三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算ppt课件

1、第六讲 三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算1;.三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算一、三重积分在柱坐标系下的计算二、三重积分在球坐标系下的计算2;.三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算一、三重积分在柱坐标系下的计算二、三重积分在球坐标系下的计算3;.一、三重积分在柱坐标系下的计算一、三重积分在柱坐标系下的计算（一）柱坐标系（二）柱坐标系的适用条件（三）三重积分计算公式（四）化为累次积分的方法4;.一、三重积分在柱坐标系下的计算一、三重积分在柱坐标系下的计算（一）柱坐标系（二）柱坐标系的适用条件（三）三重积分计算公式（四）化为累次

2、积分的方法5;.oxyz,R),(3zyxM设sinyzz cosx常数在柱坐标系下在柱坐标系下圆柱面圆柱面常数半平面半平面常数z平面平面oz),(zyxM)0 ,(yx柱坐标系柱坐标系平面极坐标系添加平面极坐标系添加oz轴得到的空间坐标系轴得到的空间坐标系柱坐标柱坐标, , x y, ,x y z, ,z 点点M的柱坐标的柱坐标直角坐标与柱坐标的关系直角坐标与柱坐标的关系规定规定0,02,z 6;.一、三重积分在柱坐标系下的计算一、三重积分在柱坐标系下的计算（一）柱坐标系（二）柱坐标系的适用条件（三）三重积分计算公式（四）化为累次积分的方法7;.一、三重积分在柱坐标系下的计算一、三重积分在柱

3、坐标系下的计算（一）柱坐标系（二）柱坐标系的适用条件（三）三重积分计算公式（四）化为累次积分的方法8;.一般地一般地若若在在xoy面的投影面的投影为圆或圆的一部分为圆或圆的一部分则可以考虑用柱坐标计算三重积分则可以考虑用柱坐标计算三重积分在在( , , )df x y zv中中f(x,y,z)中含有中含有22xy或或arctanyx的项的项为圆柱体为圆柱体9;.一、三重积分在柱坐标系下的计算一、三重积分在柱坐标系下的计算（一）柱坐标系（二）柱坐标系的适用条件（三）三重积分计算公式（四）化为累次积分的方法10;.一、三重积分在柱坐标系下的计算一、三重积分在柱坐标系下的计算（一）柱坐标系（二）柱坐

4、标系的适用条件（三）三重积分计算公式（四）化为累次积分的方法11;.zzdddzvddddxyzodd将直角坐标系下三重积分化为柱坐标系下三重积分将直角坐标系下三重积分化为柱坐标系下三重积分1 1体积元素的变化体积元素的变化2 2被积函数的变化被积函数的变化, ,fx y zcos ,sin ,fz 3 3积分区域的变化积分区域的变化将将的边界曲面用柱坐标表示的边界曲面用柱坐标表示柱坐标系下三重积分计算公式柱坐标系下三重积分计算公式( , , )d(cos ,sin , ) d d df x y zvfzz 12;.一、三重积分在柱坐标系下的计算一、三重积分在柱坐标系下的计算（一）柱坐标系（二

5、）柱坐标系的适用条件（三）三重积分计算公式（四）化为累次积分的方法13;.一、三重积分在柱坐标系下的计算一、三重积分在柱坐标系下的计算（一）柱坐标系（二）柱坐标系的适用条件（三）三重积分计算公式（四）化为累次积分的方法14;.将柱坐标系下的三重积分化为累次积分将柱坐标系下的三重积分化为累次积分1 1积分次序的选择：积分次序的选择：一般选择先一般选择先z、后、后、再、再的次序的次序2 2积分限的确定：积分限的确定：Dzzzzfddzzf),(),(21d),sin,cos(ddd),sin,cos(1)(1)画出区域画出区域的草图的草图( (或或的一部分的一部分).).(2)(2)求区域求区域在

6、在xoy面的投影面的投影D .(3)(3)定出定出z的上限和下限的上限和下限. .xyzo在在D内作平行于内作平行于z 轴的直线轴的直线,穿入区域时穿入区域时, , 的边界曲面的边界曲面F( (, , ,z)=0)=0确定的确定的z= =z1( (, ,) )为为z的下的下限限. .),(1zz 穿出区域时穿出区域时, , 的边界曲面的边界曲面G( (, , ,z)=0)=0确定的确定的z= =z2( (, ,) )为为z z的下的下限限. .),(2zz (4)(4)将二重积分化为极坐标系下的累次积分将二重积分化为极坐标系下的累次积分. .15;.利用柱坐标计算三重积分的步骤利用柱坐标计算三

7、重积分的步骤考虑是否用柱坐标计算考虑是否用柱坐标计算化为柱坐标系下化为柱坐标系下三重积分三重积分积分次序：积分次序：定限方法：定限方法：化为累次积分化为累次积分计算累次积分计算累次积分注意注意对一个变量积分时，将其余变量视为常数对一个变量积分时，将其余变量视为常数的投影的投影为圆或圆的一部分为圆或圆的一部分f(x,y,z)中含有中含有22xy或或arctanyx( , , )d d df x y zx y z三变、一勿忘三变、一勿忘( , , )f x y z积分区域积分区域柱坐标表示柱坐标表示被积函数被积函数(cos ,sin , )fz 体积元素体积元素d d dx y zd d dz 一

8、个勿忘一个勿忘一般先一般先z后后再再投影、发射投影、发射(cos ,sin , ) d d dfzz 16;.2axyzocos2u例例1 1o oxyzhu例例2 2zyx422)0( hhz所围成所围成 . .与平面与平面其中其中 由抛物面由抛物面计算三重积分计算三重积分,1ddd22yxzyx所围成的半圆柱体所围成的半圆柱体. .其中其中 为由柱面为由柱面,ddd22zyxyxz xyx2220),0(, 0yaazz及平面及平面计算三重积分计算三重积分17;.三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算一、三重积分在柱坐标系下的计算二、三重积分在球坐标系下的计算

9、18;.三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算一、三重积分在柱坐标系下的计算二、三重积分在球坐标系下的计算19;.二、三重积分在球坐标系下的计算二、三重积分在球坐标系下的计算（一）球坐标系（二）球坐标系的适用条件（三）三重积分计算公式（四）化为累次积分的方法20;.二、三重积分在球坐标系下的计算二、三重积分在球坐标系下的计算（一）球坐标系（二）球坐标系的适用条件（三）三重积分计算公式（四）化为累次积分的方法21;.直角坐标与球面坐标的关系直角坐标与球面坐标的关系Moxyzzrcossinrx sinsinry cosrz 在球坐标系下在球坐标系下常数r球面球面常数

10、半平面半平面常数锥面锥面),(rM球坐标球坐标rOMOM与与z轴正方向所夹的角轴正方向所夹的角x轴逆时针转到轴逆时针转到OP的角的角),(rM的球坐标的球坐标规定规定20 ,0,0 rP22;.二、三重积分在球坐标系下的计算二、三重积分在球坐标系下的计算（一）球坐标系（二）球坐标系的适用条件（三）三重积分计算公式（四）化为累次积分的方法23;.二、三重积分在球坐标系下的计算二、三重积分在球坐标系下的计算（一）球坐标系（二）球坐标系的适用条件（三）三重积分计算公式（四）化为累次积分的方法24;.一般地一般地若若为球或球为球或球的一部分的一部分则可以考虑用球坐标计算三重积分则可以考虑用球坐标计算三

11、重积分在在( , , )df x y zv中中f(x,y,z)中含有中含有222xyz的项的项25;.二、三重积分在球坐标系下的计算二、三重积分在球坐标系下的计算（一）球坐标系（二）球坐标系的适用条件（三）三重积分计算公式（四）化为累次积分的方法26;.二、三重积分在球坐标系下的计算二、三重积分在球坐标系下的计算（一）球坐标系（二）球坐标系的适用条件（三）三重积分计算公式（四）化为累次积分的方法27;.xyzoddrrdddddsind2rrv 将直角坐标系下三重积分化为球坐标系下三重积分将直角坐标系下三重积分化为球坐标系下三重积分1 1体积元素的变化体积元素的变化2 2被积函数的变化被积函数

12、的变化, ,fx y zsincos , sinsin , cosf rrr3 3积分区域的变化积分区域的变化将将的边界曲面用球坐标表示的边界曲面用球坐标表示球坐标系下三重积分计算公式球坐标系下三重积分计算公式2( , , )d( sincos , sinsin , cos )sin d d df x y zvf rrrrr 28;.二、三重积分在球坐标系下的计算二、三重积分在球坐标系下的计算（一）球坐标系（二）球坐标系的适用条件（三）三重积分计算公式（四）化为累次积分的方法29;.二、三重积分在球坐标系下的计算二、三重积分在球坐标系下的计算（一）球坐标系（二）球坐标系的适用条件（三）三重积分

13、计算公式（四）化为累次积分的方法30;.将球坐标系下的三重积分化为累次积分将球坐标系下的三重积分化为累次积分1 1积分次序的选择：积分次序的选择：一般选择先一般选择先r、后、后、再、再的次序的次序2 2积分限的确定：积分限的确定：观察、想象观察、想象31;.利用球坐标计算三重积分的步骤利用球坐标计算三重积分的步骤考虑是否用球坐标计算考虑是否用球坐标计算化为球坐标系下化为球坐标系下三重积分三重积分积分次序：积分次序：定限方法：定限方法：化为累次积分化为累次积分计算累次积分计算累次积分注意注意对一个变量积分时，将其余变量视为常数对一个变量积分时，将其余变量视为常数的球的球或球的一部分或球的一部分f(x,y,z)中含有中含有222xyz( , , )d d df x y zx y z三变、一勿忘三变、一勿忘( , , )f x y z积分区域积分区域球坐标表示球坐标表示被积函数被积