线性代数课件吕丹42

1、第二节第二节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、向量、向量组与矩阵一、向量、向量组与矩阵二、线性相关性的概念二、线性相关性的概念四、四、 小结小结 思考题思考题 作业作业三、三、 线性相关性的判断线性相关性的判断 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如维列向量维列向量个个有有矩阵矩阵mnaijanm)( aaaaaaaaaaaaamnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的列向量组的列向量组称为矩阵称为矩阵向量组向量组aa1a2an一、向量、向量组与矩阵一、向量、向量组与矩

2、阵a2ajana1a2ajan维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nmijaanm)(, aaaaaaaaaaaaamnmminiinn21212222111211 t1 t2 ti tm t1 t2 ti tm向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵a的行向量组的行向量组 t1 t2 tm 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.矩阵矩阵构成一个构成一个组组维列向量所组成的向量维列向量所组成的向量个个nmnmm , 21 矩阵矩阵构成一个构成一个的向量组的向量组维行向量所组成维行向量所组成个个nmnmtmtt , 21

3、tmttb 21 ),( 21ma b xaxaxann2211线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应. . 的行向量组等价的行向量组等价的行向量组与的行向量组与于是于是的行向量组线性表示，的行向量组线性表示，的行向量组能由的行向量组能由可知，可知，由初等变换可逆性由初等变换可逆性的行向量组线性表示的行向量组线性表示组能由组能由的行向量的行向量，即，即的行向量组的线性组合的行向量组的线性组合向量都是向量都是的每

4、个行的每个行，则，则经初等行变换变成经初等行变换变成设矩阵设矩阵babaababba.的列向量组等价的列向量组等价列向量组与列向量组与的的，则，则经初等列变换变成经初等列变换变成类似，若矩阵类似，若矩阵baba . 价的方程组一定同解价的方程组一定同解这两个方程组等价，等这两个方程组等价，等能相互线性表示，就称能相互线性表示，就称与方程组与方程组的解；若方程组的解；若方程组的解一定是方程组的解一定是方程组线性表示，这时方程组线性表示，这时方程组能由方程组能由方程组称方程组称方程组的线性组合，就的线性组合，就的每个方程都是方程组的每个方程都是方程组程组程组的一个线性组合；若方的一个线性组合；若方

5、一个方程就称为方程组一个方程就称为方程组所得到的所得到的的各个方程做线性运算的各个方程做线性运算对方程组对方程组babaababaa0 ,: 22112121 mmmmkkkkkka 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组注意注意.0 ,0, 1. 2211121成成立立才才有有时时则则只只有有当当线线性性无无关关若若 nnnn ., 2. 线线性性相相关关性性无无关关就就是是不不是是线线对对于于任任一一向向量量组组定义定义二、线性相关性的概念二、线性相关性的概念则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关a., 0, 0, 3.

6、 线线性性无无关关则则说说若若线线性性相相关关则则说说若若时时向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量 .4. 组组是是线线性性相相关关的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量.,. 5 量共面量共面向向量相关的几何意义是三量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向是两向量共线；三个向义义量对应成比例，几何意量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分充要条件是两向量的分它线性相关的它线性相关的量组量组对于含有两个向量的向对于含有两个向量的向定理向量组定理向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个

7、向量线性表示m ,212 mm ,211 m证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.maaa,21ma即有即有112211 mmma 三、线性相关性的判定三、线性相关性的判定故故 01112211 mmma 因因 这这 个数不全为个数不全为0， 1,121 m m故故 线性相关线性相关.m ,21必要性必要性设设 线性相关，线性相关，m ,21则有不全为则有不全为0的数使的数使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，mkkk,21不妨设则有不妨设则有, 01 k.1313212

8、1mmkkkkkk 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.1 证毕证毕. 性独立）性独立）线线个方程）线性无关（或个方程）线性无关（或程，就称该方程组（各程，就称该方程组（各方方；当方程组中没有多余；当方程组中没有多余个方程）是线性相关的个方程）是线性相关的各各余的，这时称方程组（余的，这时称方程组（合时，这个方程就是多合时，这个方程就是多是其余方程的线性组是其余方程的线性组若方程组中有某个方程若方程组中有某个方程线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用).,( .0 a, 0 212211mmmaxxxxa 其中其中有非零解有非零解即即方程组方程组线性相关就是齐

9、次线性线性相关就是齐次线性向量组向量组结论结论.)(; ),( , 2121marmamm 必必要要条条件件是是向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分于于向向量量个个数数的的秩秩小小矩矩阵阵条条件件是是它它所所构构成成的的线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组组 定理定理2 2下面举例说明定理的应用下面举例说明定理的应用.证明证明（略）（略）维维向向量量组组n tntteee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.,讨讨论论其其线线性性相相关关性性维维单单位位坐坐标标向向量量组组称称为为n解解.),( 21阶单位矩阵阶单位矩阵是是的矩阵的矩阵维单位坐标向量

10、组构成维单位坐标向量组构成neeeenn .)(01 nere ，知，知由由.2)(向量组是线性无关的向量组是线性无关的知此知此，故由定理，故由定理等于向量组中向量个数等于向量组中向量个数即即er例例， 742520111321 .21321的线性相关性的线性相关性，及及，试讨论向量组试讨论向量组 解解.2, 21321321即可得出结论即可得出结论）的秩，利用定理）的秩，利用定理，及（及（），可同时看出矩阵（可同时看出矩阵（成行阶梯形矩阵成行阶梯形矩阵），施行初等行变换变），施行初等行变换变，对矩阵（对矩阵（ 已知已知例例分析分析 751421201),(321 2325rr ， 00022

11、0201., 2),(,2),(2121321321线性无关线性无关向量组向量组线性相关；线性相关；，向量组，向量组可见可见 rr 75122020112rr 1312rrrr 550220201. , , 321133322211321线线性性无无关关试试证证线线性性无无关关已已知知向向量量组组bbbbbb 例例3 30 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦即亦即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx证证021100111

12、01 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行., 0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx . ,. ,: , (1) 1121也线性无关也线性无关向量组向量组则则线性无关线性无关量组量组若向若向反言之反言之也线性相关也线性相关向量组向量组则则线性相关线性相关：向量组向量组若若abbammm 定理定理3 3）设设（2 ), 2 , 1(, 12121mjaaaabaaajrrjjjjrjjjj .,.,.2121性相关性相关也线也线则向量组则向量组线性相关线性相关反言之，若向量组反言之，若向量组关关也线性无也线性无：则向量组则

13、向量组线性无关线性无关：若向量组若向量组添上一个分量后得向量添上一个分量后得向量即即abbbbbabmmjj . 3 时一定线性相关时一定线性相关于向量个数于向量个数小小当维数当维数维向量组成的向量组，维向量组成的向量组，个个）（mnnm.,:,: (4) 121且表示式是唯一的且表示式是唯一的线性表示线性表示必能由向量组必能由向量组向量向量则则线性相关线性相关组组而向量而向量线性无关线性无关设向量组设向量组abbbamm .2, 11)()()(2,. 1)()(),(),( 1 111线性相关线性相关知向量组知向量组根据定理根据定理因此因此，从而，从而，有，有则根据定理则根据定理线性相关线

14、性相关若向量组若向量组，有，有记记）（bmarbrmaraarbraaabaaammm 证明证明.:1 关关的任何部分组都线性无的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它向量组线性无关，则它反之，若一个反之，若一个线性相关线性相关含有零向量的向量组必含有零向量的向量组必特别地，特别地，量组线性相关量组线性相关相关的部分组，则该向相关的部分组，则该向一个向量组若有线性一个向量组若有线性）可推广为）可推广为结论（结论（说明说明列列），只只有有因因但但从从而而有有，则则线线性性无无关关若若向向量量组组有有，）记记（mbmbrmbrmarabrarbbbammrmmr()(.)()(,).()(),()

15、,(2 1)1(1 .b)(线性无关线性无关，因此向量组，因此向量组故故mbr .,12 结论也成立结论也成立个分量个分量维）而言的，若增加多维）而言的，若增加多即维数增加即维数增加）是对增加一个分量（）是对增加一个分量（结论（结论（说明说明.,)(,.)(),(,3 212121线性相关线性相关个向量个向量故故则则若若，有，有构成矩阵构成矩阵维向量维向量个个）（mmmnmmmarmnnaranm .)(1)(. 1)(;)().()(),(),()4( 2121mbrmbrmmbrbmarabrarbbamm ，即有，即有所以所以组线性相关，有组线性相关，有因因组线性无关，有组线性无关，有因

16、因有有记记 .),( ,)()( 21一一线性表示，且表示式唯线性表示，且表示式唯组组能由向量能由向量有唯一解，即向量有唯一解，即向量知方程组知方程组由由abbxmbrarm . 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理两个定理（难点难点）四、小结四、小结. , )3(0 )2( 0 )1(:两两式式不不一一定定同同时时成成立立或或者者线线性性相相关关的的