第十一章压杆稳定

1、第第 十十 一一 章章压杆稳定压杆稳定 11-1 11-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 11-2 11-2 两端铰支理想细长压杆的临界轴力两端铰支理想细长压杆的临界轴力 11-3 11-3 不同杆端约束下细长压杆的临界轴力的不同杆端约束下细长压杆的临界轴力的欧拉公式欧拉公式 11-4 11-4 欧拉公式适用范围欧拉公式适用范围 临界应力总图临界应力总图 11-5 11-5 压杆的稳定计算压杆的稳定计算 11-6 11-6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施内容提要内容提要 111 111 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 AB为刚性直杆，该杆为刚性直杆，该杆A端为铰支，端为铰支，B端用弹簧

2、常数为端用弹簧常数为k的两根弹簧支持。的两根弹簧支持。一、弹性系统平衡的稳定性一、弹性系统平衡的稳定性F( b )( a )F2 k BBAAlF( b )( a )F2 k BBAAl外力外力F对对A点的力矩：点的力矩：F弹簧反力弹簧反力 对对A点的力矩：点的力矩：2kl1、若、若 ，即，即 ，则在干扰解除后，则在干扰解除后，杆将自杆将自动恢复至初始位置动恢复至初始位置，说明在该荷载作用下，说明在该荷载作用下，杆在竖直位置的杆在竖直位置的平衡是稳定的平衡是稳定的。F2kl2Fkl2、若、若 ，即，即 ，则在干扰解除后，则在干扰解除后，杆不仅不杆不仅不能自动返回其初始位置，而且将继续偏转能自动

3、返回其初始位置，而且将继续偏转。说明在该荷载作。说明在该荷载作用下，用下，杆在竖直位置的平衡是不稳定的杆在竖直位置的平衡是不稳定的。F2kl2Fkl2k一、弹性系统平衡的稳定性一、弹性系统平衡的稳定性F( b )( a )F2 k BBAAlF( b )( a )F2 k BBAAl1、若、若 ，即，即 ，则在干扰解除后，则在干扰解除后，杆将自杆将自动恢复至初始位置动恢复至初始位置，说明在该荷载作用下，说明在该荷载作用下，杆在竖直位置的杆在竖直位置的平衡是稳定的平衡是稳定的。F2kl2Fkl2、若、若 ，即，即 ，则在干扰解除后，则在干扰解除后，杆不仅不杆不仅不能自动返回其初始位置，而且将继续

4、偏转能自动返回其初始位置，而且将继续偏转。说明在该荷载作。说明在该荷载作用下，用下，杆在竖直位置的平衡是不稳定的杆在竖直位置的平衡是不稳定的。F2kl2Fkl3、若、若 ，即，即 ，则杆既可在竖直位置保持平衡，也则杆既可在竖直位置保持平衡，也可在微小偏斜状态保持平衡，说明可在微小偏斜状态保持平衡，说明在该荷载作用下，杆处于在该荷载作用下，杆处于临界平衡临界平衡状态状态或称为或称为随遇平衡状态随遇平衡状态。F2kl2Fkl弹性系统在某位置的平衡性质不但弹性系统在某位置的平衡性质不但与外荷载的大小有关，而且与系统与外荷载的大小有关，而且与系统的自身构成特性有关。的自身构成特性有关。 111 111

5、 压杆稳定的概念压杆稳定的概念二、理想压杆的稳定性二、理想压杆的稳定性例：一长为例：一长为300mm300mm的钢板尺，横截面尺寸为的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 20mm 1 1mm mm 。钢的许用应力为钢的许用应力为 =196MPa=196MPa。按强度条件计算得。按强度条件计算得钢板尺所能钢板尺所能承受的轴向压力为承受的轴向压力为FN = FNmax = A = 3.92 KN 实际上，当压力不到实际上，当压力不到 40N 40N 时，钢尺就被压弯。当钢尺时，钢尺就被压弯。当钢尺被明显压弯时，就不能再承担更大的压力。由此可见，钢被明显压弯时，就不能再承担更大的压力。由此可见，钢尺的承

6、载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度，而取决于尺的承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度，而取决于钢尺受压时能否保持直线形态的平衡。钢尺受压时能否保持直线形态的平衡。理想压杆理想压杆：假设压杆由均质材料制成、轴线为直线且外加压：假设压杆由均质材料制成、轴线为直线且外加压力的作用线与压杆轴线重合，这种理想中心受压直杆力学模力的作用线与压杆轴线重合，这种理想中心受压直杆力学模型，简称为理想压杆。型，简称为理想压杆。 111 111 压杆稳定的概念压杆稳定的概念二、理想压杆的稳定性二、理想压杆的稳定性理想压杆理想压杆：假设压杆由均质材料制成、轴线为直线且外加压：假设压杆由均质材料制成、轴线为直线且外加压

7、力的作用线与压杆轴线重合，这种理想中心受压直杆力学模力的作用线与压杆轴线重合，这种理想中心受压直杆力学模型，简称为理想压杆。型，简称为理想压杆。 FF(a) (b)(c)(d)F Fc rFF(a) (b) (c) (d)F Fc rFF(a) (b) (c) (d)F Fc rFF(a) (b) (c) (d)F Fc rF较小较小F较大较大使理想压杆直线形式使理想压杆直线形式的平衡开始由稳定转的平衡开始由稳定转变为不稳定的轴向压变为不稳定的轴向压力值称为压杆的力值称为压杆的临界临界轴力轴力，记为，记为 Fcr 。当轴向压力当轴向压力达到或超达到或超过过理想压杆的临界轴理想压杆的临界轴力力F

8、cr时，压杆即产生时，压杆即产生失稳失稳或或屈曲屈曲现象。现象。 111 111 压杆稳定的概念压杆稳定的概念三、分叉点失稳和极值点失稳三、分叉点失稳和极值点失稳1 1、分叉点失稳、分叉点失稳 曲线曲线AC表示表示F Fcr而失稳时理而失稳时理想压杆不能在微弯状态平衡。想压杆不能在微弯状态平衡。A：分叉点：分叉点Ay00yFcrFDCEDAGKJO不稳定稳定FcrBB O(b)( a )FJFFFF(a) (b) (c) (d)F Fc ry0Ay00yFcrFDCEDAGKJO不稳定稳定FcrBB O(b)( a )FJFFOAC 曲线所描述曲线所描述的失稳现象也称的失稳现象也称为为分叉点失

9、稳分叉点失稳O 111 111 压杆稳定的概念压杆稳定的概念三、分叉点失稳和极值点失稳三、分叉点失稳和极值点失稳2 2、极值点失稳、极值点失稳 与理想压杆相比，实际压杆总是有缺陷的，与理想压杆相比，实际压杆总是有缺陷的，如初始弯曲、残余应力、荷载偏心等。如初始弯曲、残余应力、荷载偏心等。GJK曲线特点：无曲线特点：无直线段，下降的曲直线段，下降的曲线线JK 反映实际压反映实际压杆的崩溃现象杆的崩溃现象压杆急剧弯曲而它压杆急剧弯曲而它能承担的外力能承担的外力F不不断降低。断降低。Ay00yFcrFDCEDAGKJO不稳定稳定FcrBB O(b)( a )FJFFFF(a) (b) (c) (d)

10、F Fc ry0Ay00yFcrFDCEDAGKJO不稳定稳定FcrBB O(b)( a )FJFFGJK 曲线所描述曲线所描述的失稳现象称为的失稳现象称为极值点失稳极值点失稳OFJ ：极值点荷载极值点荷载 两端球形绞支，长为两端球形绞支，长为 l 的等截面理想细长压杆处于微弯平的等截面理想细长压杆处于微弯平衡状态时衡状态时FcryxMFcr)(mxmymmxyBy 112 112 两端铰支理想细长压杆的临界轴力两端铰支理想细长压杆的临界轴力 一、公式推导一、公式推导yABxFcrlFcrFcr 112 112 两端铰支理想细长压杆的临界轴力两端铰支理想细长压杆的临界轴力 压杆任一压杆任一 x

11、 x 截面沿截面沿 y y 方向方向的位移为的位移为 y y = y (x)= y (x)该截面的弯矩为该截面的弯矩为yxMFcr)(杆的挠曲线近似微分方程为杆的挠曲线近似微分方程为yxMEIyFcr)(FcryxMFcr)(mmxyByFcr一、公式推导一、公式推导 112 112 两端铰支理想细长压杆的临界轴力两端铰支理想细长压杆的临界轴力 令令kFEIcr2则有二阶常系数线性微分方程则有二阶常系数线性微分方程02yky其通解为其通解为kxBkxAycossinA，B为待定为待定常数，由该挠曲线的边界条件确定。常数，由该挠曲线的边界条件确定。yxMEIyFcr)(FcryxMFcr)(mm

12、xyByFcr一、公式推导一、公式推导边界条件：边界条件：kxBkxAycossin代入方程得：代入方程得：B=0mxmyyABxFcrlFcr一、公式推导一、公式推导x = 0，y = 0 x = l ，y = 0因为因为A不等于零（否则与微弯状态不等于零（否则与微弯状态相矛盾）相矛盾）klA sin00klsinnnnkl, 2 , 1 , 0 nnlnk,2102222 112 112 两端铰支理想细长压杆的临界轴力两端铰支理想细长压杆的临界轴力 一、公式推导一、公式推导nnlnk,2102222所以所以kFEIcr2nnlEInEIkFcr,2102222n=0时时Fcr0，矛盾，所以

13、，矛盾，所以n取使取使Fcr不为零的最小值，即不为零的最小值，即n = 1欧拉公式欧拉公式22lEIFcr注意：注意：1、此公式是两端铰支理想细长压杆的临界轴力计算公式；、此公式是两端铰支理想细长压杆的临界轴力计算公式；2、当压杆端部各个方向的约束相同时，、当压杆端部各个方向的约束相同时，I取为压杆横截面的取为压杆横截面的最小形心主惯性矩，即最小形心主惯性矩，即IImin3、两端铰支压杆临界平衡时的挠曲线为、两端铰支压杆临界平衡时的挠曲线为一半波正弦曲线一半波正弦曲线 112 112 两端铰支理想细长压杆的临界轴力两端铰支理想细长压杆的临界轴力 kxBkxAycossinB=0mxmyyABx

14、FcrlFcrnnnkl, 2 , 1 , 0 112 112 两端铰支理想细长压杆的临界轴力两端铰支理想细长压杆的临界轴力 n=1时时lk sinxyAl sinxyl压杆中点处的最大挠度压杆中点处的最大挠度 可见，两端铰支理想细长压杆可见，两端铰支理想细长压杆在临界轴力作用下失稳时，其在临界轴力作用下失稳时，其挠曲挠曲线为半波正弦曲线线为半波正弦曲线。一、公式推导一、公式推导nnlEInEIkFcr,2102222n=0时时Fcr0，矛盾，所以，矛盾，所以n取使取使Fcr不为零的最小值，即不为零的最小值，即n = 1欧拉公式欧拉公式22lEIFcr 112 112 两端铰支理想细长压杆的临

15、界轴力两端铰支理想细长压杆的临界轴力 Fc rBA(c)Cl/2l/2y两个半波两个半波正弦曲线正弦曲线 2cr22EIFln = 2时时对应的是中部有支承时的压杆，相对应的是中部有支承时的压杆，相当于两根长度为当于两根长度为l/2的两端铰支细长压杆同的两端铰支细长压杆同时失稳时失稳例例11.2 11.2 两端球铰支的中心受压细长压杆，长两端球铰支的中心受压细长压杆，长1m1m，材，材料的弹性模量料的弹性模量E E200GPa200GPa，考虑采用矩形、等边角钢，考虑采用矩形、等边角钢4545 6 6、环形三种不同截面，如图、环形三种不同截面，如图11.511.5所示。试比较所示。试比较这三种

16、截面压杆的稳定性。这三种截面压杆的稳定性。(a)yyz5 010z66(b)(c)图11.5yyzz4545382822lEIFcr（1 1）矩形截面）矩形截面 334min,1150mm 10 mm4166.6mm12zII2234cr,1222200 10 MPa 4166.6mm8.255kN1000 mmEIFl例例11.2 11.2 两端球铰支的中心受压细长压杆，长两端球铰支的中心受压细长压杆，长1m1m，材，材料的弹性模量料的弹性模量E E200GPa200GPa，考虑采用矩形、等边角钢，考虑采用矩形、等边角钢4545 6 6、环形三种不同截面，如图、环形三种不同截面，如图11.5

17、11.5所示。试比较所示。试比较这三种截面压杆的稳定性。这三种截面压杆的稳定性。(a)yyz5 010z66(b)(c)图11.5yyzz4545382822lEIFcr（2 2）等边角钢）等边角钢 444min,23.89cm3.89 10 mmzII22344cr,2222200 10 MPa (3.89 10 mm )76.79kN1000 mmEIFlcr,18.255kNF例例11.2 11.2 两端球铰支的中心受压细长压杆，长两端球铰支的中心受压细长压杆，长1m1m，材，材料的弹性模量料的弹性模量E E200GPa200GPa，考虑采用矩形、等边角钢，考虑采用矩形、等边角钢4545

18、 6 6、环形三种不同截面，如图、环形三种不同截面，如图11.511.5所示。试比较所示。试比较这三种截面压杆的稳定性。这三种截面压杆的稳定性。(a)yyz5 010z66(b)(c)图11.5yyzz4545382822lEIFcr（3 3）环形截面）环形截面 cr,276.79kNFcr,18.255kNF444444min,3()(3828 )mm72 182mm6464IDd2234cr,3222200 10 MPa 72182mm142.48kN1000 mmEIFl例例11.2 11.2 两端球铰支的中心受压细长压杆，长两端球铰支的中心受压细长压杆，长1m1m，材，材料的弹性模量料

19、的弹性模量E E200GPa200GPa，考虑采用矩形、等边角钢，考虑采用矩形、等边角钢4545 6 6、环形三种不同截面，如图、环形三种不同截面，如图11.511.5所示。试比较所示。试比较这三种截面压杆的稳定性。这三种截面压杆的稳定性。(a)yyz5 010z66(b)(c)图11.5yyzz45453828cr,276.79kNFcr,18.255kNFcr,3142.48kNF21500mmA 22507.6mmA 23518.4mmA123:1:1.02:1.04AAA cr,1cr,2cr,3min,1min,2min,3:1:9.34:17.32FFFIII例例11.2 11.2

20、 两端球铰支的中心受压细长压杆，长两端球铰支的中心受压细长压杆，长1m1m，材料的弹性，材料的弹性模量模量E E200GPa200GPa，考虑采用矩形、等边角钢，考虑采用矩形、等边角钢4545 6 6、环形三种、环形三种不同截面，如图不同截面，如图11.511.5所示。试比较这三种截面压杆的稳定性。所示。试比较这三种截面压杆的稳定性。(a)yyz5 010z66(b)(c)图11.5yyzz45453828cr,276.79kNFcr,18.255kNFcr,3142.48kNF21500mmA 22507.6mmA 23518.4mmA123:1:1.02:1.04AAA cr,1cr,2c

21、r,3min,1min,2min,3:1:9.34:17.32FFFIII 当端部各个方向的约束均相同时，对用同样多的材料制成当端部各个方向的约束均相同时，对用同样多的材料制成的压杆，要提高其临界轴力就要设法提高的压杆，要提高其临界轴力就要设法提高Imin的值，且尽可能的值，且尽可能使使Imin = Imax 。 22lEIFcr1 1、两端铰支、两端铰支4 4、一端固定、一端固定另端铰支另端铰支3 3、一端固定，一端、一端固定，一端夹支（两端固定）夹支（两端固定）2 2、一端固定另端自由、一端固定另端自由 113 113 不同杆端约束下细长压杆临界轴力的欧拉公式不同杆端约束下细长压杆临界轴力

22、的欧拉公式 22lEIFcrABFcrlABFcrll222 )( lEIFcr2250).(lEIFcr2270).(lEIFcrFcrAB0.5llABFcrll.705 5、两端固定、两端固定4 4、一端固定、一端固定另端铰支另端铰支3 3、一端固定，一端、一端固定，一端夹支（两端固定）夹支（两端固定）2 2、一端固定另端自由、一端固定另端自由 113 113 不同杆端约束下细长压杆临界轴力的欧拉公式不同杆端约束下细长压杆临界轴力的欧拉公式 22lEIFcrABFcrll222 )( lEIFcr2250).(lEIFcr2270).(lEIFcrFcrAB0.5llABFcrll.70

23、lllll 2 1 0 . 70.5l0.7l0.5l2lFc r 两端固定但可沿横向相对移动一端固定另端自由 两端固定 一端固定另端铰支两端铰支支承情况弹性曲线形状长度因数 1 0 . 5Fc rFc rFc rCDCC两端铰支两端铰支一端固定另端铰支一端固定另端铰支两端固定两端固定一端固定另端自由一端固定另端自由22crlEIFl0 = l支承情况支承情况临界力的欧拉公式临界力的欧拉公式长度因数长度因数 = 1 = 0.7 = 0.5 = 222cr(2l)EIF22cr(0.5l)EIF22cr(0.7l)EIF计算长度计算长度l0 = 2ll0 =0.5 ll0 = 0.7l22202

24、)( lEIlEIFcr 113 113 不同杆端约束下细长压杆临界轴力的欧拉公式不同杆端约束下细长压杆临界轴力的欧拉公式 两端固定，但可沿两端固定，但可沿横向相对移动横向相对移动22crlEIFl0 = l = 1讨论讨论（1 1）计算长度）计算长度 l0 l 的物理意义的物理意义1 1压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的计算计算长度长度 l 。2 2计算长度计算长度 l都都相当于相当于挠曲线挠曲线一个半波正一个半波正弦弦曲线的弦长曲线的弦长22202)( lEIlEIFcr（2 2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩）横截面对某一形心主惯性

25、轴的惯性矩 I1 1若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则 I应取最小的形心主惯性矩。应取最小的形心主惯性矩。2 2若杆端在各个方向的约束情况不同（夹支），应分别若杆端在各个方向的约束情况不同（夹支），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界轴力。计算杆在不同方向失稳时的临界轴力。I 为其相应的为其相应的对中性轴的惯性矩。对中性轴的惯性矩。 113 113 不同杆端约束下细长压杆临界轴力的欧拉公式不同杆端约束下细长压杆临界轴力的欧拉公式 ABFcrll.70例例11.3 11.3 图图11.711.7（a a）所示一细长压杆，截面为）所示一细长压

26、杆，截面为b h的矩的矩形，就形，就xy平面内的弹性曲线而言它是两端铰支，就平面内的弹性曲线而言它是两端铰支，就xz平面内的弹性曲线而言它是两端固定，问平面内的弹性曲线而言它是两端固定，问b和和h的比例的比例应等于多少才合理？应等于多少才合理？bzx(b)(a)hxy22cr220( )EIEIFll0ll在在x-y平面内弯曲时：平面内弯曲时： 223cr220()12zxyEIE bhFll02ll在在x-z平面内弯曲时：平面内弯曲时：223cr22()4()( / 2)12yxzEIEhbFllcrcr()()xyxzFF224hb2hb例例11.4 11.4 两根直径为两根直径为d的圆杆

27、，上、下端分别与刚性板固结，如图的圆杆，上、下端分别与刚性板固结，如图11.8(a)11.8(a)所示。若圆杆为细长压杆，试分析在总压力所示。若圆杆为细长压杆，试分析在总压力F作用下，系作用下，系统可能失稳的几种型式，并求出其中最小的临界压力统可能失稳的几种型式，并求出其中最小的临界压力Fcr。(a)(b)1(Fc r)loFc rxzdda2 2ay(e)(d)(c)( Fc r)4( Fc r)3( Fc r)2(a)(b)1( Fc r)loFc rxzdda22ay(e)(d)(c)( Fc r)4( Fc r)3( Fc r)2(e)(d)(c)( Fc r)4( Fc r)3( F

28、c r)2（1 1）每根压杆作为两端固定的压杆分别失稳）每根压杆作为两端固定的压杆分别失稳( (见图见图11.8(b)11.8(b)。（2 2）两根压杆共同绕）两根压杆共同绕z轴失稳，这时杆端约束下端固定，上端自轴失稳，这时杆端约束下端固定，上端自由。由。（3 3）两根压杆共同绕）两根压杆共同绕yz平面内通过平面内通过O点的任一轴点的任一轴( (除除z轴外轴外) )失稳失稳( (见图见图11.8(d)11.8(d)，这时杆端约束为下端固定，上端自由。，这时杆端约束为下端固定，上端自由。（4 4）两根压杆两端固定，但上端共同产生）两根压杆两端固定，但上端共同产生z方向的位移，每根压方向的位移，每

29、根压杆绕各自形心轴分别失稳杆绕各自形心轴分别失稳( (见图见图11.8(e)11.8(e)例例11.4 11.4 两根直径为两根直径为d的圆杆，上、下端分别与刚性板固结，如图的圆杆，上、下端分别与刚性板固结，如图11.8(a)11.8(a)所示。若圆杆为细长压杆，试分析在总压力所示。若圆杆为细长压杆，试分析在总压力F作用下，系作用下，系统可能失稳的几种型式，并求出其中最小的临界压力统可能失稳的几种型式，并求出其中最小的临界压力Fcr。(a)(b)1(Fc r)loFc rxzdda2 2ay(e)(d)(c)( Fc r)4( Fc r)3( Fc r)2(a)(b)1( Fc r)loFc

30、rxzdda22ay(e)(d)(c)( Fc r)4( Fc r)3( Fc r)2(e)(d)(c)( Fc r)4( Fc r)3( Fc r)2 在在yz平面内，平面内， ，故第，故第2 2种形式较第种形式较第3 3种形式容易失稳；种形式容易失稳； 第第4 4种形式较第种形式较第1 1种形式容易失稳；种形式容易失稳； 第第4 4种形式和第种形式和第2 2种形式的种形式的Imin相等，但第相等，但第2 2种形式的长度因数种形式的长度因数 为最大，故第为最大，故第2 2种形式最容易丧失稳定种形式最容易丧失稳定minzII42234crcr22222641282dEEIEdFFlll一、临界

31、应力一、临界应力 当中心压杆所受压力等于临界轴力而仍旧直立当中心压杆所受压力等于临界轴力而仍旧直立时，其横截面上的压应力称为时，其横截面上的压应力称为临界应力临界应力，用，用 cr 表表示。示。 114 114 欧拉公式适用范围欧拉公式适用范围 临界应力总图临界应力总图AIi 压杆横截面对中性轴的回转半径压杆横截面对中性轴的回转半径2crcr20FEIAlA222cr220EiElli一、临界应力一、临界应力临界应力临界应力令：令：il 称为压杆的称为压杆的长细比（柔度）长细比（柔度）。综合地反映了压杆的长度。综合地反映了压杆的长度 ( (l) )、支承方式支承方式( ( ) )与截面几何性质

32、与截面几何性质 ( (i) ) 对临界应力的影响对临界应力的影响。22Ecr欧拉公式欧拉公式 114 114 欧拉公式适用范围欧拉公式适用范围 临界应力总图临界应力总图222cr220EiElli 越大，相应的越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。越小，压杆越容易失稳。 若若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的长细比不同，应分别计算在各平面内失稳时的长细比 ，并按，并按较大者较大者计算压杆的临界应力计算压杆的临界应力 cr 。一、临界应力一、临界应力22EcrcrcrAF 114 114 欧拉公式适用范围欧拉公式适用范围

33、 临界应力总图临界应力总图 只有只有在在 cr P 的的范围内，才可以用欧拉公式范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界轴力计算压杆的临界轴力 Fcr（临界应力（临界应力 cr ）。）。PcrE22或或PPPEE2二、欧拉公式的适用范围二、欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用条件欧拉公式的适用条件大柔度杆（细长压杆）大柔度杆（细长压杆） p的压杆的压杆 114 114 欧拉公式适用范围欧拉公式适用范围 临界应力总图临界应力总图三、横截面上应力超过比例极限时压杆的临界应力三、横截面上应力超过比例极限时压杆的临界应力若压杆的柔度若压杆的柔度 P P ，欧拉公式已不能使用。这类压杆是在，欧拉公式已不能使用

34、。这类压杆是在应力超过比例极限后失稳的，故称为应力超过比例极限后失稳的，故称为非弹性屈曲非弹性屈曲或或弹塑性失稳弹塑性失稳。对这类压杆，工程计算中一般使用经验公式。对这类压杆，工程计算中一般使用经验公式。柔度很小的短柱，受压时并不会像大柔度杆那样出现弯曲柔度很小的短柱，受压时并不会像大柔度杆那样出现弯曲变形，主要是因为压应力达到屈服点应力变形，主要是因为压应力达到屈服点应力 s s ( (塑性材料塑性材料) )或抗或抗压强度压强度 b b ( (脆性材料脆性材料) )而失效。而失效。对塑性材料，按式对塑性材料，按式(11.10)(11.10)算出的临界应力最高只能等于算出的临界应力最高只能等于

35、 s s 。设相应的柔度为设相应的柔度为 s s ，则，则 114 114 欧拉公式适用范围欧拉公式适用范围 临界应力总图临界应力总图bacr式中：式中：a 和和 b是与材料有关的常数，可查表得出。是与材料有关的常数，可查表得出。1、直线公式、直线公式ssab使用直线公式时使用直线公式时柔度的最小值柔度的最小值 三、横截面上应力超过比例极限时压杆的临界应力三、横截面上应力超过比例极限时压杆的临界应力柔度很小的短柱，受压时并不会像大柔度杆那样出现弯曲柔度很小的短柱，受压时并不会像大柔度杆那样出现弯曲变形，主要是因为压应力达到屈服点应力变形，主要是因为压应力达到屈服点应力 s s ( (塑性材料塑

36、性材料) )或抗或抗压强度压强度 b b ( (脆性材料脆性材料) )而失效。而失效。对塑性材料，按式对塑性材料，按式(11.10)(11.10)算出的临界应力最高只能等于算出的临界应力最高只能等于 s s 。设相应的柔度为设相应的柔度为 s s ，则，则 114 114 欧拉公式适用范围欧拉公式适用范围 临界应力总图临界应力总图bacr式中：式中：a 和和 b是与材料有关的常数，可查表得出。是与材料有关的常数，可查表得出。1、直线公式、直线公式ssab使用直线公式时使用直线公式时柔度的最小值柔度的最小值 sps中柔度杆或中长杆（中柔度杆或中长杆（弹塑性稳定问题弹塑性稳定问题）小柔度杆或短杆（

37、小柔度杆或短杆（强度问题，而无稳定性问题强度问题，而无稳定性问题）三、横截面上应力超过比例极限时压杆的临界应力三、横截面上应力超过比例极限时压杆的临界应力抛物线公式适用于横截面上应力大于材料比例极限抛物线公式适用于横截面上应力大于材料比例极限的压杆的压杆 114 114 欧拉公式适用范围欧拉公式适用范围 临界应力总图临界应力总图式中：式中：a 和和 b是与材料有关的常数，可查表得出。是与材料有关的常数，可查表得出。2、抛物线公式、抛物线公式2crab表示压杆临界应力表示压杆临界应力 cr cr与柔度与柔度 的关系曲线，称为的关系曲线，称为临界应力总图临界应力总图。 计算压杆的临界轴力计算压杆的

38、临界轴力( (或临界应力或临界应力) )，应先计算压杆的柔度。，应先计算压杆的柔度。根据不同的柔度，选用相应的临界轴力根据不同的柔度，选用相应的临界轴力( (或临界应力或临界应力) )的计算式。的计算式。四、四、 临界应力总图临界应力总图 114 114 欧拉公式适用范围欧拉公式适用范围 临界应力总图临界应力总图=ccr抛物线经验公式欧拉公式CBA(b)Ocsa-bcr2Ss=C直线经验公式crBA(a)Op2E2crpscrcra-bFld=cc r抛 物 线 经 验 公 式欧 拉 公 式CBA(b)Ocsa -bc r2Ss=C直 线 经 验 公 式c rBA(a)Op2E2c rpsc

39、rc ra -b在在x-y平面内弯曲时：平面内弯曲时： 在在x-z平面内弯曲时：平面内弯曲时：Fh=150b = 1 0 0zyxzOy3000010.51500mmll01010152/()1/12zzzllliIbhb0226 000mmll020202138.56/()1/12yzyyllliIbhh3pp200 1086.31265yE263crcr202()1.54 10 N1.54 10 kN()yyEIFFl例例11.6 11.6 图图11.1111.11所示钢压杆，材料的弹性模量所示钢压杆，材料的弹性模量E200GPa200GPa，比例极，比例极限限 ，其两端约束分别为：下端固

40、定；上端：在，其两端约束分别为：下端固定；上端：在xOy平面内为夹支，在平面内为夹支，在xOz平面内为自由端。（平面内为自由端。（1 1）计算该压杆的临界）计算该压杆的临界轴力；（轴力；（2 2）从该压杆的稳定角度（在满足）从该压杆的稳定角度（在满足 情况下），情况下），b与与h的比值应等于多少才合理？的比值应等于多少才合理？p265MPap例例11.6 11.6 图图11.1111.11所示钢压杆，材料的弹性模量所示钢压杆，材料的弹性模量E200GPa200GPa，比例极，比例极限限 ，其两端约束分别为：下端固定；上端：在，其两端约束分别为：下端固定；上端：在xOy平面内为夹支，在平面内为夹

41、支，在xOz平面内为自由端。（平面内为自由端。（1 1）计算该压杆的临界）计算该压杆的临界轴力；（轴力；（2 2）从该压杆的稳定角度（在满足）从该压杆的稳定角度（在满足 情况下），情况下），b与与h的比值应等于多少才合理？的比值应等于多少才合理？确定合理的确定合理的b与与h比值：比值： 在满足在满足 情况下，情况下，p265MPapFh=150b = 1 0 0zyxzOy3000zy0102zyllii15006 0001/121/12bh/6000/15004h b p例例11.7 11.7 如图如图11.1211.12所示结构中杆所示结构中杆AB与与BD的材料均为的材料均为Q235Q23

42、5钢，两钢，两杆同为圆截面杆，杆同为圆截面杆，AB杆直径为杆直径为dAB100mm100mm， BD杆直径为杆直径为dBD10mm10mm，l300mm300mm，承受荷载，承受荷载F。试求结构的临界荷载值。试求结构的临界荷载值 F 。已。已知：知：E200GPa200GPa， 。 p200MPaAlllDCBF例题例题1 1 ：图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各：图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相等。问哪个杆先失稳。杆的材料及直径相等。问哪个杆先失稳。aFF1.3aF1. 6adAcB杆杆B B： =1 =1a.l31杆杆C C： =0.7 =0.7aal1216170.

43、杆杆A A： = 2 = 2解：解：A A杆先失稳杆先失稳aFF1.3aF1. 6adAcBal222)( lEIFcr一、安全因数法一、安全因数法 115 115 压杆的稳定计算压杆的稳定计算nst 压杆的稳定安全因数（规范查表）压杆的稳定安全因数（规范查表）FN 压杆的工作轴力压杆的工作轴力 压杆横截面的工作应力压杆横截面的工作应力稳定条件稳定条件注意：注意：1 1、压杆的临界轴力是由压杆的整体变形来决定的，在计算临、压杆的临界轴力是由压杆的整体变形来决定的，在计算临界轴力的公式中，界轴力的公式中，I和和A都按没削弱的横截面尺寸来计算。都按没削弱的横截面尺寸来计算。2 2、对于局部有截面削

44、弱的压杆，除了要进行稳定校核外，还、对于局部有截面削弱的压杆，除了要进行稳定校核外，还应该对压杆削弱了的横截面进行强度校核。应该对压杆削弱了的横截面进行强度校核。 对于实际压杆，以对于实际压杆，以Fcr作为外荷载相应的控制值是不安全的。作为外荷载相应的控制值是不安全的。crNstFFncrcrstNFnnFFcr 压杆的临界轴力压杆的临界轴力 cr 压杆横截面的临界应力压杆横截面的临界应力n 压杆的工作安全因数压杆的工作安全因数例例11.8 11.8 三角支架受力如图三角支架受力如图11.1311.13（a a）所示。其中）所示。其中BC杆为杆为1010号工字号工字钢，其弹性模量钢，其弹性模量

45、E200GPa200GPa， 比例极限比例极限 。AB杆长度杆长度为为lAB=1.5m=1.5m，若稳定安全因数，若稳定安全因数 ，试从，试从BC杆的稳定考虑，求杆的稳定考虑，求结构的许用荷载结构的许用荷载 F 。 p200MPast2.2n 图1 1 .1 3FNB CFBFN A B(b)4 5 4 5ozy(a)CA4 5oFB图1 1 .1 3FNB CFBFN A B(b)4 5 4 5ozy(a)CA4 5oFBN22BCFF3pp200 10 MPa99.35200MPaEmin1.52cm15.2mmzii2214.345cm1434.5mmA30112 1.5 10 mm13

46、9.615.2mmzzlliip2232crN22stst200 10 MPa 1434.5mm66kN139.62.2BCFEAFnnN2 46.7kN2BCFF二、稳定因数法二、稳定因数法 115 115 压杆的稳定计算压杆的稳定计算FN 压杆的工作轴力压杆的工作轴力f 考虑一定塑性的材料抗压强度设计值（详见规范）考虑一定塑性的材料抗压强度设计值（详见规范）轴心受压杆件的稳定条件轴心受压杆件的稳定条件A压杆截面的毛截面面积压杆截面的毛截面面积压杆的压杆的稳定因数稳定因数或或折减因数折减因数（与材料有关且为柔度（与材料有关且为柔度的函数）的函数）2cr2EN c rc r sss ts t

47、ss tFfAn nn NFfAN c r c r sss t s t ss tFfAnnn Nc rc r sss ts tss tFfAn nn crs( )1 在钢压杆中在钢压杆中40图11.14 我 国 的 柱 子 曲 线0.20.61.080 120 160 2000abcd上 下 变 动上 下 变 动crNstFFn例例11.9 11.9 如图如图11.15(a)11.15(a)所示结构是由两根直径相同的圆杆组成，杆所示结构是由两根直径相同的圆杆组成，杆的材料为的材料为Q235Q235钢，已知钢，已知h=0.4m=0.4m，杆直径，杆直径d=20mm=20mm，荷载，荷载F=15k

48、N=15kN，其钢材的抗压强度设计值其钢材的抗压强度设计值f =215MPa215MPa，试校核此结构在图平面内，试校核此结构在图平面内的稳定性。的稳定性。 3045(a)ACBFhddFN A CFN A B3 0 4 5 OxyFA(b)NNNN0 cos45cos300 sin45sin30ixABACiyABACFFFFFFF ，NN ABACFFFF ，例例11.9 11.9 如图如图11.15(a)11.15(a)所示结构是由两根直径相同的圆杆组成，杆所示结构是由两根直径相同的圆杆组成，杆的材料为的材料为Q235Q235钢，已知钢，已知h=0.4m=0.4m，杆直径，杆直径d=20

49、mm=20mm，荷载，荷载F=15kN=15kN，其钢材的抗压强度设计值其钢材的抗压强度设计值f =215MPa215MPa，试校核此结构在图平面内，试校核此结构在图平面内的稳定性。的稳定性。 3045(a)ACBFhddFNACFNAB3045OxyFA(b)NN ABACFFFF ，212400113.14/420/421 2 400160/420/4AB ABABABABAC ACACACAClhidlhid 0.4750.14 (0.4750.470)0.4743 0.276ABAC例例11.9 11.9 如图如图11.15(a)11.15(a)所示结构是由两根直径相同的圆杆组成，杆所示结构是由两根直径相同的圆杆组成，杆的材料为的材料为Q235Q235钢，已知钢，已知h=0.4m=0.4m，杆直径，杆直径d=20mm=20mm，荷载，荷载F=15kN=15kN，其钢材的抗压强度设计值其钢材的抗压强度设计值f =215MPa215MPa，试校核此结构在图平面内，试校核此结构在图平面内的稳定性。的稳定性。 3045(a)ACBFhddFNACFNAB3045OxyFA(b)NN ABACFFFF ，0.4743 0.276ABACN2220.8960.