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文档简介
1、-锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图从地而上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45。,向前 走6m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60。和30。.拐PA B(1)求Z BPQ的度数:(1) Z BPQ二9060二30;(2) 设 PE二x 米. 在直角 APE中, 则 AE=PE=x 米: Z PBE=60 Z BPE=30在直角ABPE中,BE二迈PE二Ex米,33(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到lm).备用数据:盯农1_7, 缶L4【答案】(1) ZBPQ=30;(2)该电线杆PQ的髙度约为9m.【解析】试题分析:(1)延长PQ交
2、直线AB于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可:(2)设PE=x米,在直角AAPE和直角ABPE中,根据三角函数利用x表示出AE和BE,根 AB=AE-BE即可列岀方程求得x的值,再在直角ABQE中利用三角函数求得QE的长,则 PQ的长度即可求解.试题解析:延长PQ交直线AB于点E,Z A二45, AB=AE-BE=6 米,贝 Ix-x=6t3解得:x=9+3jj则 BE= (3 JJ+3)米.在直角 ABEQ 中,QE=JIbE= (3J3+3) = (3+JJ )米.3 3PQ=PE-QE=9+3 73 -(3+3)=6+2 3 =9 (米).答:电线杆PQ的髙度约9米.考点:解直角三角
3、形的应用-仰角俯角问题.2.已知RtA ABC中,AB是00的弦,斜边AC交。0于点D,且AD=DC,延长CB交00(1)图1的A、B、C、D、E五个点中,是否存在某两点间的距离等于线段CE的长?请说 明理由:(2)如图2,过点E作OO的切线,交AC的延长线于点F. 若CF=CD时,求sinZ CAB的值; 若CF=aCD (a0)时,试猜想sinZ CAB的值.(用含a的代数式表示,直接写岀结 果)p3 /aTZ【答案】(1) AE=CE; (2)3;a + 2.【解析】试题分析:(1)连接AE、DE,如图1,根据圆周角泄理可得Z ADE=Z ABE=90%由于AD=DC,根据垂直平分线的性
4、质可得AE=CE;(2)连接AE、ED,如图2,由Z ABE=90可得AE是。0的直径,根据切线的性质可得 Z AEF=90,从而可证到ADE-4AEF,然后运用相似三角形的性质可We2=AD.AF. 当CF=CD时,可得AE2 = 3CD从而有ec=AE=WcD, RtA DEC中运用三角函数可得DCsinZ CED= ,根据圆周角泄理可得Z CAB=Z DEC,即可求出sinZ CAB的值;当 CF=aCD (a0)时,同即可解决问题.试题解析:(i) AE=CE.理由:连接 AE、DE,如图 1, Z ABC=90, /. Z ABE=90, /. Z ADE=Z ABE二90, T A
5、D二DC, AE=CE:(2)连接AE、ED,如图2, VZABE=90, A AE是OO的直径,V EF是OOO的切线, AE AD Z AEF=90% Z ADE=Z AEF=90 又T Z DAE=Z EAF,厶 ADE-厶 AEF, /. Al; AE :.AEad-AF. 当 CF二CDH寸,AD二DC二CF, AF=3DC, AE=DC, T EC二AEDC DC 护 EC=BdC, Sinz CAB=sinZ CED=EC=V,JDC= 3 : 当 CF=aCD (a0)时,sinZ CAB= a + 2 TCF二aCD, AD二DC,. AF二AD+DC+CF二(a+2 ) C
6、D,(a+2) DC= (a+2) DC?, :.AE=VF2DC, .EC=AE, /. EC=Va + 2dc,考点:1 圆的综合题:2.探究型:3.存在型.3.如图,等腰AABC 中,AB二AC, Z BAC=36% BC=1,点 D 在边 AC 上且 BD 平分Z ABC, 设 CD二x.(1) 求证: ABC-心 BCD:(2) 求x的值:(3) 求 cos36o-cos72的值.A【答案】证明见解析:(2) 土JE: (3) 7近+ X .2 16【解析】试题分析:(1)由等腰三角形ABC中,顶角的度数求出两底角度数,再由BD为角平分线 求出ZDBC的度数,得到Z DBC=Z A,
7、再由ZC为公共角,利用两对角相等的三角形相似得 到三角形ABC与三角形BCD相似:(2)根据(1)结论得到AD=BD=BC,根据AD+DC表示出AC,由(1)两三角形相似得比 例求岀x的值即可;(3)过B作BE垂直于AC,交AC于点E,在直角三角形ABE和直角三角形BCE中,利用 锐角三角函数左义求出cos36。与cos72。的值,代入原式计算即可得到结果.试题解析:(1) 等腰AABC 中,AB=AC, Z BAC=36, Z ABC=Z C=72%BD平分Z ABC, Z ABD=Z CBD=36% Z CBD二Z A二36, ZC=ZC, ABC- a BCD;(2)V Z A=Z AB
8、D=36 AD二BD, BD 二 BC, AD=BD=CD=1,设 CD二x,则有 AB=AC=x+l, ABC- BCD,而=乔1 T = 7AB BC _x+l 1整理得:x2+x-l=0,勲护宀詔护(负值,舍去,2(3)过B作BE丄AC,交AC于点E,:.E 为 CD 中点,即 DE=CE=5/5+12-1+石4-1 + /5 9144,AE4在 RtA ABE 中,cosA=cos36=一分ABBC在 RtA BCE 中,cosC=cos72= EC贝Icos36-cos72= =_1 - _=.4 42【考点】1.相似三角形的判左与性质;2.等腰三角形的性质;3.黄金分割;4.解直角
9、三角 形4 问题背景:如图幺儿点人、B在直线I的同侧,要在直线I上找一点C,使AC与BC的距离之和最 小,我们可以作出点B关于I的对称点B:连接A B匀直线I交于点C,则点C即为所求.B:、I :、I(1)实践运用:如图(b),已知,OO的直径CD为4,点A在OO上,Z ACD=30, B为弧AD的中点,P为 直径CD上一动点,则BP+AP的最小值为_.(2)知识拓展:如图(c),在RtA ABC中,AB=10. Z BAC=45 Z BAC的平分线交BC于点D, E、F分别是 线段AD和AB上的动点,求BE+EF的最小值,并写出解答过程.【答案】解:(1)2迈.(2)如图,在斜边AC上截取A
10、BSB,连接BB:AD平分Z BAC,点B与点B关于直线AD对称.过点B作BF丄AB,垂足为F,交AD于E,连接BE.则线段BT的长即为所求(点到直线的距离最短).在 RtA AFB,中, Z BAC二45, AB/=,AB=H 10, BT = AB-sin45c=.AB-sin45 =10x= 5J2 2BE+EF的最小值为5血【解析】试题分析:(1)找点A或点B关于CD的对称点,再连接其中一点的对称点和另一点,和 MN的交点P就是所求作的位麗,根据题意先求岀Z CAE,再根拯勾股泄理求岀AE,即可 得出PA+PB的最小值:如图作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点P,此时PA+PB
11、最小,且等于A.作直径AU,连接CE,根据垂径左理得弧BD= DETZACD二30. Z AOD=60 Z DOE=30 /. Z AOE=90. Z CZAE=45.又AC为圆的直径,Z AEC=90. Z C=Z CAE二45。 CE=AE=a/? ACj= 22 AP+BP的最小值是22(2)首先在斜边AC上截取ABAB,连接BB,,再过点X作B乍丄AB,垂足为F,交AD于E,连接BE,则线段B乍的长即为所求.5.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分5 分)已知:如图,A3是半圆。的直径,弦CD/AB.动点P、Q分别在线段OC、CD 上,且DQ
12、= OP, AP的延长线与射线O0相交于点E、与弦CD相交于点F (点F与(1)求证:AP = OQ.(2)求y关于的函数关系式,并写出它的左义域:(3)当AOPE是直角三角形时,求线段OP的长.【答案】(1)证明见解析;(2) y = 3r6()A + 3()()(x中已证的结论,注 意要对不符合(2)中定义域的答案舍去.【详解】(1)联结OD, T OC = OD,:.ZOCD = ZODC,CD!/AB,:.Z.OCD = ZCOA,乙POA = AQDO.在SAOP和、ODQ中,OP = DQZPOA = ZQDO,OA = DO:.SAOP 里 ODQ,:.AP = OQ.(2)作P
13、H丄Q4,交OA于H,4.* cos ZAOC =-54 43OH =-OP = -x, PH = =x,5 55 S、op = AO PH = 3x CDIIAB,APFC- APAO,. CD = 2OCcosZ(9C = 2xl0x- = 16,5= Wwx = 一,10-x16133x2-60x + 300 z50 y =( vxvlO):x13(3)当ZOPE = 90 时,ZOPA = 90 .41025OP = OAcosAAOC = lOx = 8:当 ZPOE = 90 时,CQ cosZQCO cosZAOC_y25 让 257=lo=2 2 2/bE2 + DE2 = /
14、62 +42 = 2/13 v s = /1313/ RtA ABC 中,AB= J32+42 =5,RtA ABF中,AF _ 6/13 _ 6VT3sinZ ABF = sinZ ABD=1365 T方法二、如图2所示,过点0作OF丄AB于点F,同理可得,OB=lfiD = V13,2Sa aob = OF* AB = OA BC t2 22x36I OF= 955T 在 RtA BOF 中,_ OF 6613sinZ FBO _ =OB 5V1365/. sinZ ABD=本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质,矩形的判定和性质,平行四边形的性质 和解直角三角形求线段的长度,关键是正
15、确添加辅助线和三角形而积的讣算公式求岀 sinZ ABD3如图,A ABC中,AC=BC=10, cosC=- 点P是AC边上一动点(不与点A、C重合),以PA长为半径的OP与边AB的另一个交点为D,过点D作DE丄CB于点E.(1)当0P与边BC相切时,求OP的半径.(2)连接BP交DE于点F,设AP的长为x, PF的长为y,求y关于x的函数解析式,并直 接写岀x的取值范围.(3)在(2)的条件下,当以PE长为直径的OQ与OP相交于AC边上的点G时,求相交 所得的公共弦的长.备用图3砲厶2一心; 5-,()-【解析】【分析】3(1)设0P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP丄
16、BC, cosC=- 则4 HP R4sinC= , sinC=, 即 口 J 求解;5 CP 10-/? 5EB BF(2)首先证明PDII BE,则而=丽,BP:2 5 A _ Vx2-8x + 80-y ,即可求解;X(3)证明四边形PDBE为平行四边形,则AG = EP = BD,即:AB = DB+AD = AG+AD = 4点即可求解.【详解】(1设0P与边BC相切的切点为H.圆的半径为R,3 4连接 HP,则 HP丄BC, cosC=-,则 sinC=-,55CP 10-/?540R=:9(2)在AABC 中,AC=BC = 10,cosC= 设 AP = PD = x, ZA=
17、ZABC=B,过点B作BH丄AC,AB=4 /5 贝lj: tanZ CAB = 2x皂型,即:PD PFBP= JF+(x-4)2 = 7x2-8x+80 DA=jlx,则 BD=4$-兰 x,55如卜图所示,PA=PD, /. Z PAD = Z CAB = Z CBA = B,2tanB = 2,贝lj cosp= -j= , sinp= ,EB = BDcosB= 由此可得 HK二a, tanZ AKH=3, AK二 JTa,结合 AK=7To 可得 a=HK则 AC=5:任四边形 BGKH 中,由Z BHK=Z BKG=9O,可得Z ABG+Z HKG=180 结合Z AKH+z G
18、KG=180% Z ACG=Z ABG 可得Z ACG=Z AKH,4 PN在 RtAAPN 中,由 tanZ CAH=- =,可设 PN=12b, AP=9b,由3 APPN5tanZ ACG=tanZ AKH=3 可得 CP二4b,由此可得 AC=AP+CP= 13/?=5 则可得 b二一,由 CP13此即可在RtA CPN中由勾股迄理解出CN的长.试题解析:0G丄EF, Z AGO+Z AGE=90 CD丄AB于H, Z AHD=90% Z OAG=Z AKH=90, OA=OG,Z AGO=Z OAG, Z AGE=Z AKH, Z EKG=Z AKH, Z EKG=Z AGE, KE
19、=GE.(2) 设Z FGB二a, AB是直径, Z AGB=90 Z AGEJ=Z EKG=9O - a, Z E=180 - Z AGE - Z EKG=2a.1 Z FGB=-Z ACH,2 Z ACH=2a, Z ACH=Z E, CAII FE.(3) 作NP丄AC于P. Z ACH=Z E,AH 3sinZ E=sinZ ACH=,设 AH=3a AC=5a,AC 5i_:?CH 4则 CH=7aC2-CH2 =4rz tanZCAH二罚=亍 CAII FE, Z CAK=Z AGE, Z AGE=Z AKH, Z CAK=Z AKH,AH)rAC=CK=5a. HK=CK- CH=4a, tanZ AKH=3,=HK AK=V1O 顶a = V10 ,a=l AC=5 * Z BHD=Z AGB=90, Z BHD+Z AGB=180,在四边形 BGKH 中,Z BHD+z HKG+Z AGB+z ABG=360 Z ABG+Z HKG=180 Z AKH+Z HKG=180, Z AKH=Z ABG, Z ACN=Z ABG, Z AKH=Z ACN,/. tanZ AKH=tanZ ACN=3 NPAC 于 P, Z APN=Z
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