第四章机械振动

1、振动与波动振动振动简谐振动简谐振动阻尼振动、受迫阻尼振动、受迫振动和共振振动和共振振动的合成振动的合成波动波动机械波及其波动方程机械波及其波动方程机械波的能量与能流机械波的能量与能流波动反射折射与衍射波动反射折射与衍射波的叠加、干涉与驻波波的叠加、干涉与驻波多普勒效应多普勒效应（物理量随时间在某一固定值附近作周期性变化）（振动在空间的传播现象）振动与波动机械振动：机械振动：物体在一特定的位置（平衡位置）物体在一特定的位置（平衡位置） 附近做周期性运动。附近做周期性运动。广义振动：广义振动：任一物理量在某固定值附近作任一物理量在某固定值附近作 周期性的变化。周期性的变化。交流电电流强度电磁振荡电

2、场强度磁感应强度机械振动位置矢量振动振动振动振动振动在空间的传播。振动在空间的传播。振动是产生波动的根源振动是产生波动的根源波动是振动这种运动形式和能量在空间的传播波动是振动这种运动形式和能量在空间的传播波动是相互联系着的一系列振动。波动是相互联系着的一系列振动。电磁波、光电磁振荡声波、超声波、次声波机械振动在空间激发在空间激发各种振动和波动运动有着很多共同的特征。各种振动和波动运动有着很多共同的特征。波动波动第第4章章 机械振动机械振动4.1 4.1 简谐振动简谐振动4.2 4.2 简谐振动的案例分析简谐振动的案例分析4.3 4.3 谐振动的合成谐振动的合成4.4 4.4 阻尼振动，受迫振动

3、和共振阻尼振动，受迫振动和共振4.1 4.1 简谐振动简谐振动1. 简谐振动的运动学描述简谐振动的运动学描述2. 简谐振动的动力学描述简谐振动的动力学描述3. 简谐振动振动的旋转矢量表述简谐振动振动的旋转矢量表述4. 谐振动振动的能量谐振动振动的能量4.1.1 简谐振动运动学描述简谐振动运动学描述 定义定义: 特点特点: (1)等幅振动等幅振动 (2)周期振动周期振动x 是描述位置的物理量是描述位置的物理量,如如 y , z 或或 等等.) 2cos()(tTAtx m)()(Ttxtx 研究简谐振动的意义研究简谐振动的意义:OxtTT2mxO4.1 4.1 简谐振动简谐振动mxO4.1 4.

4、1 简谐振动简谐振动1.简谐振动的代数表达简谐振动的代数表达谐振方程谐振方程）（tTAx2cos利用欧拉方程表达成复数形式：利用欧拉方程表达成复数形式：）（tTiAex2谐振方程谐振方程谐振方程由谐振方程由A、T、 三个参量确定。三个参量确定。谐振方程中各量的物理意义：谐振方程中各量的物理意义：位移位移x：振子在时刻振子在时刻t相对平衡位置的位移，单位为相对平衡位置的位移，单位为m。）（tTAx2cos振幅振幅A：振子相对平衡位置的最大位移，单位为振子相对平衡位置的最大位移，单位为m。周期周期T：振动一次所用的时间，单位为振动一次所用的时间，单位为s。4.1 4.1 简谐振动简谐振动T1若令：

5、若令：称为称为频率频率振子单位时间振动的次数，单位为振子单位时间振动的次数，单位为1/s=Hz（赫兹）（赫兹）再令：再令：T22称为称为角频率角频率振子在振子在2 秒时间秒时间振动的次数，单位为振动的次数，单位为rad/s4.1 4.1 简谐振动简谐振动频率频率 ：角频率角频率 ：）（tAx2cos）（tAxcos简谐振子的运动状态由简谐振子的运动状态由（ t+ ）唯一决定。唯一决定。）（tAxcos 表征了简谐振子表征了简谐振子t时刻的振动状态。也称为相时刻的振动状态。也称为相角，它是时间的函数，单位为角，它是时间的函数，单位为rad（弧度）。（弧度）。简谐振子在简谐振子在0时刻的相位值，由

6、振子的初始状态决定时刻的相位值，由振子的初始状态决定。相位（相位（ t+ ）：初相位初相位 ：4.1 4.1 简谐振动简谐振动相位相位（ t+ ）的性质：的性质：当特征参量给定后，振子的当特征参量给定后，振子的运动状态运动状态由相位由相位唯一决定。唯一决定。相位是时间的函数，规定了振子运动状态的相位是时间的函数，规定了振子运动状态的变化趋势变化趋势。相位也反映了相位也反映了简谐振子振动的周期性简谐振子振动的周期性。相位每改变相位每改变 2 振动重复一次振动重复一次,相位相位 2 范围内变化范围内变化,状态不重复状态不重复. txOA- A = 2 4.1 4.1 简谐振动简谐振动v 相位差相位

7、差 )cos(1111tAx)cos(2222tAx)()(1122tt12时）（当12若若 212k若若两振动步调相同两振动步调相同, ,称同相称同相。) 12(12k两振动步调相反两振动步调相反 , , 称反相。称反相。 m2 x2Ok2 m1 k1x1 xtoA1A2- A2x1x2T- A1x2TxoA1- A1A2- A2x1t4.1 4.1 简谐振动简谐振动2.简谐振动的图形表达简谐振动的图形表达振动曲线振动曲线振动曲线振动曲线t（s）x（m）A1-A1TTA1cos1A2-A2A2cos2）（tAxcos4.1 4.1 简谐振动简谐振动t（s）x（m）A-A曲线曲线1曲线曲线2t

8、t212112)2()2(nnttt0 , 01212ttt当：振动振动2比振动比振动1落后落后4.1 4.1 简谐振动简谐振动t（s）x（m）A-A曲线曲线1曲线曲线2tt2112ttt0 , 01212ttt当：振动振动2比振动比振动1超前超前4.1 4.1 简谐振动简谐振动例例1.如图的谐振动如图的谐振动x-t 曲线，试求其谐振方程曲线，试求其谐振方程(s)t(m)xO212解：解：由图知m2AT2可得：振动表达式为)cos(tAx由t=0时：0 xcos0A2得：s2T4.1 4.1 简谐振动简谐振动又由：即：0sinA0sin2)(2cos(2mtx)sin(ddtAvtx0dd00

9、vtxt(s)t(m)xO2124.1 4.1 简谐振动简谐振动例例2.如图的谐振动如图的谐振动x-t 曲线，试求其曲线，试求其谐振方程谐振方程解：解：由图知(s)tm)c ( xO101471013.1m0A62T可得：s12113T由由t=1时时：0 x)6cos(0振动表达式为振动表达式为)cos(tAx4.1 4.1 简谐振动简谐振动即：0)sin(A0)sin(26)(326cos(101mtx)sin(ddtAvtx0dd11vtxt4.1 4.1 简谐振动简谐振动(s)tm)c ( xO101471013u 4.1.2 简谐运动动力学描述简谐运动动力学描述1. 受力特点受力特点机

10、械振动的力学特点机械振动的力学特点线性恢复力线性恢复力kxF Okxl0 x m4.1 4.1 简谐振动简谐振动其中其中 为为 固有角频率固有角频率mk 4.1 4.1 简谐振动简谐振动2. 动力学方程动力学方程makxF0dd222xtx) cos()(tAtx运动微分方程运动微分方程22dtxda 其中其中4. 振幅和初相位的确定振幅和初相位的确定) cos()(tAtxcos0Ax ) sin( tAvsin 0Av22020vxA)arctan(00 xv注意注意: 如何确定最后的如何确定最后的 .4.1 4.1 简谐振动简谐振动3. 速度和加速度速度和加速度 ) sin( tAv)2

11、 cos( tA)cos(2tAa)cos(2tA4.1.3 谐振动旋转矢量表示法谐振动旋转矢量表示法 t + oxxtt = 0 Ava)sin(tAv)2cos(tA)cos(2tAa)cos(vvtA)cos(aatA特点特点: :直观方便直观方便. .)cos()(tAtx4.1 4.1 简谐振动简谐振动M 4.1.4 谐振动的能量谐振动的能量( (以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例) )1. 动能动能221vmEk)(sin2122tkA2. 势能势能221kxEp)(cos2122tkA3. 机械能机械能221kAEEEpk（简谐振动系统机械能守恒）（简谐振动系统机械能守恒）mx

12、OEkEPExOAA4.1 4.1 简谐振动简谐振动x（m）At（s）Tt（s）E（J）1/2kA2EpEkE简谐振动的能量特征：简谐振动的能量特征：动能和势能周期性变化，其周期为振动周期的一半动能和势能周期性变化，其周期为振动周期的一半，二者，二者彼此反相。彼此反相。势能的极大值与位移的极值同步，极小值与位移的势能的极大值与位移的极值同步，极小值与位移的零点同步，动能正好相反。零点同步，动能正好相反。无论无论势能和动能如何变化，其总能量保持不变。势能和动能如何变化，其总能量保持不变。2222121kAAmE普遍特征：普遍特征：谐振系统的能量不随时间变化，其谐振系统的能量不随时间变化，其大小与

13、振幅大小与振幅A的平方成正比，与频率的平方成正比，与频率 的平方成的平方成正比。正比。谐振系统是谐振系统是无能量损耗的系统无能量损耗的系统。这是一个理想的系统。这是一个理想的系统- -无阻尼自由振动无阻尼自由振动。谐振系统能量时间平均值表示：谐振系统能量时间平均值表示：TttttfTtfd1）（）（22241dsin121kAttTkAETttk）（22241dcos121kAttTkAETttp）（例例 如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距离为离为12cm的两点的两点A和和B，历时，历时2s，并且在，并且在A，B两点处具有两点处

14、具有相同的速率；再经过相同的速率；再经过2s后，质点又从另一方向通过后，质点又从另一方向通过B点。点。AB解解Ox质点运动的周期和振幅。质点运动的周期和振幅。求求由题意可知，由题意可知，AB的中点为平衡位置，周期为的中点为平衡位置，周期为T = 4 2 = 8 (s)cm6Axcm6Bx设平衡位置为坐标原点，则设平衡位置为坐标原点，则)2cos(tAx设设 t = 0 时，质点位于平衡位置，则振动方程可写为时，质点位于平衡位置，则振动方程可写为t = 1 时时, 质点位于质点位于B点点, 所以所以 ) 282cos(6 A)282cos(tAcm 26A4.1 4.1 简谐振动简谐振动4.2

15、4.2 简谐振动的实例分析简谐振动的实例分析1. 单摆单摆2. 复摆复摆3. 扭摆扭摆4. 弦振动弦振动5. U形管中液体无粘滞振荡形管中液体无粘滞振荡6. LC谐振电路谐振电路（1） 单摆单摆PTlm以小球为研究对象，作受力分析以小球为研究对象，作受力分析.设角沿逆时针方向为正设角沿逆时针方向为正.P 重力重力, T 绳的拉力绳的拉力.amTP沿切向方向的分量方程为沿切向方向的分量方程为tmPddsinvlv 361sin（小角度时）（小角度时）0lg 令令lg202 结论结论: 小角度摆动时，单摆的运动是谐振动小角度摆动时，单摆的运动是谐振动. .周期和角频率为：周期和角频率为：glT2l

16、g（牛顿第二定律）（牛顿第二定律）4.2 4.2 简谐振动的实例分析简谐振动的实例分析（2） 复摆（物理摆）复摆（物理摆）PCmh)(zO以物体为研究对象以物体为研究对象设角沿逆时针方向为正设角沿逆时针方向为正 ZJmghsin（刚体绕定轴转动定律）（刚体绕定轴转动定律）小角度时小角度时0ZJmgh 令令ZJmgh202 结论结论: 小角度摆动时，复摆的运动是谐振动小角度摆动时，复摆的运动是谐振动. .周期和角频率为：周期和角频率为：mghJTZ2ZJmgh4.2 4.2 简谐振动的实例分析简谐振动的实例分析（3） 扭扭摆摆以圆盘为研究对象以圆盘为研究对象在在（扭转角）（扭转角）不太大时，不太

17、大时，DMz（刚体绕定轴转动定律）（刚体绕定轴转动定律）0ZJD 令令ZJD202 结论结论: 在扭转角不太大时，扭摆的运动是谐振动在扭转角不太大时，扭摆的运动是谐振动. .周期和角频率为：周期和角频率为：DJTZ2ZJD金属丝金属丝xyzDJZ （D为金属丝的扭转系数）为金属丝的扭转系数）圆盘的力矩为圆盘的力矩为4.2 4.2 简谐振动的实例分析简谐振动的实例分析（4）弦振动）弦振动T为弦对振子的恒定张力，为弦对振子的恒定张力，m为振子的质量。为振子的质量。 动力学方程为：动力学方程为：02dd22xlTtxm）（tAxcosmlT22 谐振方程为：谐振方程为：TxmT2l4.2 4.2 简

18、谐振动的实例分析简谐振动的实例分析设设（5）U形管中液体无粘滞振荡形管中液体无粘滞振荡 为管内液体密度，为管内液体密度，l为液体在管内的长度。为液体在管内的长度。 动力学方程为：动力学方程为：02dd22gxtxl）（tAxcoslg22 谐振方程为：谐振方程为：lxx4.2 4.2 简谐振动的实例分析简谐振动的实例分析（6）LC谐振电路谐振电路C为电容，为电容，L为电感。为电感。 电容电量满足的方程为：电容电量满足的方程为：01dd22qCtqL）（tqqcos0LC12 谐振方程为：谐振方程为：CLq4.2 4.2 简谐振动的实例分析简谐振动的实例分析1. 同方向同频率谐振动的合成同方向同

19、频率谐振动的合成2. 同方向不同频率谐振动的合成同方向不同频率谐振动的合成 拍拍3. 相互垂直谐振动的合成相互垂直谐振动的合成4.3 4.3 谐振动的合成谐振动的合成4.3.1 同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成1. 解析法解析法分振动分振动 :)cos(111tAx)cos(222tAx合振动合振动 :)cos()cos(2211tAtAtAAtAA sin)sinsin( cos)coscos(22112211cosAsinA) cos( sinsincoscostAtAtAx)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA21xx

20、x 结论：结论：合振动合振动 x 仍是简谐振动仍是简谐振动4.3 4.3 谐振动的合成谐振动的合成2. 旋转矢量法旋转矢量法11 A2 A2Ax2x1x21xxxO1221xxx) cos(tA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA分振动分振动)cos(111tAx)cos(222tAx合振动合振动 结论：结论：与解析法求得的结果一致，方法直观、简捷与解析法求得的结果一致，方法直观、简捷. .4.3 4.3 谐振动的合成谐振动的合成 讨论讨论: : (1)若两分振动同相若两分振动同相,即即 2 1= 2k (k=0,1,2,)(2)若两分振

21、动反相若两分振动反相,即即 2 1= (2k+1) (k=0,1,2,)当当 A1=A2 时时, A=0两分振动相互加强，两分振动相互加强，两分振动相互减弱，两分振动相互减弱，当当 A1=A2 时时 , A=2A1)cos(212212221AAAAA4.3 4.3 谐振动的合成谐振动的合成212122212AAAAAAA212122212AAAAAAA例：例：两个简谐振动的振动方程分别为：两个简谐振动的振动方程分别为：求合成振动的振动方程求合成振动的振动方程)42cos(31tx)432cos(42tx5)cos(212212221AAAAA2/22/27coscossinsintan221

22、12211AAAA解：解：同方向同频率简谐振动后仍为简谐振动，根据合同方向同频率简谐振动后仍为简谐振动，根据合 成公式，确定三个特征参量。成公式，确定三个特征参量。2)7arctan(2cos(521txxx4.3 4.3 谐振动的合成谐振动的合成4.3 4.3 谐振动的合成谐振动的合成例：例：将两个振动方向、振幅、周期均相同的简谐振将两个振动方向、振幅、周期均相同的简谐振 动合成后，若合振幅和分振动的振幅相同，则动合成后，若合振幅和分振动的振幅相同，则 这两个分振动的相位差为多少？这两个分振动的相位差为多少？4.3.2 同方向不同频率谐振动的合成同方向不同频率谐振动的合成 拍拍分振动分振动

23、:tAx cos111tAx222cost11 A2 At2Ax2x1x21xxxO21合振动合振动 :21xxx当当 时时, 21AAA2 )(12ktA 有最大值有最大值:t )(12tAAAAA)cos(212212221当当 时，时，21AAA ) 12( )(12ktA有最小值有最小值: 结论：结论： 合振动合振动 x 不再是简谐振动不再是简谐振动, 合振动振幅的频率为合振动振幅的频率为2 )(12T12122vvv4.3 4.3 谐振动的合成谐振动的合成tAtAxxx2121coscos当当 2 1 时时 , 2 - 1 2 + 1 ，令，令其中其中 )2cos(2)(12tAtA

24、)2cos(cos12tt随随 t 缓变缓变随随 t 快变快变ttAxcos)(u 振幅相同不同频率的简谐振动的合成振幅相同不同频率的简谐振动的合成tAx11costAx22costtA)2cos()2cos(21212合振动合振动 :分振动分振动 : 结论：结论：合振动合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动。可看作是振幅缓变的简谐振动。4.3 4.3 谐振动的合成谐振动的合成xx2x1tttv 拍的现象拍的现象 : 振动的振幅随时间周期性变化的现象振动的振幅随时间周期性变化的现象 OOO拍频拍频 : 单位时间内合振动振幅强弱变化的次数单位时间内合振动振幅强弱变化的次数即即: 1212)2()

25、(vv/v拍原理的应用拍原理的应用4.3 4.3 谐振动的合成谐振动的合成例：例：为了测定音叉为了测定音叉c的振动频率，另选两个和的振动频率，另选两个和c c频率相近的音叉频率相近的音叉a a和和b b，其频率已知，其频率已知a=500 Hz,b=495Hz, ,先使音叉先使音叉a和和c同时振动，同时振动，测出每秒钟声响加强两次，然后是音叉测出每秒钟声响加强两次，然后是音叉b b和和c c同时振动，测出每同时振动，测出每秒钟声响加强秒钟声响加强3 3次，则音叉次，则音叉c c的振动频率的振动频率4.3 4.3 谐振动的合成谐振动的合成解：解：根据题意，根据题意，a,b,c三个音叉之间出现拍现象

26、。三个音叉之间出现拍现象。根据拍频定义：根据拍频定义：2cavv3cbvv8Hz49502或HzcHzc498HzHzc492498或所以所以4.3.3 两个相互两个相互垂直谐振动的合成垂直谐振动的合成 李萨如图李萨如图1. 两个同频率相互垂直的谐振动的合成两个同频率相互垂直的谐振动的合成分振动分振动合运动合运动)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx& 讨论讨论 当当 = 2 1= k (k为整数为整数)时时: 0221222212AyAxAyAx当当 = ( 2k +1 ) /2 (k为整数为整数)时：时： 1222212AyAx021AyAx)cos(11tAx)

27、cos(22tAyxy4.3 4.3 谐振动的合成谐振动的合成 = 0(第一象限第一象限) = /2 = = = 3 = 3 /2/2(第二象限第二象限)( (第三象限第三象限) )( (第四象限第四象限) )(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx124.3 4.3 谐振动的合成谐振动的合成2. 两个不同频率、相互垂直的谐振动的合成两个不同频率、相互垂直的谐振动的合成分振动分振动tAx11cos)cos(22tAy 结论：结论：(1)1、2 之比为整数时之比为整数时:合成运动仍是周期运动合成运动仍是周期运动, 轨迹是稳定的闭合曲线轨迹是稳定的闭合曲线(李李萨如图萨如图)

28、。(2)1、2 之比不为整数时之比不为整数时:合成运动为非周期运动合成运动为非周期运动;运动的轨迹为永不闭合的。运动的轨迹为永不闭合的。1A2A4.3 4.3 谐振动的合成谐振动的合成04241 11 21 32 33 43 54:55 621图 12.25:李李萨如曲线萨如曲线1. 阻尼振动阻尼振动2. 受迫振动受迫振动4.4 4.4 阻尼振动和受迫振动简介阻尼振动和受迫振动简介4.4.1 阻尼振动阻尼振动阻尼力阻尼力xf 振动的微分方程振动的微分方程 xkxxm 0220 xxnx 式中，式中，02=k/m , n = /(2 m) (阻尼系数阻尼系数) 几种阻尼振动模式几种阻尼振动模式

29、v小阻尼小阻尼v大阻尼大阻尼v临界阻尼临界阻尼 Okxl0 xfv m4.4 4.4 阻尼振动和受迫振动简介阻尼振动和受迫振动简介1. 小阻尼小阻尼 ( n2 02 )XtO大阻尼大阻尼临界阻尼临界阻尼4.4 4.4 阻尼振动和受迫振动简介阻尼振动和受迫振动简介应用：应用：.各类机器，防振、减振，加大各类机器，防振、减振，加大摩擦阻尼摩擦阻尼。各种弦乐器、。各种弦乐器、 声源，希望它辐射足够大的声能，加大声源，希望它辐射足够大的声能，加大辐射阻尼辐射阻尼。. 大型建筑弹簧门安装大型建筑弹簧门安装消振油缸消振油缸，使其工作于，使其工作于大阻尼大阻尼状态。状态。.指针式测量仪表（电流计，精密天平）

30、采用指针式测量仪表（电流计，精密天平）采用临界阻尼系临界阻尼系 统统，快速逼近正确读数或返回平衡位置。，快速逼近正确读数或返回平衡位置。4.4.2 受迫振动受迫振动受力分析受力分析 弹性力弹性力阻尼力阻尼力 x 周期性驱动力周期性驱动力tFxkxxm cos 0 kx受迫振动的微分方程受迫振动的微分方程tfxxnxcos220 tFFcos0）2(00；令：mFfmnmkkxF xF PNFtFcos0 xl0 x其解为其解为)(2)(1特解通解xxx4.4 4.4 阻尼振动和受迫振动简介阻尼振动和受迫振动简介受迫振动微分方程的受迫振动微分方程的稳态稳态解为解为:) cos(tAx4.4 4.

31、4 阻尼振动和受迫振动简介阻尼振动和受迫振动简介t（s）ox（m）其中，振幅其中，振幅 A 及受迫振动与干扰力之间的相位差及受迫振动与干扰力之间的相位差 分别为：分别为：2/12222024)(nfA2202tann 受迫振动特征受迫振动特征在驱动力开始作用时，可以看成在驱动力开始作用时，可以看成两个振动的合成两个振动的合成。 减幅振动减幅振动+简谐振动简谐振动减幅振动减幅振动逐渐减弱，以至于可以忽略不计。逐渐减弱，以至于可以忽略不计。稳态简谐振动稳态简谐振动受迫振动达到受迫振动达到简谐振动简谐振动，称之为稳态。，称之为稳态。）（02costAxx从能量角度看：振动因从能量角度看：振动因驱动力

32、驱动力作功而获得能量作功而获得能量 ，同时也因，同时也因阻尼阻尼的作用而消耗能量。的作用而消耗能量。4.4 4.4 阻尼振动和受迫振动简介阻尼振动和受迫振动简介 1. 位移共振位移共振(振幅取极值振幅取极值)（振幅共振曲线）（振幅共振曲线）共振频率共振频率 : :2202nr共振振幅共振振幅 : :2202nnfAr2. 速度共振速度共振(速度振幅取极值速度振幅取极值)共振频率共振频率 : :0共振速度振幅共振速度振幅 : :nfm2v2222024)(nfBmv（速度共振曲线）（速度共振曲线）4.4 4.4 阻尼振动和受迫振动简介阻尼振动和受迫振动简介4.4.3 共振共振0ddA共振破坏共振破坏：1940年年,美塔科马海峡大桥因微风引美塔科马海峡大桥因微风引起共振断塌起共振断塌4.4 4.4 阻尼振动和受迫振动简介阻尼振动和受迫振动简介本章小结本章小结1. 简谐振