离心率。22ax22byB B2 2 (0(0，b)b)B B1 1

14、(0(0，-b)-b)A(a,0)A(a,0)F(c,0)F(c,0)x xoy y 练习 2 ：已知一椭圆的短轴长与焦距长相等，求椭圆的离心率。五.小结1.知识点：求离心率的两种常规方法：（1）定义法:求a,c或a、c的关系；（2）方程法:根据题上的相等关系，构造关于a,c的齐次式，解出e.2.思想方法： 方程的思想，转化的思想高考链接（2012新课标全国卷）设F1和F2是椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点，P为直线 x= 上一点， F2 P F1是底角为30的等腰三角形， 求该椭圆的离心率。22ax22bya23F2 (c,0)xoyF F1 1 (-c,0) (-c,0)x=3a/2x

15、=3a/2P302c2cc2c=3a/22c=3a/2六.课后练习2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2 ，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为F2PF1等腰直角三角形，求椭圆的离心率.1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长成等差数列，求该椭圆的离心率.3.3.已知椭圆的两个焦点为已知椭圆的两个焦点为F F1 1和和F F2 2，A A为椭圆上一为椭圆上一点点 ，且，且AFAF1 1AFAF2 2，AFAF1 1F F2 2=60=60，求该椭圆的，求该椭圆的离心率。离心率。1.1.椭圆以坐标轴为对称轴，离心率椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 ，长轴长为，长轴长为6 6，则椭圆的方程则椭圆

16、的方程 为为（ ）32e 120y36x22 15y9x22 15922 xy120y36x22 1203622 xy(A)(B)(C)(D)15y9x22 或或或或C2.若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率差数列，则其离心率e=_已知椭圆 的离心率 ，求 的值 19822ykx21ek21e4k由 ，得：解：解：当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 82 ka92b12 kcx 当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 92a82 kbkc12y21e4191k45k由 ，得 ，即 满足条件的 或 4k45k练习2：已知椭圆 的离心率 ，求 的值

17、 ）（111522kkykx21ek练习3：例例4 4：点点M(x,y)M(x,y)与定点与定点F(4,0)F(4,0)的距离和它到定直的距离和它到定直线线l l:x = :x = 的距离的比是常数的距离的比是常数 ，求点，求点M M的轨迹的轨迹。42554xyoFMlF1l( (椭圆的第二定义椭圆的第二定义) )准线方程：准线方程：cxa2 解：解：如图，设如图，设d是点是点M到直线到直线L的距离，根据题意，所求轨的距离，根据题意，所求轨迹的集合是：迹的集合是：由此得由此得 ：222,xcycaaxc22222222()().ac xa ya ac22221(0).xyabab 这是一个椭圆

18、的标准方程，所以点这是一个椭圆的标准方程，所以点M的的轨迹是长轴、短轴分别是轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。的椭圆。点点M（x,y）与定点）与定点F（c,0）的距离）的距离 和它到定直线和它到定直线的距离比是常数的距离比是常数2:al xc(0).caca求求M点的轨迹。点的轨迹。|M FcPMda平方，化简得平方，化简得 ：222,:acb令可化得若点若点F F是定直线是定直线l外一定点，动点外一定点，动点M M到点到点F F的距离的距离与它与它到直线到直线l l的距离的距离之之比比等于等于常数常数e e(0(0e e1)1)，则点，则点M M的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆. .M MF

19、FH Hl新知探究新知探究动画动画第二定义第二定义 直线直线 叫做椭圆相应于焦叫做椭圆相应于焦点点F F2 2(c(c，0)0)的的准线准线，相应于焦点，相应于焦点F F1 1( (c c，0)0)的准线方程是的准线方程是O Ox xy yF F2 2F F1 1新知探究新知探究2axc2axc2axc 2axc椭圆的准线与离心率椭圆的准线与离心率离心率离心率：椭圆的准线椭圆的准线 ：2axc2222:1(0)yxa bab 思考又如何呢?ceaoxyMLLFF离心率的范围离心率的范围：01e相对应焦点相对应焦点F F（c,0c,0），准线是：），准线是：相对应焦点相对应焦点F F（- c,0

20、- c,0），准线是：），准线是：2axc2axc1.1.基本量基本量: : a a、b b、c c、e e、几何意义：几何意义：a a- -长长半半轴、轴、b b- -短短半半轴、轴、c c- -半焦距，半焦距，e e- -离心率；离心率； 相互关系：相互关系： 椭圆中的基本元素椭圆中的基本元素2.2.基本点：基本点：顶点、焦点、中心顶点、焦点、中心3.3.基本线基本线: : 对称轴对称轴（共两条线），（共两条线），准线准线222bacace 焦点总在长轴上焦点总在长轴上! !课堂小结课堂小结ca2ca2-准线准线 1 椭圆椭圆 + =1 + =1 上一点上一点P P到到右准线的距离为右准线

21、的距离为10,10,则则: :点点P P到左焦点的到左焦点的距离为距离为( )( ) A.14 B.12 C.10 D.8 A.14 B.12 C.10 D.81002x362y 【答案】6例3：22594511312FxyPAPAPF已知 是椭圆的左焦点， 是椭圆上动点点（， ）是一定点（）求的最小值变式变式2234121112FxyPAPAPF已知 是椭圆的左焦点， 是椭圆上动点点（， ）是一定点（）求的最小值1.若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则则:离心率离心率e=_2离心率离心率e= ,且两准线间的距离为且两准线间的距离为4的椭圆的的椭圆的

22、标准方程为标准方程为_223.若椭圆的短轴长为若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的长轴是短轴的2倍倍,则则:中心到准中心到准线线的距离为的距离为( ) A. B. C. D.5585543383344.离心率离心率e= ,一条准线方程为一条准线方程为x=-53325求标准方程求标准方程直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系种类:相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点) 直线与椭圆的位置关系的判定代数方法代数方法222201AxByCxyab由方程组20(0)mxnxpm24nmp=00=0方程组有两解两个交点相交方程组有一解一个交点相切方程组无解无交点相离1.1.位置关系：相交、相切、相

23、离位置关系：相交、相切、相离2.2.判别方法判别方法( (代数法代数法) ) 联立直线与椭圆的方程联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组消元得到二元一次方程组 (1)(1)00直线与椭圆相交直线与椭圆相交有两个公共点；有两个公共点； (2)(2)=0 =0 直线与椭圆相切直线与椭圆相切有且只有一个公共点；有且只有一个公共点； (3)(3)0 k-3366-k33当 =时有一个交点当或时有两个交点当时没有交点lmm oxyml解：设直线 平行于 ，224501259xykxy由方程组22258-2250yxkxk消去 ，得22064-4 25-2250kk 由，得（）450lxyk则 可写

24、成：12k25k25解得=，=-25.k 由图可知 oxy45250mxy直线 为：22402515414145mld直线 与椭圆的交点到直线 的距离最近。且思考：最大的距离是多少？max22402565414145d设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )，P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )两点，直线两点，直线P P1 1P P2 2的斜率为的斜率为k k弦长公式：弦长公式：221|1|1|ABABABkxxyyk知识点知识点2：弦长公式：弦长公式可推广到任意二次曲线例例3 3：已知斜率为已知斜率为1 1的直线的直线L L过椭圆过椭圆 的右焦

25、点，交椭圆于的右焦点，交椭圆于A A，B B两点，求弦两点，求弦ABAB之长之长222:4,1,3.abc解 由椭圆方程知( 3,0).F右焦点:3.lyx直线 方程为22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB xy设12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85例例5 ：已知椭圆：已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.解：解：韦达定理韦达定理斜率斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公

26、式来构造知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题例例 5已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率出中点坐标和斜率点点作差作差知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题点差法：点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率差构造出中点坐标和斜率112200( ,), (,),(,)A x yB xyABM xy设中点，0120122,2xxxyy

27、y则有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab两式相减得：2222221211()()0bxxayy1122( ,), (,)A x yB xy在椭圆上，2222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa 即2111221211AByyxxbkxxayy 2020 xbay 直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法 例例5已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+

28、2y-4=0从而从而A ,B在直线在直线x+2y-4=0上上而过而过A,B两点的直线有且只有一条两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点中点”这这一一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，练习： P49：A8例例6、如图，已知椭圆如图，已知椭圆 与直线与直线x+y-1=0交交于于A、B两点，两点， AB的中点的中点M与椭圆中心连线的与椭圆中心连线的斜率是斜率是 ，试求，试求a、b的值。的值。221axby2 2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2)210yab xbxb

29、 消 得:(2)(1)0bab b =4-4(abab1122( ,), (,)A x yB x y设121221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中点22121 21()4ABkxxx x又MOakb222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab 练习：练习： 已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的直线方程.22:(1)195xy解椭圆(2,0)F2lyx直线 ：2225945yxxy由2143690 xx得：1212189,714xxxx2212126 111()47kxxxx弦长练习