平行线分线段成比例定理

1、1l2l3l?F?E?D?C?B?AEFDEBCABDFDEACABDFEFACBCl1l2l3平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例 如图已知l1l2l3 求证或或?L3?L2?L1?M?F?E?D?B?A?C?NABS ABMBCS BCMAMS ABMMNS BMNABAMBCMN 定理的证明过A点作AN DF，交l2于M，交l3于N 点，连接 BN 、CM（如图(1-2）l1l2l3AM =DE MN=EF在ACN中，有BMCN SBCM= SBMN 亦即 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例 EFDEBCABv“对应”是数学的基本

2、概念，】v图1-1中，v在l1l2l3的条件下，可分别推出如下结论之一：v（1）简称“上比下”等于“上比下”v（2）简称“上比全”等于“上比全”v（3?简称“下比下”等于“下比下”v把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论。?L3?L2?L1?M?F?E?D?B?A?C?N因为 l1l2l3 所以 如何理解定理结论中“所得线段对应成比例”呢？EFDEBCABab基本图形：“A”字形L1L2L3ABCDEFEFDEBCABab基本图形：“x”字形L1L2L3ABCD（E）FEFDEBCABabL1L2L3ABCDEFGEFAEBCAB平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的线段对应成

3、比例.全全下下上上EFDEBCAB! 注意注意:应用平行线分线段成比例定理得到的应用平行线分线段成比例定理得到的比例式中比例式中,四条线段与两直线的交点位置无关四条线段与两直线的交点位置无关!平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条三条平行线截两条 直线直线, 所得的线段对应成比例所得的线段对应成比例. 平移平移BACABFECDM(D)EF平移平移ABC平移平移ABCEDNFDF(E)全全下下上上l2l3l1l3推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的线段对应成比例.ABCDEl2ABCDEl1ab平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如

4、果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等。L1L2L3ABCDEFEFDEBCAB平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何联系？ABCDEFABCDEF1 1当当BCAB1 1当当BCABFEBACD已知:如图,DE/BC,DE分别交AB、AC于点D、EBCDEACAEABAD求证：DE/BCACAEABADEF/ABBCBFACAEDE=BFBCDEACAEABAD例例1 已知：如图已知：如图 ，AB=3 ，DE=2 ，EF=4。求。求BC。321/lll练习：已知：如图，练习：已知：如图， ，AB= a, BC= b, EF=c. 求求DE。321/lll1l

5、2l3lEFDBAC1l2l3lDCBEAF例 2 如图,ABC中,DF/AC,DE/BC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长.FACB分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分别列出比例式求解.解DE/BC3264ACAEABADDF/ACCBCFABAD316,832CFCF即38316-8BFDE例3 如图,ABC中,DE/BC,EF/CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项.FEBACD分析: 分别在ABC及ADC中利用平行线分线段成比例定理的推论证明AEACADABDE/BCABC,中在AEACAFADEF/CDADC,中在AFADADABAD2=ABAF,即AD是AB和

6、AF的比例中项EFDEBCAB（平行线分线段成（平行线分线段成比例定理）。比例定理）。三三 练习练习全全下下上上！EFBCDEABDFACEFBCDFACEFBCDEAB证明：因为证明：因为321/lllDFEFACBC（平行线分线段成（平行线分线段成比例定理）。比例定理）。因为因为DFACEFBCDEAB已知：如图，已知：如图， ， 求证：求证： 。321/lll1l2l3lEBADCFEFDEBCAB（平行线分线段（平行线分线段成比例定理）。成比例定理）。设设AB=X，则，则BC=8X即：即：516AB516X DFDEACAB（平行线分线段成（平行线分线段成比例定理）。比例定理）。即：即

7、：3228AB516AB方法二方法二 解：因为解：因为321/lll方法一方法一 解：因为解：因为321/lll32X-8X已知：如图，已知：如图， ，AC=8，DE=2，EF=3，求求AB。321/lll3l2l1lACDBEF作业1 1、已知、已知ABAB、CDCD为梯形为梯形ABCDABCD的底，对角线的底，对角线ACAC、BDBD的的交点为交点为O O，且，且AB=8AB=8，CD=6,BD=15CD=6,BD=15，求，求OBOB、ODOD的长。的长。2、如图，在如图，在ABC中，作平行于中，作平行于BC的直线交的直线交AB于于D，交交AC于于E，如果，如果BE和和CD相交于相交于O，AO和和DE相交于相交于F，AO的延长线和的延长线和BC交于交于G。证明：（证明：（1） （2）BG=GCFEDFGCBG3、如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，EFAD，假设EF作上下平行移动，ADBCEF：，EBAE2321) 1 (求证如果ADBCEF：，EBAE32532)2(求证如果。，nmEBAE，可以得到