厦门理工材料力学-第2章

1、材料力学材料力学Mechanics of materials + CABF2llCABllF2FA0 xF CABF2llCABllF2FA CABllF2FACABllF2FNA0 xFkN512NFFFA 0 xFCBlF2kN512N FFFBFN CABllF2FA FN 0 xFClF2kN102NFFBCABllF2FA FN 0 xFClF2kN102NFFCCABllF2FA FN/kNOxCABF2llCABllF2FNAFN CBlF2FN ClF2FN ClF2510105 当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面上只有轴力一个内力分量。与

2、轴力相对应，杆上只有轴力一个内力分量。与轴力相对应，杆件横截面上将只有件横截面上将只有正应力正应力。 在很多情形下，杆件在轴力作用下产生均在很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩短变形，因此，根据材料均匀性匀的伸长或缩短变形，因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截面上的应力均匀分布，这时的假定，杆件横截面上的应力均匀分布，这时横截面上的正应力为横截面上的正应力为 NFA其中其中 FN横截面上的轴力，由截面法求得；横截面上的轴力，由截面法求得； A横截面面积。横截面面积。 变截面直杆，变截面直杆，ADE段为铜制段为铜制,EBC段为钢制；在段为钢制；在A、D、B、C等等4处承受轴向载荷。已知

3、：处承受轴向载荷。已知：ADEB段杆的横截面面积段杆的横截面面积AAB10102 mm2，BC段杆的横截面面积段杆的横截面面积ABC5102 mm2；FP60 kN；各段杆的长度如图中所示，单位为；各段杆的长度如图中所示，单位为mm。直杆横截面上的绝对值最大的正应力。直杆横截面上的绝对值最大的正应力。 作轴力图作轴力图 由于直杆上作用有由于直杆上作用有4个个轴向载荷，而且轴向载荷，而且AB段与段与BC段杆横截面面积不相等，为段杆横截面面积不相等，为了确定直杆横截面上的最大了确定直杆横截面上的最大正应力和杆的总变形量，必正应力和杆的总变形量，必须首先确定各段杆的横截面须首先确定各段杆的横截面上的

4、轴力。上的轴力。 应用截面法，可以确定应用截面法，可以确定AD、DEB、BC段杆横截面段杆横截面上的轴力分别为：上的轴力分别为： FNAD2FP120 kN FNDEFNEBFP60 kN FNBCFP60 kN 2计算直杆横截面上计算直杆横截面上绝对值最大的正应力绝对值最大的正应力MPa120Pa1012010mm101010kN12066223NADADAFAD 横截面上绝对值最大的横截面上绝对值最大的正应力将发生在轴力绝对值正应力将发生在轴力绝对值最大的横截面，或者横截面最大的横截面，或者横截面面积最小的横截面上。本例面积最小的横截面上。本例中，中，AD段轴力最大；段轴力最大；BC段段横

5、截面面积最小。所以，最横截面面积最小。所以，最大正应力将发生在这两段杆大正应力将发生在这两段杆的横截面上：的横截面上： MPa120Pa1012010mm10510kN6066223CNBCBAFBCMPa120maxBCAD 三角架结构尺寸及受力如三角架结构尺寸及受力如图所示。其中图所示。其中FP22.2 kN；钢；钢杆杆BD的直径的直径dl254 mm；钢梁钢梁CD的横截面面积的横截面面积A22.32103 mm2。杆杆BD与与CD的横截的横截面上的正应力。面上的正应力。 首先对组成三角架结构的构件作受力分析，因为首先对组成三角架结构的构件作受力分析，因为B、C、D三处均为销钉连接，故三处

6、均为销钉连接，故BD与与CD均为二力构件。由平衡方程均为二力构件。由平衡方程受力分析，确定各杆的轴力受力分析，确定各杆的轴力 0 xF 0yF 其中负号表示压力。其中负号表示压力。 受力分析，确定各杆的轴力受力分析，确定各杆的轴力 0 xF 0yFkN4031N1022222PN.FFBD kN4031N10222PN. FFCD计算各杆的应力计算各杆的应力 应用拉、压杆件横截面上的正应力公式，应用拉、压杆件横截面上的正应力公式，BD杆与杆与CD杆横杆横截面上的正应力分别为：截面上的正应力分别为： MPa062421NN.dFAFBDBDBDx MPa7592NN.AFAFCDCDCDx ma

7、x n0 max? max NFA NFA max NFA NFAPF 2MPa113Pa1021131015mm10kN2044462332P2PN.dFdFAF 113.2MPa150MPa 可以绕铅垂轴可以绕铅垂轴OO1旋转的吊车中旋转的吊车中斜拉杆斜拉杆AC由两根由两根50 mm50 mm5 mm的等边角钢组成，水平横梁的等边角钢组成，水平横梁AB由由两根两根10号槽钢组成。号槽钢组成。AC杆和杆和AB梁的梁的材料都是材料都是Q235钢，许用应力钢，许用应力 150 MPa。当行走小车位于当行走小车位于A点时点时(小小车的两个轮子之间的距离很小，小车车的两个轮子之间的距离很小，小车作用

8、在横梁上的力可以看作是作用在作用在横梁上的力可以看作是作用在A点的集中力点的集中力)，杆和梁的自重忽略不，杆和梁的自重忽略不计。计。 求：求：允许的最大起吊重量允许的最大起吊重量FW（包括行走小车和电动机的自重）。（包括行走小车和电动机的自重）。 受力分析受力分析 因为所要求的是小车在因为所要求的是小车在A点时所能起吊的最大重量，这点时所能起吊的最大重量，这种情形下，种情形下，AB梁与梁与AC两杆的两端都可以简化为铰链连接。两杆的两端都可以简化为铰链连接。因而，可以得到吊车的计算模型。其中因而，可以得到吊车的计算模型。其中AB和和 AC都是二力都是二力杆，二者分别承受压缩和拉伸。杆，二者分别承

9、受压缩和拉伸。 FW 确定二杆的轴力确定二杆的轴力0sin00cos0N2WN2N1，FFFFFFyx23cos21sin，WN2WN12731FFFF,. 以节点以节点A为研究对象，并设为研究对象，并设AB和和AC杆的轴力均为正方杆的轴力均为正方向，分别为向，分别为FN1和和FN2。根据节点。根据节点A的受力图，由平衡条件的受力图，由平衡条件 FWFW 确定最大起吊重量确定最大起吊重量 对于对于AB杆，由型钢表查得单根杆，由型钢表查得单根10号槽钢的横截面面积号槽钢的横截面面积为为12.74 cm2，注意到，注意到AB杆由两根槽钢组成，因此，杆横截杆由两根槽钢组成，因此，杆横截面上的正应力面

10、上的正应力 2W1N1cm74122731.FAFAB将其代入强度设计准则，得到将其代入强度设计准则，得到 2W1N1cm74122731.FAFAB 确定最大起吊重量确定最大起吊重量由此解出保证由此解出保证ABAB杆强度安全所能承受的最大起吊重量杆强度安全所能承受的最大起吊重量 2W1N1cm74122731.FAFAB kN 176.7N 10176.773110cm74122342W1.F 将其代入强度设计准则，得到将其代入强度设计准则，得到 2W2N2cm803422.FAFAC 2W2N2cm8034.FAFAC由此解出保证由此解出保证AC杆强度安全所能承受的最大起吊重量杆强度安全所

11、能承受的最大起吊重量 Nk 57.6N 1057.610cm8034342W2.F对于对于AC杆杆确定最大起吊重量确定最大起吊重量 确定最大起吊重量确定最大起吊重量 为保证整个吊车结构的强度安全，吊车所能起吊的最大为保证整个吊车结构的强度安全，吊车所能起吊的最大重量，应取上述重量，应取上述FW1和和FW2中较小者。于是，吊车的最大起中较小者。于是，吊车的最大起吊重量吊重量: kN 176.7N 10176.773110cm74122342W1.F Nk 57.6N 1057.610cm8034342W2.FFW57.6 kN 本例讨论本例讨论 1W1N12731AFAFAB.其中其中A1 1为

12、单根槽钢的横截面面积。为单根槽钢的横截面面积。 根据以上分析，在最大起吊重量根据以上分析，在最大起吊重量FW57.6 kN的情形下，的情形下，显然显然AB杆的强度尚有富裕。因此，为了节省材料，同时还杆的强度尚有富裕。因此，为了节省材料，同时还可以减轻吊车结构的重量，可以重新设计可以减轻吊车结构的重量，可以重新设计AB杆的横截面尺杆的横截面尺寸。寸。 根据强度设计准则，有根据强度设计准则，有 1W1N12731AFAFAB.其中其中A1为单根槽钢的横截面面积。为单根槽钢的横截面面积。本例讨论本例讨论 2222463W1cm24mm1024m1024101202106577312731.FA由型钢

13、表可以查得，由型钢表可以查得，5号槽钢即可满足这一要求。号槽钢即可满足这一要求。 这种设计实际上是一种等强度的设计，是在保证构件与这种设计实际上是一种等强度的设计，是在保证构件与结构安全的前提下，最经济合理的设计。结构安全的前提下，最经济合理的设计。 设一长度为设一长度为l、横截面面积为、横截面面积为A的等截面直杆，承受轴的等截面直杆，承受轴向载荷后，其长度变为向载荷后，其长度变为l十十 l，其中，其中 l为杆的伸长量。为杆的伸长量。 实验结果表明：在弹性范围内，杆的伸长量实验结果表明：在弹性范围内，杆的伸长量 l与杆所与杆所承受的轴向载荷成正比。承受的轴向载荷成正比。写成关系式为写成关系式为

14、 EAlFlP 这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的胡克定律。其中，胡克定律。其中，FP为作用在杆件两端的载荷；为作用在杆件两端的载荷；E为杆材为杆材料的料的弹性模量弹性模量，它与正应力具有相同的单位；，它与正应力具有相同的单位；EA称为杆件称为杆件的拉伸（或压缩）的拉伸（或压缩）刚度刚度(tensile or compression rigidity );式式中中“”号表示伸长变形；号表示伸长变形；“”号表示缩短变形。号表示缩短变形。 EAlFlP EAlFlPiiiiEAlFlN llxEAlFlPPxF llEAllxEAFx/P

15、需要指出的是，上述关于正应变的表达式只适用于杆需要指出的是，上述关于正应变的表达式只适用于杆件各处均匀变形的情形。件各处均匀变形的情形。llx 对于各处变形不均匀的情形，对于各处变形不均匀的情形，必须考察杆件上沿轴向的微段必须考察杆件上沿轴向的微段dx的变形，并以微段的变形，并以微段dx的相对的相对变形作为杆件局部的变形程度。变形作为杆件局部的变形程度。 这时这时 PddddxxFxEA xxxxE可见，无论变形均匀还是不均匀，正应力与正应变之间的可见，无论变形均匀还是不均匀，正应力与正应变之间的关系都是相同的。关系都是相同的。 杆件承受轴向载荷时，除了轴向变形外，在垂直于杆杆件承受轴向载荷时

16、，除了轴向变形外，在垂直于杆件轴线方向也同时产生变形，称为横向变形。件轴线方向也同时产生变形，称为横向变形。实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变 x x与横向与横向应变应变 y y之间存在下列关系：之间存在下列关系： xy 为材料的另一个弹性常数，称为泊松比为材料的另一个弹性常数，称为泊松比(Poisson ratio)。泊松比为无量纲量。泊松比为无量纲量。 变截面直杆，变截面直杆，ADE段为铜制段为铜制,EBC段为钢制；在段为钢制；在A、D、B、C等等4处承受轴向载荷。已知：处承受轴向载荷。已知：ADEB段杆的横截面面积段杆的横截面面积AAB1

17、0102 mm2，BC段杆的横截面面积段杆的横截面面积ABC5102 mm2；FP60 kN；铜的弹性模量；铜的弹性模量Ec100 GPa，钢的弹性，钢的弹性模量模量Es210 GPa；各段杆的长度如图中所示，单位为；各段杆的长度如图中所示，单位为mm。直杆的总变形量。直杆的总变形量。 作轴力图作轴力图 由于直杆上作用有由于直杆上作用有4个轴向个轴向载荷，而且载荷，而且AB段与段与BC段杆横段杆横截面面积不相等，为了确定直截面面积不相等，为了确定直杆横截面上的最大正应力和杆杆横截面上的最大正应力和杆的总变形量，必须首先确定各的总变形量，必须首先确定各段杆的横截面上的轴力。段杆的横截面上的轴力。

18、 应用截面法，可以确定应用截面法，可以确定AD、DEB、BC段杆横截面上的轴段杆横截面上的轴力分别为：力分别为： FNAD2FP120 kN； FNDEFNEBFP60 kN； FNBCFP60 kN。 计算直杆的总变形量计算直杆的总变形量 直杆的总变形量等于各段直杆的总变形量等于各段杆变形量的代数和。杆变形量的代数和。 ： BCEBDEiADiiillllEAlFlNN DN EN BN Cccss6666631.2 10 m0.6 10 m0.286 10 m0.875 10 m1.211 10m1.211 10mmAADDDEEEBBBCADDEEBBCFlFlFlFlE AE AE A

19、E A 在上述计算中，在上述计算中，DE和和EB段杆的横截面面积以及轴力虽段杆的横截面面积以及轴力虽然都相同，但由于材料不同，所以需要分段计算变形量。然都相同，但由于材料不同，所以需要分段计算变形量。 进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料按国家标准制成按国家标准制成标准试样标准试样(standard specimen); ;然后将试样安装在试验机上，使试样承受轴向然后将试样安装在试验机上，使试样承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的加载过程，试验机自动拉伸载荷。通过缓慢的加载过程，试验机自动记录下试样所受的载荷和变形，得到应力与应记录下试样所受的载荷和变形，得到应力与

20、应变的关系曲线，称为变的关系曲线，称为应力应力-应变曲线应变曲线(stress-strain curve)。 为了得到应力为了得到应力-应变曲线，需要将给定的材料做应变曲线，需要将给定的材料做成标准试样（成标准试样（specimen）,在材料试验机上，进行拉在材料试验机上，进行拉伸或压缩实验（伸或压缩实验（tensile test,compression test）。）。 试验时，试样通过卡具或夹具安装在试验机试验时，试样通过卡具或夹具安装在试验机上。试验机通过上下夹头的相对移动将轴向载荷上。试验机通过上下夹头的相对移动将轴向载荷加在试样上。加在试样上。 脆性材料拉伸时的脆性材料拉伸时的应力应

21、力-应变曲线应变曲线 韧性金属材料拉伸时的应力韧性金属材料拉伸时的应力-应变曲线应变曲线 某些韧性材料某些韧性材料( (例如低例如低碳钢和铜碳钢和铜) )，应力超过强度，应力超过强度极限以后，试样开始发生局极限以后，试样开始发生局部变形，局部变形区域内横部变形，局部变形区域内横截面尺寸急剧缩小，这种现截面尺寸急剧缩小，这种现象称为象称为颈缩颈缩(neck)。出现颈。出现颈缩之后，试样变形所需拉力缩之后，试样变形所需拉力相应减小，应力相应减小，应力- -应变曲线应变曲线出现下降阶段，直至试样被出现下降阶段，直至试样被拉断。拉断。 %100001lll%100010AAA NNxFAF llEA

22、NF llEA 当杆端承受集中载荷或其他非均匀分布载荷时，当杆端承受集中载荷或其他非均匀分布载荷时，杆件并非所有横截面都能保持平面，从而产生均匀杆件并非所有横截面都能保持平面，从而产生均匀的轴向变形。在这种情形下，上述正应力公式不是的轴向变形。在这种情形下，上述正应力公式不是对杆件上的所有横截面都适用。对杆件上的所有横截面都适用。 几何形状不连续处应力局部增大的现象，称为几何形状不连续处应力局部增大的现象，称为（stress concentration）。）。 应力集中的程度用应力集中因数描述。应力集中处横截应力集中的程度用应力集中因数描述。应力集中处横截面上的应力最大值与不考虑应力集中时的应

23、力值面上的应力最大值与不考虑应力集中时的应力值(称为名义应称为名义应力力)之比，称为之比，称为应力集中因数应力集中因数(factor of stress concentration)，用用K表示：表示： amaxK 两端固定的等截面直杆，杆件沿轴线方两端固定的等截面直杆，杆件沿轴线方向承受一对大小相等、方向相反的集中力，向承受一对大小相等、方向相反的集中力，假设杆件的拉伸与约束刚度为假设杆件的拉伸与约束刚度为EA，其中，其中E为为材料的弹性模量，材料的弹性模量，A为杆件的横截面面积。为杆件的横截面面积。要求各段杆横截面上的轴力，并画出轴力图。要求各段杆横截面上的轴力，并画出轴力图。 ACDBFAFB 首先，分析约束力，判断静不定次数。首先，分析约束力，判断静不定次数。在轴向载荷的作用下，固定端在轴向载荷的作用下，固定端A、B二处各有二处各有一个沿杆件轴线方向的约束力一个沿杆件轴线方向的约束力FA 和和FB ，独，独立的平衡方程只有一个立的平衡方程只有一个 0 xF0PPBAFFFFBAFF 因此，静不定次数因此，静不定次数n2