中考数学锐角三角函数综合题汇编附详细答案

1、-锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图从地而上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45。，向前 走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60。和30。.拐PA B（1）求Z BPQ的度数：(1) Z BPQ二9060二30；(2) 设 PE二x 米. 在直角 APE中， 则 AE=PE=x 米: Z PBE=60 Z BPE=30在直角ABPE中,BE二迈PE二Ex米,33（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到lm）.备用数据：盯农1_7, 缶L4【答案】（1） ZBPQ=30；（2）该电线杆PQ的髙度约为9m.【解析】试题分析：（1）延长PQ交

2、直线AB于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可：（2）设PE=x米，在直角AAPE和直角ABPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE,根 AB=AE-BE即可列岀方程求得x的值，再在直角ABQE中利用三角函数求得QE的长，则 PQ的长度即可求解.试题解析：延长PQ交直线AB于点E,Z A二45, AB=AE-BE=6 米,贝 Ix-x=6t3解得：x=9+3jj则 BE= （3 JJ+3）米.在直角 ABEQ 中，QE=JIbE= （3J3+3） = （3+JJ ）米.3 3PQ=PE-QE=9+3 73 -（3+3）=6+2 3 =9 （米）.答：电线杆PQ的髙度约9米.考点：解直角三角

3、形的应用-仰角俯角问题.2.已知RtA ABC中，AB是00的弦，斜边AC交。0于点D,且AD=DC,延长CB交00（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说 明理由：（2）如图2,过点E作OO的切线，交AC的延长线于点F. 若CF=CD时，求sinZ CAB的值； 若CF=aCD （a0）时，试猜想sinZ CAB的值.（用含a的代数式表示，直接写岀结 果）p3 /aTZ【答案】（1） AE=CE； （2）3；a + 2.【解析】试题分析：（1）连接AE、DE,如图1,根据圆周角泄理可得Z ADE=Z ABE=90%由于AD=DC,根据垂直平分线的性

4、质可得AE=CE；（2）连接AE、ED,如图2,由Z ABE=90可得AE是。0的直径，根据切线的性质可得 Z AEF=90,从而可证到ADE-4AEF,然后运用相似三角形的性质可We2=AD.AF. 当CF=CD时，可得AE2 = 3CD从而有ec=AE=WcD, RtA DEC中运用三角函数可得DCsinZ CED= ，根据圆周角泄理可得Z CAB=Z DEC,即可求出sinZ CAB的值；当 CF=aCD （a0）时，同即可解决问题.试题解析：（i） AE=CE.理由：连接 AE、DE,如图 1, Z ABC=90, /. Z ABE=90, /. Z ADE=Z ABE二90, T A

5、D二DC, AE=CE：(2)连接AE、ED,如图2, VZABE=90, A AE是OO的直径,V EF是OOO的切线， AE AD Z AEF=90% Z ADE=Z AEF=90 又T Z DAE=Z EAF,厶 ADE-厶 AEF, /. Al； AE :.AEad-AF. 当 CF二CDH寸,AD二DC二CF, AF=3DC, AE=DC, T EC二AEDC DC 护 EC=BdC, Sinz CAB=sinZ CED=EC=V，JDC= 3 : 当 CF=aCD (a0)时，sinZ CAB= a + 2 TCF二aCD, AD二DC,. AF二AD+DC+CF二(a+2 ) C

6、D,(a+2) DC= (a+2) DC?, :.AE=VF2DC, .EC=AE, /. EC=Va + 2dc,考点：1 圆的综合题：2.探究型：3.存在型.3.如图，等腰AABC 中，AB二AC, Z BAC=36% BC=1,点 D 在边 AC 上且 BD 平分Z ABC, 设 CD二x.(1) 求证： ABC-心 BCD：(2) 求x的值：(3) 求 cos36o-cos72的值.A【答案】证明见解析：（2） 土JE： （3） 7近+ X .2 16【解析】试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线 求出ZDBC的度数，得到Z DBC=Z A,

7、再由ZC为公共角，利用两对角相等的三角形相似得 到三角形ABC与三角形BCD相似：（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC,根据AD+DC表示出AC,由（1）两三角形相似得比 例求岀x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC,交AC于点E,在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用 锐角三角函数左义求出cos36。与cos72。的值，代入原式计算即可得到结果.试题解析：（1） 等腰AABC 中，AB=AC, Z BAC=36, Z ABC=Z C=72%BD平分Z ABC, Z ABD=Z CBD=36% Z CBD二Z A二36, ZC=ZC, ABC- a BCD；（2）V Z A=Z AB

8、D=36 AD二BD, BD 二 BC, AD=BD=CD=1,设 CD二x,则有 AB=AC=x+l, ABC- BCD,而=乔1 T = 7AB BC _x+l 1整理得：x2+x-l=0,勲护宀詔护（负值，舍去，2（3）过B作BE丄AC,交AC于点E,:.E 为 CD 中点，即 DE=CE=5/5+12-1+石4-1 + /5 9144,AE4在 RtA ABE 中，cosA=cos36=一分ABBC在 RtA BCE 中,cosC=cos72= EC贝Icos36-cos72= =_1 - _=.4 42【考点】1.相似三角形的判左与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角

9、三角 形4 问题背景：如图幺儿点人、B在直线I的同侧，要在直线I上找一点C,使AC与BC的距离之和最 小，我们可以作出点B关于I的对称点B：连接A B匀直线I交于点C,则点C即为所求.B:、I :、I(1)实践运用：如图(b),已知，OO的直径CD为4,点A在OO上，Z ACD=30, B为弧AD的中点，P为 直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为_.(2)知识拓展：如图(c),在RtA ABC中，AB=10. Z BAC=45 Z BAC的平分线交BC于点D, E、F分别是 线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.【答案】解：(1)2迈.（2）如图，在斜边AC上截取A

10、BSB,连接BB：AD平分Z BAC,点B与点B关于直线AD对称.过点B作BF丄AB,垂足为F,交AD于E,连接BE.则线段BT的长即为所求（点到直线的距离最短）.在 RtA AFB，中， Z BAC二45, AB/=,AB=H 10, BT = AB-sin45c=.AB-sin45 =10x= 5J2 2BE+EF的最小值为5血【解析】试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和 MN的交点P就是所求作的位麗，根据题意先求岀Z CAE,再根拯勾股泄理求岀AE,即可 得出PA+PB的最小值：如图作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点P,此时PA+PB

11、最小，且等于A.作直径AU,连接CE,根据垂径左理得弧BD= DETZACD二30. Z AOD=60 Z DOE=30 /. Z AOE=90. Z CZAE=45.又AC为圆的直径，Z AEC=90. Z C=Z CAE二45。 CE=AE=a/? ACj= 22 AP+BP的最小值是22（2）首先在斜边AC上截取ABAB,连接BB，,再过点X作B乍丄AB,垂足为F,交AD于E,连接BE,则线段B乍的长即为所求.5.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5 分）已知：如图，A3是半圆。的直径，弦CD/AB.动点P、Q分别在线段OC、CD 上，且DQ

12、= OP, AP的延长线与射线O0相交于点E、与弦CD相交于点F （点F与（1）求证：AP = OQ.（2）求y关于的函数关系式，并写出它的左义域：（3）当AOPE是直角三角形时，求线段OP的长.【答案】（1）证明见解析；（2） y = 3r6（）A + 3（）（）（x中已证的结论，注 意要对不符合（2）中定义域的答案舍去.【详解】（1）联结OD, T OC = OD,:.ZOCD = ZODC,CD!/AB,:.Z.OCD = ZCOA,乙POA = AQDO.在SAOP和、ODQ中，OP = DQZPOA = ZQDO,OA = DO:.SAOP 里 ODQ,:.AP = OQ.（2）作P

13、H丄Q4,交OA于H,4.* cos ZAOC =-54 43OH =-OP = -x, PH = =x,5 55 S、op = AO PH = 3x CDIIAB,APFC- APAO,. CD = 2OCcosZ（9C = 2xl0x- = 16,5= Wwx = 一，10-x16133x2-60x + 300 z50 y =（ vxvlO）：x13（3）当ZOPE = 90 时，ZOPA = 90 .41025OP = OAcosAAOC = lOx = 8:当 ZPOE = 90 时，CQ cosZQCO cosZAOC_y25 让 257=lo=2 2 2/bE2 + DE2 = /

14、62 +42 = 2/13 v s = /1313/ RtA ABC 中，AB= J32+42 =5,RtA ABF中,AF _ 6/13 _ 6VT3sinZ ABF = sinZ ABD=1365 T方法二、如图2所示，过点0作OF丄AB于点F,同理可得，OB=lfiD = V13,2Sa aob = OF* AB = OA BC t2 22x36I OF= 955T 在 RtA BOF 中，_ OF 6613sinZ FBO _ =OB 5V1365/. sinZ ABD=本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质 和解直角三角形求线段的长度，关键是正

15、确添加辅助线和三角形而积的讣算公式求岀 sinZ ABD3如图，A ABC中，AC=BC=10, cosC=- 点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），以PA长为半径的OP与边AB的另一个交点为D,过点D作DE丄CB于点E.（1）当0P与边BC相切时，求OP的半径.（2）连接BP交DE于点F,设AP的长为x, PF的长为y,求y关于x的函数解析式，并直 接写岀x的取值范围.（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的OQ与OP相交于AC边上的点G时，求相交 所得的公共弦的长.备用图3砲厶2一心； 5-，（）-【解析】【分析】3（1）设0P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP丄

16、BC, cosC=- 则4 HP R4sinC= , sinC=, 即 口 J 求解;5 CP 10-/? 5EB BF（2）首先证明PDII BE,则而=丽，BP：2 5 A _ Vx2-8x + 80-y ,即可求解;X（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG = EP = BD,即：AB = DB+AD = AG+AD = 4点即可求解.【详解】（1设0P与边BC相切的切点为H.圆的半径为R,3 4连接 HP,则 HP丄BC, cosC=-,则 sinC=-,55CP 10-/?540R=:9(2)在AABC 中，AC=BC = 10,cosC= 设 AP = PD = x, ZA=

17、ZABC=B，过点B作BH丄AC,AB=4 /5 贝lj： tanZ CAB = 2x皂型,即:PD PFBP= JF+(x-4)2 = 7x2-8x+80 DA=jlx,则 BD=4$-兰 x,55如卜图所示，PA=PD, /. Z PAD = Z CAB = Z CBA = B，2tanB = 2,贝lj cosp= -j= , sinp= ,EB = BDcosB= 由此可得 HK二a, tanZ AKH=3, AK二 JTa,结合 AK=7To 可得 a=HK则 AC=5：任四边形 BGKH 中，由Z BHK=Z BKG=9O,可得Z ABG+Z HKG=180 结合Z AKH+z G

18、KG=180% Z ACG=Z ABG 可得Z ACG=Z AKH,4 PN在 RtAAPN 中，由 tanZ CAH=- =，可设 PN=12b, AP=9b,由3 APPN5tanZ ACG=tanZ AKH=3 可得 CP二4b,由此可得 AC=AP+CP= 13/?=5 则可得 b二一，由 CP13此即可在RtA CPN中由勾股迄理解出CN的长.试题解析：0G丄EF, Z AGO+Z AGE=90 CD丄AB于H, Z AHD=90% Z OAG=Z AKH=90, OA=OG,Z AGO=Z OAG, Z AGE=Z AKH, Z EKG=Z AKH, Z EKG=Z AGE, KE

19、=GE.(2) 设Z FGB二a, AB是直径， Z AGB=90 Z AGEJ=Z EKG=9O - a, Z E=180 - Z AGE - Z EKG=2a.1 Z FGB=-Z ACH,2 Z ACH=2a, Z ACH=Z E, CAII FE.(3) 作NP丄AC于P. Z ACH=Z E,AH 3sinZ E=sinZ ACH=,设 AH=3a AC=5a,AC 5i_:?CH 4则 CH=7aC2-CH2 =4rz tanZCAH二罚=亍 CAII FE, Z CAK=Z AGE, Z AGE=Z AKH, Z CAK=Z AKH,AH)rAC=CK=5a. HK=CK- CH=4a, tanZ AKH=3,=HK AK=V1O 顶a = V10 ,a=l AC=5 * Z BHD=Z AGB=90, Z BHD+Z AGB=180,在四边形 BGKH 中,Z BHD+z HKG+Z AGB+z ABG=360 Z ABG+Z HKG=180 Z AKH+Z HKG=180, Z AKH=Z ABG, Z ACN=Z ABG, Z AKH=Z ACN,/. tanZ AKH=tanZ ACN=3 NPAC 于 P, Z APN=Z